13.3.2等边三角形 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 §13.3.2 等边三角形 创设情境，导入新知 　　观察下列图片，有我们熟悉的图形吗？如果有，它们有什么共同点？　　 三边都相等的三角形，叫做等边三角形．　　 概念学习： 等边三角形的概念：　 用几何语言表示为： 如图所示，在△ABC中， ∵ AB=BC=AC， ∴ △ABC是等边三角形。 A B C 探究 　　 每个同学画一个等边三角形，并将其剪下来。 A B C 等边三角形的性质 2、剪纸活动： 1、尺规作等边三角形 思考： 等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？与同学交流。 3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 细心观察，探索性质 　　问题　通过折叠，猜想等边三角形有哪些相等的边和角？由此，你发现了什么？ 1、等边三角形的三条边都相等。 2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60. 证明结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 已知：如图所示，△ABC是等边三角形， 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A B C 　证明： ∵　△ABC是等边三角形， ∴　AB=BC=AC． ∴ AB=BC，AB=AC ∴　∠A=∠C，∠B=∠C． ∴　∠A=∠B=∠C． ∵　∠A+∠B+∠C=180°， ∴　∠A=60°． ∴　∠A=∠B=∠C=60°． A B C 证明结论： 　　∴∠A=∠B=∠C=60°． 归纳 2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C 等边三角形的性质： 1、等边三角形的三条边都相等。 用几何语言表示为： 如图所示，在△ABC中， ∵△ABC是等边三角形， 3、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 等边三角形的对称轴是三条边上的高、中线和三条角平分线所在直线。 针对性训练 A B C E D 　1、如图所示，等边 ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°, 求∠ACE的度数。 针对性训练 　2、如图所示，等边△ABC的边长为3,D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=BD,求CE的长。 E D A B C 针对性训练 　3、如图所示，在等边△ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P. 求证：AD=BE. A B C E D P 针对性训练 　4、如图所示，ΔABC，ΔBDE都是等边三角形。 求证：AE=CD. D E A B C 针对性训练 　5、如图所示，ΔABD，ΔAEC都是等边三角形。 求证：BE=CD. C E B D A 　　思考1　类比等腰三角形的判定，一个三角形满足什么条件是等边三角形？ 三个角相等的三角形是等边三角形。 探究： 等边三角形的判定 猜想结论: ∴　△ABC是等边三角形． 　　已知：如图所示，在△ABC中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． 证明结论: C A B 证明： ∵　∠A=∠B，∠B=∠C， ∴　BC=AC，AC=AB． ∴　AB = BC = AC． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 　思考2　一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？ 探究： 等边三角形的判定 猜想结论： 证明结论 　　已知：如图所示在△ABC中，AB=AC且∠A=60°． 求证：△ABC是等边三角形． 证明：　　 C A B ∵ AB=AC（已知）, ∴ ∠B=∠C(等边对等角), ∴ ∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形． ∴∠B=∠C= ∴　△ABC是等边三角形． 归纳 （1）、三个角都相等的三角形是等边三角形． C A B 等边三角形的判定方法 1、定义判定： 三边都相等的三角形是等边三角形。 2、判定定理： 用几何语言表示为： 如图所示，在△ABC中， ∵　∠A=∠B=∠C， ∴　△ABC是等边三角形． 归纳 （2）、有一个角是60°的等腰三角形三角形是等边三角形． C A B 等边三角形的判定方法 2、判定定理： 用几何语言表示为： 如图所示，在△ABC中， ∵　AB=AC,且∠C=60°， 注意： 60°的这个角可以是顶角，也可以是底角。 归纳 等边三角形的证明思路： 1、若已知三角形的三边关系，则利用“定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定三角形是等边三角形。 2、若已知三角形的三角关系，则利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定三角形是等边三角形。 3、若已知三角形是等腰三角形，则利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定三角形是等边三角形。 　∴　△ADE是等边三角形． 例题讲解 　　例1　如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分 别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形. A B C D E 证明： ∵　△ABC是等边三角形， ∴　∠A=∠B=∠C=60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B=∠ADE， ∠C=∠AED． ∴　∠A=∠ADE=∠AED． 　　证明：∵　△ABC是等边三角形， ∴　∠A=∠ABC=∠ACB=60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC=∠ADE， ∠ACB=∠AED. ∴　∠A=∠ADE=∠AED. ∴　△ADE是等边三角形. 变式训练 　　变式1　若点D、E在边AB、AC的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式训练 　　变式2　若点D、E在边AB、AC的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明：∵　△ABC是等边三角形， ∴　∠BAC=∠B=∠C=60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B=∠D，∠C=∠E． ∴　∠EAD=∠D=∠E． ∴　△ADE是等边三角形． A D E B C 针对性训练 　1、如图所示，△ABO是等边三角形，CD∥AB,分别交AO、BO的延长线于点C、D. 求证：△OCD是等边三角形. O C D A B 针对性训练 　2、如图所示，△ABC是等边三角形，点 D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且 AD=BE=CF. 求证：△DEF是等边三角形. C B A D E F 针对性训练 3、如图所示，点C是线段AB一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E,BM，CN相交于点F,连接EF. 求证：(1)AN=BM; (2)△CEF是等边三角形. F E B C A N M 针对性训练 4、如图所示，△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3. 求证：△DEF是等边三角形. F D C B A E 1 2 3 　 用两个全等的含30°角的直角三角尺，能拼出等边三角形吗？请说说你的理由． 探究 A B D C 　问题　你能借助这个图形，在Rt△ABC中找到30°角所对的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 　在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的性质 拼一拼： 猜想： BC= AB． ∴△ABD是等边三角形． A B C 证明： 在△ABC中， ∵　∠C=90°，∠A=30°, ∴　∠B=60°． 延长BC到点D，使BD=AB，连接AD. 证明结论 D ∴　BC= BD= AB． 　　已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB． 　　∵∠A=30°　　 用几何语言表示为： 归纳 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的性质： 如图所示，在Rt△ABC中， 注意： 1、该性质是含有30角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质。 2、该性质主要应用于求线段长或证明线段的倍分关系。 ∴　BC= AB．　　 A B C 针对性训练 C B A D 1、如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=60°，BD平分∠ABC,若AD=6cm，求 ABC的周长。 针对性训练 2、如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； （2）若CD=3，求DF的长度。 ¬ E C B A D F 针对性训练 3、在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D,若CD=1，求BD的长。 B D C A ¬ 针对性训练 4、在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，沿DE折叠，使得点A与点B重合，求折痕DE的长。 B D C A ¬ E 5 课堂练习 练习1　如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为 ． 练习2　如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD = . A B C D 1 C B A 练习2　如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD = . A B C D 例　如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？ A B C D E 解： ∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， ∴　BC=3.7（m）．　 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．　　 ∴　BC= AB，DE= AD．　 ∴　DE= AD=1.85（m）．　　 又　AD= AB， 比一比：看谁算的快 1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm， 则AB=_____cm Ｃ Ｂ Ａ 300 ８ 2.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,　BD=＿＿＿，　BE=____ A C E B D 4cm　　 2cm 3.如图：已知在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC. 求证：AD=2DC Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 比一比：看谁算的快 4. 如图：在△ABC中，∠A=30°， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 比一比：看谁算的快 Ｂ Ｄ Ｃ Ａ ¬ ¬ 求证：BD= AB ∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300 (三角形的一个外角,等于和它不相邻的两个内角的和). ∴CD= AC= ×2a=a (在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). A C B 15° 15° 5.已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.求:腰上的高. D 2a 解:过C作BA的垂线交BA延长线于点D 比一比：看谁算的快 $$