南通地区期末试卷解答题压轴题精选-2024-2025学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

【冲刺期末】七年级数学上南通地区最新期末试卷解答题压轴题精选 （解析版） 知识点一 数轴 1．（2023秋•启东市期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动4cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点． （1）用1个单位长度表示1cm，请你在题中所给的数轴上表示出A、B、C三点的位置； （2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝　6　cm； （3）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点以每秒1cm、5cm的速度向右移动，设移动时间为t（t＞0）秒，试探究CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【分析】（1）根据移动规律“左减右加”，在数轴上表示出A，B，C三点的位置即可； （2）根据两点间的距离公式可求CA的长度； （3）用含t的式子表示出CA和AB，再相减即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示： （2）CA＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6（cm）； 故答案为：6． （3）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：CA＝（4+5t）﹣（﹣2+t）＝6+4t，AB＝（﹣2+t）﹣（﹣6﹣3t）＝4+4t， ∴CA﹣AB＝（6+4t）﹣（4+4t）＝2， ∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化． 【点评】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键 2．（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于a（a＞0），则称点P为线段AB的“a距点”． 已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m+1． （1）当m＝1时，在﹣2，﹣1，2.5三个数中，　﹣1　是线段AB的“2距点”所表示的数； （2）若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为 　1　； （3）若数轴上﹣2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2：1，求m的值． 【分析】（1）﹣2到AB的最短距离是3，2.5到AB的最大距离是1.5，﹣1到点A的距离是2； （2）a的最大值与最小值的差是AB的长度； （3）利用数轴上两点间的距离列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当m＝1时，﹣2到AB的最短距离是3，故不是；2.5到AB的最大距离是1.5，故不是，﹣1到点A的距离是2，故﹣1是， 故答案为：﹣1； （2）当点P在AB的左边时，BP﹣AP＝AB＝1， 当点P在AB的右边时，AP﹣BP＝AB＝1， 故答案为：1； （3）当点P在AB的左边时，PB：PA＝2：1， 即（m+3）：（m+2）＝2：1， 解得m＝﹣1； 当点P在AB的右边时， PA：PB＝2：1， （﹣2﹣m）：[（﹣2﹣（m+1）]＝2：1， 解得m＝﹣4， 综上所述m＝﹣1或m＝﹣4． 【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是会表示两点间的距离． 3．（2021秋•如皋市期末）定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点． 已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n． （1）若点A是点M的2倍原距点， ①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　2　； ②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由； （2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值． 【分析】（1）①点A到原点的距离为4，根据定义可知点M到原点距离为2，点M在数轴正半轴，进而可求出m． ②m＜0，则m＝﹣2，4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n得出n的值，再根据定义来判断． （2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点；由|10﹣2t|＝2×4求出t的值，将t代入4＝2×|6﹣at|，求出a的所有可能值即可． 【解答】解：（1）①， ∴m＝±2． ∵m＞0， ∴m＝2． 故答案为：2． ②∵m＜0， ∴m＝﹣2． ∵点M为线段AN的中点， ∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n， 解得n＝﹣8． ∴ON＝8，ON＝2OA， 故N点是点A的2倍原距点． （2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点． ∴， 解①得：t1＝9，t2＝1． 将t1＝9代入②得：4＝2×|6﹣9t|， 解得：，； 将t2＝1代入②得：4＝2×|6﹣a|， 解得：a3＝4，a4＝8． 故a所有的可能值为：4，8，，． 【点评】本题考查了数轴中的距离，解一元一次方程，绝对值等知识．解题的关键在于根据数量关系列方程并正确的求解． 知识点二 列代数式 4．（2023秋•启东市期末）小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 …… 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． （1）他们共点了 　（x﹣6）　份B套餐；（用含x的式子表示）； （2）若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【分析】（1）由三种套餐中均包含牛肉拉面，只有C套餐含饮料，即可的出他们点了（x﹣6）份B套餐； （2）由（1）可知，他们点了6份C套餐，点了2份B套餐，再由他们所点的套餐共有13份牛肉拉面减去B、C套餐里面的牛肉拉面份数可得点A套餐的份数，最后根据套餐价格乘份数求和即可解答； （3）由题意可知，他们点了6份C套餐，点了（x﹣6）份B套餐，则点了（13﹣x）份A套餐，再进行分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，三种套餐中均包含牛肉拉面，只有C套餐含饮料， ∵他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料， ∴他们点了6份C套餐， ∵只有B、C套餐含青菜， ∴他们共点了（x﹣6）份B套餐； 故答案为：（x﹣6）； （2）由（1）知，他们点了6份C套餐， 则他们共点了2份B套餐， ∴他们共点了A套餐：13﹣6﹣2＝5（份）， ∴他们应该花费：5×18+2×26+6×30＝322（元）， ∵消费满300元，减30元， ∴实际花费：322﹣30＝292（元）； ∴若他们套餐共买8份青菜，求实际花费292元； （3）由（1）可知， 他们点了6份C套餐，点了（x﹣6）份B套餐， 则点A套餐的份数为：13﹣6﹣（x﹣6）＝（13﹣x）份， ∵他们点套餐优惠后实际花费了300元，消费满300元，减30元， ∴他们点套餐优惠前花费330元， ∴（13﹣x）×18+（x﹣6）×26+6×30＝330， 解得：x＝9， 则x﹣6＝3，13﹣x＝4， ∴他们点了4份A套餐，3份B套餐，6份C套餐． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出等量关系式是解题关键． 5．（2021秋•海门市期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，且满足MA＝nMB（n为大于1的正整数），则称点M是点A，B的“n倍点”．已知数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是5． （1）线段AB的长度为 　6　； （2）点A，B的“2倍点”点M所表示的数为 　3或11　； （3）当点M是点A，B的“n倍点”时，请用含n的代数式表示点M所表示的数． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：点M在线段AB之间；点M在点B右边；进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点M在线段AB之间；点M在点B右边；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）线段AB的长度为6． 故答案为：6； （2）点A，B的“2倍点”点M所表示的数为﹣1+63或5+6×（2﹣1）＝11． 故答案为：3或11； （3）当点M是点A，B的“n倍点”时， 点M在线段AB之间，点M所表示的数为﹣1+6； 点M在点B右边，点M所表示的数为5+6÷（n﹣1）． 综上所述，用含n的代数式表示点M所表示的数为或． 【点评】本题考查列代数式，数轴相关知识点和新定义：“n倍点”，解题关键是根据题意分类讨论符合题干的情况． 知识点三 规律型：数字的变化类 6．（2023秋•海门区期末）观察下列三行数： ﹣1，+3，﹣5，+7，﹣9，+11，⋯；① ﹣3，+1，﹣7，+5，﹣11，+9，⋯；② +3，﹣9，+15，﹣21，+27，﹣33，⋯．③ （1）取每行数的第7个数，计算这三个数的和； （2）是否存在第k列数（每行取第k个数），这三个数的和正好为﹣197？若存在，求k的值；若不存在，说明理由； （3）在第②行中，是否存在三个连续数，其和为87？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由． 【分析】（1）观察每行数的排列特征，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）的发现即可解决问题． （3）根据第②行数的排列特征即可解决问题． 【解答】解：（1）观察第①行数发现， 这列数为正负相间出现，且绝对值为从1开始的连续的奇数， 所以第①行的第n个数可表示为：（﹣1）n（2n﹣1）． 观察第①②两行数发现， 第②行的数比第①行对应位置的数小2， 所以第②行的第n个数可表示为：（﹣1）n（2n﹣1）﹣2． 观察第①③两行数发现， 第③行的数是第①行对应位置数的﹣3倍， 所以第③行的第n个数可表示为：（﹣1）n（﹣6n+3）． 当n＝7时， （﹣1）n（2n﹣1）＝﹣13， （﹣1）n（2n﹣1）﹣2＝﹣15， （﹣1）n（﹣6n+3）＝39， 则﹣13+（﹣15）+39＝11． 所以每行第7个数的和为11． （2）存在． 假设存在这样的第k列数， 则（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k（2k﹣1）﹣2+（﹣1）k（﹣6k+3）＝﹣197， 当k为奇数时， ﹣2k+1﹣2k+1﹣2+6k﹣3＝﹣197， 解得k＝﹣97（舍去）． 当k为偶数时， 2k﹣1+2k﹣1﹣2﹣6k+3＝﹣197， 解得k＝98． 所以存在这样的k，且k值为98． （3）存在三个连续数，其和为87． 假设第②行中存在三个连续数的和为87，令第一个数为（﹣1）m（2m﹣1）﹣2， 则（﹣1）m（2m﹣1）﹣2+（﹣1）m+1（2m+1）﹣2+（﹣1）m+2（2m+3）﹣2＝87， 当m为奇数时， ﹣2m+1﹣2+2m+1﹣2﹣2m﹣3﹣2＝87， 解得m＝﹣47（舍去）． 当m为偶数时， 2m﹣1﹣2﹣2m﹣1﹣2+2m+3﹣2＝87， 解得m＝46， 所以这三个连续数为：89，﹣95，93． 故在第②行中存在三个连续数，其和为87，它们分别为89，﹣95，93． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现每行数字的变化规律是解题的关键． 7．（2022秋•崇川区期末）小通在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的谷值．小通进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以计算其相应的谷值，如数列﹣1，2，3的谷值为，数列3，﹣1，2的谷值为1；…经过研究，小通发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，谷值的最小值为，根据以上材料，回答下列问题： （1）数列﹣6，﹣3，2的谷值为 　　； （2）若数列1，2，a（a＞0）的谷值比数列1，a（a＞0），2的谷值大，求a的值； （3）将2，2，m这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的谷值的最小值为1，请直接写出m的值为 　1或﹣7　． 【分析】（1）利用谷值的定义解答即可； （2）分别求得数列1，2，a（a＞0）的谷值和数列1，a（a＞0），2的谷值，依据题意列出方程解方程即可得出结论； （3）利用分类讨论的方法求得按照不同的顺序排列的数列的谷值，依据题意列出方程解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵|﹣6|＝6，，， 又∵6， ∴数列﹣6，﹣3，2的谷值为． 故答案为：； （2）∵|1|＝1，，， ∴数列1，2，a（a＞0）的谷值为1； ∵|1|＝1，，1， 若0＜a＜1时，1， ∴数列1，a（a＞0），2的谷值为， ∴1﹣（）， 解得：a． 若a≥1时，1， ∴数列1，a（a＞0），2的谷值为1，不合题意，舍去． ∴a； （3）①2，2，m这三个数按下列顺序排列：2，2，m， 数列2，2，m的谷值为2或||； ②2，2，m这三个数按下列顺序排列：2，m，2， 数列2，m，2的谷值为2或|1|或||； ③2，2，m这三个数按下列顺序排列：m，2，2， 数列m，2，2的谷值为|m|或|1|或|， ∵这些数列的谷值的最小值为1， ∴当|m|＝1时， 解得：m＝±1， 经验证，m＝﹣1不合题意，舍去， ∴m＝1； 当||＝1时， 解得：m＝﹣1或﹣7， 经验证，m＝﹣1不合题意，舍去， ∴m＝﹣7． 当|1|＝1时， 解得：m＝﹣4或0， 经验证，均不合题意，舍去． 综上，m的值为1或﹣7． 故答案为：1或﹣7． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，数字变化的规律，本题是新定义型，连接新定义并熟练应用是解题的关键． 知识点四 整式的混合运算—化简求值 8．（2022秋•海安市期末）定义：对于形如a（x﹣b）2+c的多项式（a，b，c为常数，其中a≠0），若x取两个不相等的数值m，n时，该多项式的值相等，则称数值m和n为多项式a（x﹣b）2+c的一组“等值元”，记作[m，n]．例如多项式（x﹣2）2+1，当x取0和4时，多项式（x﹣2）2+1的值均为5，则称0和4为多项式（x﹣2）2+1的一组“等值元“，记作[0，4]． （1）下列各组数值中，是多项式﹣2（x+3）2+5的“等值元“的有 　①③　（填写序号） ①﹣5和﹣1； ②0和﹣3； ③和． （2）若[﹣2，﹣5]是3（x﹣b）2﹣4的一组“等值元”，求b的值； （3）若[m，n]和[m﹣2，t]是多项式a（x﹣b）2+c的两组“等值元“，求n﹣t的值． 【分析】（1）根据代数式的“等值元”的定义将每一组的两个数代入计算即可； （2）由“等值元”的定义，得出含有b的方程求解即可； （3）由“等值元”的定义，代入得出方程，化简即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣5时，﹣2（x+3）2+5＝﹣2×（﹣5+3）2+5＝﹣3， 当x＝﹣1时，﹣2（x+3）2+5＝﹣2×（﹣1+3）2+5＝﹣3， 所以x＝﹣5和x＝﹣1是多项式﹣2（x+3）2+5的一组“等值元“， 因此①符合题意； 当x＝0时，﹣2（x+3）2+5＝﹣2×（0+3）2+5＝﹣13， 当x＝﹣3时，﹣2（x+3）2+5＝﹣2×（﹣3+3）2+5＝5， 所以x＝0和x＝﹣3不是多项式﹣2（x+3）2+5的“等值元”， 因此②不符合题意； 当x时，﹣2（x+3）2+5＝﹣2×（3）2+5， 当x时，﹣2（x+3）2+5＝﹣2×（3）2+5， 所以x和x是多项式﹣2（x+3）2+5的一组“等值元”， 因此③符合题意； 故答案为：①③； （2）∵[﹣2，﹣5]是3（x﹣b）2﹣4的一组“等值元”， ∴3（﹣2﹣b）2﹣4＝3（﹣5﹣b）2﹣4， 解得b， 答：b； （3）∵[m，n]是多项式a（x﹣b）2+c的两组“等值元“， ∴a（m﹣b）2+c＝a（n﹣b）2+c， ∵m≠n， ∴m﹣b＝b﹣n， 即m+n＝2b， 又∵[m﹣2，t]是多项式a（x﹣b）2+c的“等值元“， ∴a（m﹣2﹣b）2+c＝a（t﹣b）2+c， ∴（2b﹣n﹣2﹣b）2＝（t﹣b）2， 即（b﹣n﹣2）2＝（t﹣b）2， ∴b﹣n﹣2＝t﹣b或b﹣n﹣2＝b﹣t， ∴n﹣t＝﹣2， 答：n﹣t＝﹣2． 【点评】本题考查整式的化简求值，掌握平方差公式以及整式混合运算法则是正确解答的前提，理解“等值元”的定义是解决问题的关键． 知识点五 一元一次方程的应用 9．（2023秋•海安市期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设MO＝a•MA（a＞0）． （1）若点M表示的数为，则a＝　　； （2）若a＝2，求点M在数轴上表示的数； （3）若点N为线段OM的中点，当|ON﹣AM|OA时，求a的值． 【分析】（1）求出MO，MA＝2，可得a； （2）设点M在数轴上表示的数为x，由a＝2，得|x|＝2|x﹣2|，即可解得答案； （3）设点M在数轴上表示的数为y，知ON＝||，AM＝|2﹣y|，可得|||﹣|2﹣y||2，解出y值，即可求出相应的a的值． 【解答】解：（1）∵点M表示的数为，点A为表示数2的点， ∴MO，MA＝2， ∴a； 故答案为：； （2）设点M在数轴上表示的数为x，则MO＝|x|，MA＝|x﹣2|， ∵a＝2， ∴|x|＝2|x﹣2|， 即x＝2（x﹣2）或x＝﹣2（x﹣2）， 解得x＝4或x； ∴点M在数轴上表示的数为4或； （3）设点M在数轴上表示的数为y， ∵点N为线段OM的中点， ∴N表示的数为； ∴ON＝||，AM＝|2﹣y|， ∵|ON﹣AM|OA， ∴|||﹣|2﹣y||2， ∴||﹣|2﹣y|或||﹣|2﹣y|， 当y≤0时，（2﹣y）或（2﹣y）， 解得y（舍去）或y（舍去）； 当0＜y≤2时，（2﹣y）或（2﹣y）， 解得y或y， ∴OM，AM或OM，AM， ∴a8或a； 当y＞2时，（y﹣2）或（y﹣2）， 解得y或y， ∴OM，AM或OM，AM， ∴a4或a； 综上所述，a的值为8或或4或． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握去绝对值的方法，解出所列方程． 10．（2023秋•崇川区期末）越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现，每个微信账户享有累计不超过1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，超出的部分需支付0.1%的手续费，且以后每次提现支付的手续费均为提现金额的0.1%． （1）小新使用微信至今，用自己的微信账户共提现两次，提现金额均为1500元，则小新这两次提现共需支付手续费多少元？ （2）小管使用微信至今，用自己的微信账户共提现三次，提现手续费如下表： 第一次 第二次 第三次 手续费/元 0 1.6 1.2 ①小管第三次提现金额为 　1200　元； ②若小管第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，求小管第一次提现的金额． 【分析】（1）利用手续费＝（提现金额﹣1000）×0.1%，即可求出结果； （2）①利用手续费＝提现金额×0.1%，即可求出结果； ②可设小管第一次提现的金额为x元，根据小周第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，得到关于x的方程，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）（1500﹣1000）×0.1%＝0.5（元）， 1500×0.1%＝1.5（元）， 故小新这两次提现分别需支付手续费0.5元，1.5元； （2）①1.2÷0.1%＝1200（元）， 故答案为：1200； ②设小管第一次提现的金额为x元，由题意得： 0.1%（x+x+1.2÷0.1%﹣1000）＝1.6， 解得：x＝700． 故小管第一次提现的金额为700元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握题意找准等量关系，列出一元一次方程是关键． 11．（2023秋•海门区期末）某公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班级为单位购票，则一共应付1240元． （1）求两个班各有多少学生； （2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可节省多少钱？ （3）若七年级（1）班单独组织去游园，请问600元能否满足全班同学的购票需求？请说明理由． 【分析】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生，根据购票总费用＝（1）班购票费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240做差即可得出结论； （3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生， 根据题意得：13x+11（104﹣x）＝1240， 解得：x＝48， ∴104﹣x＝56． 答：七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生； （2）1240﹣9×104＝304（元）． 答：如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱； （3）600元能满足全班同学的购票需求，理由如下： 51×11＝561（元）， ∴561＜600， ∴若七年级（1）班单独组织去游园，600元能满足全班同学的购票需求． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据购票总费用＝（1）班购票费用+（2）班购票费用列出关于x的一元一次方程；（2）根据总价＝单价×数量求出购买104张门票的总钱数；（3）根据总价＝单价×数量分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数． 12．（2022秋•崇川区期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣6，4，O为原点． （1）若点P为线段AB上一点，且点P到点A的距离是点P到点B的距离的4倍，求点P对应的数； （2）当点B以每秒2个单位长度的速度向右运动时，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，问他们同时出发，几秒后A，B，O其中一点是连接另外两点的线段的中点？ 【分析】（1）设点P对应的数为x，由AP＝4BP，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设运动时间为t秒，则点A对应的数为﹣6+3t，点B对应的数为4+2t．分点O为AB的中点、点A为OB的中点及点B为OA的中点三种情况，列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设点P表示的数为x， 易得，x﹣（﹣6）＝4（4﹣x）， 解得，x＝2． ∴点P表示的数为2． （2）设运动时间为t秒． 则点A表示的数为﹣6+3t，点B表示的数为4+2t． （ⅰ）O为AB中点，0﹣（﹣6+3t）＝4+2t﹣0，． （ⅱ）A为OB中点，﹣6+3t﹣0＝4+2t﹣（﹣6+3t），t＝4． （ⅲ）B为OA中点，4+2t＝﹣6+3t﹣（4+2t），t＝﹣14（不合题意，舍去）． 答：或4秒后A、B、O其中一点是连接另外两点的线段的中点． 【点评】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）由AP＝4BP列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（2）分点O为AB的中点、点A为OB的中点及点B为OA的中点三种情况，列出关于t的一元一次方程． 13．（2021秋•如皋市期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔20支，共用了1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①学校仍需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔，需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果只买这两种笔，你的帐肯定算错了！”请判断王老师的说法是否正确，并说明理由； ②陈老师突然想起，所做的预算中还包括一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请直接写出签字笔的单价． 【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元．根据买钢笔30支，毛笔20支，共用了1070元建立方程，求出其解即可； （2）①根据第一问的结论设单价为19元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（60﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了； ②设单价为19元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（60﹣z）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论． 【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元． 由题意得：30x+20（x+6）＝1070． 解得：x＝19．x+6＝25． 答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元； （2）①王老师的说法是正确的． 理由：设单价为19元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（60﹣y）支． 根据题意，得19y+25（60﹣y）＝1322．解得（不符合题意） 所以陈老师肯定算错了． ②②设单价为19元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得 19z+25（60﹣z）＝1322﹣a． ∴6z＝178+a， ∵a、z都是整数， ∴178+a应被6整除， ∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数， ∴a可能为2、4、6、8． 当a＝2时，6z＝180，z＝4530，符合题意； 当a＝4时，6z＝182，z，不符合题意； 当a＝6时，6z＝184，z，不符合题意； 当a＝8时，6z＝186，z＝31，符合题意． 所以签字笔的单价可能2元或8元． 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键． 14．（2021秋•崇川区期末）某百货商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，乙种服装每件进价800元． （1）若该商场同时购进甲、乙两种服装共30件，总进价为21000元，求商场购进甲、乙两种服装各多少件？ （2）若该商场对（1）中所购进的甲、乙两种服装进行销售，其中甲种服装每件售价800元，乙种服装每件盈利50%，则该商场销售完这批服装一共能盈利 　11000　元； （3）该商场元旦当天对所有商品实行“满1000元减400元的优惠”（比如：某顾客购物3200元，满三个1000元，则可优惠1200元，只需付款2000元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减400元”的活动． 张先生元旦购买甲、乙两种服装各一件，标价合计2000元．后来他发现按照晚上八点后的优惠方式付款，竟然比不打折直接参与“满1000元减400元”的活动多付200元钱．问该商场晚上八点后推出的活动是先打几折？ 【分析】（1）设商场购进甲种服装x件，乙种服装（30﹣x）件，根据商场同时购进甲、乙两种服装总进价为21000元，列出方程，解方程即可； （2）根据甲每件盈利300元，乙一件盈利800×50%＝400元，然后求出售完（1）中商品共盈利即可； （3）设打了y折，由题意可列出方程，则可得出答案． 【解答】解：（1）设商场购进甲种服装x件，乙种服装（30﹣x）件， 根据题意得：500x+800（30﹣x）＝21000， 解得：x＝10， ∴30﹣x＝30﹣10＝20（件）， 答：商场购进甲种服装10件，乙种服装20件； （2）根据题意这批服装一共能盈利： （800﹣500）×10+800×50%×20＝3000+8000＝11000（元）， 故答案为：11000； （3）张先生购买甲、乙两种服装按“满1000元减400元”的活动应付2000﹣800＝1200（元）， ∴张先生在晚上八点后参加活动实际付款1400元， 按照先打折再优惠应该方法，打折后应为1400+400＝1800（元）， 设该商场晚上八点后推出的活动是先打y折， 根据题意得：2000×0.1y＝1800， 解得：y＝9， 答：该商场晚上八点后推出的活动是先打9折． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 15．（2021秋•崇川区期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作d（）＝n． 例如，点C是AB的中点时，即ACAB，则d（）； 反之，当d（）时，则有ACAB． 因此，我们可以这样理解：“d（）＝n”与“AC＝nAB”具有相同的含义． 【理解与应用】 （1）如图，点C在线段AB上．若AC＝3，AB＝4，则d（）＝　　； 若d（），则AC＝　　AB． 【拓展与延伸】 （2）已知线段AB＝10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m•d（）+d（）的值是个定值，则m的值等于 　3　； ②t为何值时，d（）﹣d（）？ 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据m•d（）+d（）的值是个定值即可求出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动两种情况分析即可． 【解答】解：（1）∵AC＝3，AB＝4， ∴ACAB， ∴d（）， ∵d（）， ∴ACAB， 故答案为：，； （2）①设运动时间为t，则AP＝t，AQ＝10﹣3t， 根据“点值”的定义得：d（），d（）， ∵m•d（）+d（）的值是个定值， ∴m•的值是个定值， ∴m＝3； ②当点Q从点B向点A方向运动时， ∵d（）﹣d（）， ∴， ∴t＝2； 当点Q从点A向点B方向运动时， ∵d（）﹣d（）， ∴， ∴t＝6， ∴t的值为2或6． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 16．（2021秋•启东市期末）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： （1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向　相同　，出发时刻　不同　（填“相同”或“不同”）； （2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离； （3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？ 【分析】（1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同，但出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同； （2）可设A，B两地之间的距离为s，而两车同时到达终点，于是可列方程1，解方程即可求出两地距离； （3）当高铁出发后，两车相距100km可以分追及之前与追及之后两种情况为考虑，但同时也要考虑两种情况的存在性，当高铁没有出发时，也存在两车相距100km是时刻． 【解答】解：（1）车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同； 两车出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同； 故答案为相同，不同． （2）设A，B两地之间的距离为s，根据题意可得 1 解得s＝600 答：A，B两地之间的距离为600km． （3）设在高铁出发t小时后两车相距100km，分追及前与追及后两种情况 ①200（t+1）﹣300t＝100 解得 t＝1； ②300t﹣200（t+1）＝100 解得t＝3 但是在（2）的条件下，600÷300＝2 即高铁仅需2小时可到达B地，所以第②种情况不符合实际，应该舍去． 当高铁没有出发时，设动车出发x小时后两车相距100km， 200x＝100， ∴x， 答：在（2）的条件下，在高铁出发1小时两车相距100km或动车出发小时后两车相距100km． 【点评】本题考查的是一元一次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． 17．（2021秋•启东市期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”． （1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时 ①点O到线段AB的“绝对距离”为　1　； ②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为　﹣4或2或8　； （2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值． 【分析】（1）①分别求出OA、OB的长，比较大小，根据点到线段的“绝对距离”的定义，OA、OB的长度中较小数即为所求； ②分三种情况：点M在点A的左边；点M在点A、B之间；点M在点B的右边； （2）求出点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①0＜t；②t；③t≤5；④t＞5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）①∵数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5， ∴OA＝1，OB＝5， 而1＜5， ∴点O到线段AB的“绝对距离”为1． 故答案为1； ②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5， 若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况： Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA＜MB， ∵点M到线段AB的“绝对距离”为3， ∴﹣1﹣m＝3， ∴m＝﹣4，符合题意； Ⅱ）当点M在点A、B之间时， ∵MA＝m+1，MB＝5﹣m， 如果m+1＝3，那么m＝2，此时5﹣m＝3，符合题意； Ⅲ）当点M在点B的右边时，MB＜MA， ∵点M到线段AB的“绝对距离”为3， ∴m﹣5＝3， ∴m＝8，符合题意； 综上，所求m的值为﹣4或2或8． 故答案为﹣4或2或8； （2）点P运动到点A时需要的时间为：秒，点B运动到点A时需要的时间为：5秒，点P、点B相遇需要的时间为：秒． 移动的时间为t（t＞0）秒，点P表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为2﹣t． 分四种情况： ①当0＜t时，PA＜PB， ∵PA＝﹣3﹣（﹣6+2t）＝3﹣2t＝2， ∴t，符合题意； ②当t时， PA＝﹣6+2t﹣（﹣3）＝2t﹣3，PB＝2﹣t﹣（﹣6+2t）＝8﹣3t， 如果2t﹣3＝2，t，此时8﹣3t2，不合题意，舍去； 如果8﹣3t＝2，t＝2，此时2t﹣3＝1＜2，不合题意，舍去； ③当t≤5时，PB＜PA， ∵PB＝（﹣6+2t）﹣（2﹣t）＝3t﹣8＝2， ∴t，符合题意； ④当t＞5时，PA＜PB， ∵PA＝（﹣6+2t）﹣（﹣3）＝2t﹣3＝2， ∴t5，不合题意，舍去． 综上，所求t的值为或． 【点评】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解点到线段的“绝对距离”的定义，进行分类讨论是解题的关键． 知识点六 直线、射线、线段 18．（2023秋•崇川区期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0． （1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点表示的数是 　2　； （2）若数轴上另有一点M表示数3． ①若点M在线段AB上，且AM＝2BM，求式子a+2b+2024的值； ②点P为线段AB上一动点，点Q为线段OM上一动点，当b＝a+6时，线段PQ的最大长度为5，求a的值． 【分析】（1）根据数字上两点中点坐标的计算方法进行计算即可； （2）①根据点M的位置以及AM＝2BM得出a+2b＝9，再代入计算即可； ②根据点P，点Q所在的位置使PQ的值最大得出3﹣a＝5或b﹣0＝5即可． 【解答】解：（1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点表示的数为， 故答案为：2； （2）①∵AM＝2BM． ∴3﹣a＝2（b﹣3）， ∴a+2b＝9． ∴a+2b+2024 ＝9+2024 ＝2033； ②∵b＝a+6，即b﹣a＝6， ∴AB＝b﹣a＝6， ∵OM＝3，而点M在线段AB上，点P为线段AB上一动点，点Q为线段OM上一动点， ∴PM的最大值为3﹣a＝5或b﹣0＝5， 解得a＝﹣2，b＝5， 当b＝5时，即a+6＝5， 解得a＝﹣1， 综上所述a＝﹣1或a＝﹣2． 【点评】本题考查数轴表示数，整式的加减，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． 知识点七 比较线段的长短 19．（2023秋•薛城区期末）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB． （1）请用圆规在图中确定D点的位置； （2）比较线段的大小：AC 　＝　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； （3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的长． 【分析】（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求； （2）由线段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出结论； （3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的长． 【解答】解：（1）如图所示，以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求， （2）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD； 故答案为＝； （3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14， ∴， ∴CD＝4， ∴AD＝AC+CD＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键． 知识点八 角平分线的定义 20．（2023秋•启东市期末）已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 　80°　． （2）探求∠MON和∠AOB的等量关系． 【分析】（1）①根据题意补全图； ②根AOM∠AOC60°＝20°，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数； （2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）AOB，从而得出答案． 【解答】解：（1）①依题意补全图1 图1 ②AOM∠AOC60°＝20°， ∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°； （2）． ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线， ∵，， ∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON） ＝∠AOB ． 【点评】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键． 21．（2023秋•屯昌县期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； ②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解； ②解法与①相同，把①中的25°改成α即可； （2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决． 【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝130°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°； ②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α； （2）∠DOE∠AOC，理由如下： 如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC， 又∵OE平分∠BOC ∴∠COE∠BOC（180°﹣∠AOC）＝90°∠AOC， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°∠AOC）∠AOC． 【点评】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． 22．（2021秋•崇川区期末）点O在直线AD上，在直线AD的同侧作射线OB，OC． （1）如图1，若∠AOB＝40°，∠BOC：∠COD＝4：3，求∠BOC的度数； （2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠MON＝130°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）先利用平角定义求出∠BOC+∠COD＝140°，然后设∠BOC＝4x，∠COD＝3x，列出方程进行计算即可解答； （2）先利用平角定义求出∠AOM+∠DON＝50°，然后根据角平分线的定义求出∠COM+∠BON＝50°，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝40°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝140°， ∴∠BOC+∠COD＝140°， ∵∠BOC：∠COD＝4：3， ∴设∠BOC＝4x，∠COD＝3x， ∴4x+3x＝140°， ∴x＝20°， ∴∠BOC＝80°， ∴∠BOC的度数为80°； （2）∵∠MON＝130°， ∴∠AOM+∠DON＝180°﹣∠MON＝50°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOM＝∠COM，∠BON＝∠DON， ∴∠COM+∠BON＝50°， ∴∠BOC＝∠MON﹣（∠COM+∠BON） ＝130°﹣50° ＝80°， ∴∠BOC的度数为80°． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 知识点九 角的计算 23．（2023秋•启东市期末）已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　∠AOD+∠BOC＝180°　； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数． 【分析】（1）因为射线OB在∠COD内部，∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD可得； （2）因为射线OA，射线OB都在∠COD外部，可得∠AOD+∠BOC＝180°，因为，，可得∠BOE+∠AOF的度数，又因∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE，可得∠EOF的度数； （3）分射线OG在∠EOF内部、射线OG在∠EOF外部两种情况． 【解答】解：（1）∵射线OB在∠COD内部， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°， 故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°； （2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部， ∴∠AOD+∠BOC＝180°， ∵，，即∠AOF∠AOD， ∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°； （3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x， ①当射线OG在∠EOF内部时， 4x+5x＝135°， 解得：x＝15°， 此时∠GOE＝75°， ②当射线OG在∠EOF外部时， 4x+5x＝360°﹣135°， 解得：x＝25°， 此时∠GOE＝125°， ∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°． 【点评】本题考查了角的计算，关键是注意分类讨论． 24．（2023秋•海门区期末）如图，将一副三角板摆放在一起，∠DAB＝m°． （1）当0＜m＜45时， ①若m＝20，则∠CAD＝　25°　°，∠BAE＝　80°　°； ②猜想∠CAD与∠BAE有何数量关系，并说明理由； （2）当0＜m＜120且∠BAE＝6∠CAD时，求m的值． 【分析】（1）①先依题意得：∠BAC＝45°，∠EAD＝60°，再由m＝20，得∠DAB＝20°，然后根据∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB，∠BAE＝∠DAB+∠EAD可得出答案； ②由∠DAB＝m°，且0＜m＜45，得∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，由此得∠CAD+∠BAE＝105°，据此可得出∠CAD与∠BAE之间的数量关系； （2）根据∠DAB＝m°，且0＜m＜120，分两种情况讨论如下：①当0＜m≤45时，则∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，然后由∠BAE＝6∠CAD，得m+60＝6（45﹣m），据此解出m即可；②当45＜m＜120时，则∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝（m﹣45）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，然后∠BAE＝6∠CAD，得m+60＝6（m﹣45），据此解出m即可，综上所述可得m的值． 【解答】解：（1）①依题意得：∠BAC＝45°，∠EAD＝60°， ∵m＝20， ∴∠DAB＝20°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝45°﹣20°＝25°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝20°+60°＝80°； 故答案为：25°；80°． ②∠CAD+∠BAE＝105°，理由如下： ∵∠DAB＝m°，且0＜m＜45， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°， ∴∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°， ∠CAD+∠BAE＝（45﹣m）°+（m+60）°＝105°． （2）∵∠DAB＝m°，且0＜m＜120， ∴有以下两种情况： ①当0＜m≤45时，如图1所示： ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°， ∵∠BAE＝6∠CAD， ∴m+60＝6（45﹣m）， 解得：m＝30； ②当45＜m＜120时，如图2所示： ∴∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝（m﹣45）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°， ∵∠BAE＝6∠CAD， ∴m+60＝6（m﹣45）， 解得：m＝66． 综上所述：当0＜m＜120且∠BAE＝6∠CAD时，m的值30或66． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换，角度的计算，准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，及角度的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 25．（2021秋•密云区期末）已知：∠AOB＝120°，∠COD＝90°，OE平分∠AOD． （1）如图1，当∠COD的边OD在∠AOB内部时，若∠COE＝40°，求∠BOD的度数； （2）如图2，当∠COD的边OD在∠AOB外部时，且0°＜∠BOD＜60°时，设∠COE＝α，∠BOD＝β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）求出∠AOD＝2∠DOE＝100°，则可求∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝20°； （2）由（1）∠AOD＝2∠DOE＝180°﹣2α，则可求β＝∠AOD﹣∠AOB＝60°﹣2α． 【解答】解：∵∠COD＝90°，∠COE＝40°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠DOE＝100°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣100°＝20°； （2）数量关系为：2α+β＝60°； 证明：∵∠COD＝90°，∠COE＝α， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣α， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠DOE＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∵∠AOB＝120°， ∴β＝∠AOD﹣∠AOB＝180°﹣2α﹣120°＝60°﹣2α， 即：2α+β＝60°． 【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差计算方法是解题的关键． 26．（2021秋•启东市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数； （2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角； （3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可； （3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得． 【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′， ∴3∠M＝3×10°21′＝31°3′； （2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB； ∴图中∠AOB的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD； （3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角， ∴设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α． ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α， ∵∠BOD＝90°， ∴6α＝90°． ∴α＝15°， ∴∠BOC＝2α＝30°． 【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，本题是阅读型题目，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键． 知识点一十 余角和补角 28．（2022秋•如皋市期末）定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”． （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由； （2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　60°　； （3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数． 【分析】（1）先求出∠BOC的度数，根据∠BOC+∠BOA＝90°，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分余线”的定义可知∠AOB+∠AOB＝90°，进一步求解即可； （3）设∠AOC＝2x，则∠BOC＝155°﹣2x，ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”，分情况讨论：①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，分别求解即可． 【解答】解：（1）OC是∠AOB的“分余线，理由如下： ∵∠AOB＝70°，∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣50°＝20°， ∴∠BOC+∠AOB＝20°+70°＝90°， ∴OC是∠AOB的“分余线； （2）∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB， ∵OC为∠AOB的“分余线”， ∴∠AOB+∠AOB＝90°， ∴∠AOB＝60°， 故答案为：60°； （3）设∠AOC＝2x， ∵OM为∠AOC的平分线， ∴∠COM∠AOC＝x， ∵∠AOB＝155°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝155°﹣2x， ∵ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”， ①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°， ∴∠BON＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°， ∴∠MON＝155°﹣x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣3x， ∵∠MOC+∠MON＝90°， ∴x+220°﹣3x＝90°， 解得x＝65°（不符合题意，舍去）； ②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°， ∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝155°﹣2x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x， ∴220°﹣4x+220°﹣3x＝90°， 解得x＝50°， ∴∠AOC＝2x＝50°×2＝100°； ③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°， ∵∠CON＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝x+2x﹣65°＝3x﹣65°， ∵∠MOC+∠MON＝90°， ∴x+3x﹣65°＝90°， ∴x＝38.75°， ∴∠AOC＝2x＝38.75°×2＝77.5°； ④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°， ∴∠MON＝∠BOC， ∴∠MOC＝∠BON， ∵∠BON＝（155°﹣2x）﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x， ∴x＝220°﹣4x， 解得x＝44°， ∴∠AOC＝2x＝44°×2＝88°， 综上所述，满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键． 28．（2023秋•濠江区期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°． （1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数； （2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE； （3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1））由∠AOB＝120°，∠COD＝60°，得到∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°，而∠BOD＝30°，即可求出∠AOC的度数； （2）由角平分线定义，得到∠EOD＝60°∠BOC，而∠AOC＝120°﹣∠BOC，即可证明∠AOC＝2∠DOE； （3）由余角的定义，得到∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD），而∠AOB＝120°，∠COD＝60°，即可求出∠AOP+∠BOQ的度数，从而得出结论． 【解答】解（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°， ∵∠BOD＝30°， ∴∠AOC＝60°﹣30°＝30°； （2）∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC， ∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝60°， ∴∠EOD＝60°∠BOC， ∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝120°﹣∠BOC， ∴∠AOC＝2∠EOD； （3）∵∠AOP+∠AOC＝90°， ∴∠AOP＝90°﹣∠AOC， ∵∠BOQ+∠BOD＝90°， ∴∠BOQ＝90°﹣∠BOD， ∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣（∠AOB﹣∠COD）， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°， ∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（120°﹣60°）＝120°＝2×60°， ∴∠AOP+∠BOQ＝2∠COD． 【点评】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角． 知识点一十一 平行线的性质 29．（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA． （1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数； （2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数； （3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案； （2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案； （3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论． 【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°， ∴∠PDB＝∠AOB＝45°； （2）∵CE∥OB， ∴∠CPD＝∠PDB， ∵DF∥OA， ∴∠PDB＝∠AOB， ∴∠AOB＝∠CPD， ∵∠CPD＝45°， ∴∠AOB＝45°； （3）相等，理由如下： ∵CE∥OB，DF∥OA， ∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°， ∵∠AOB＝∠CPD， ∴∠OCP＝∠ODP． 【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键． 30．（2021秋•如东县期末）如图1，T，Z为直线UV同侧的两点，W为直线UV上的一点，连接WT，WZ．若∠UWT＝∠VWZ，则称点W为T，Z两点关于直线UV的反射点． （1）如图2，点O是A，B两点关于CD的反射点．若∠BOD＝35°，直接写出射线OA的方向； （2）如图3，A，B为CD同侧的两点，点O为CD上的一点，AC∥BO，AO∥BD．若∠C＝∠D，求证：点O是A，B两点关于CD的反射点； （3）如图4，点G是M，N两点关于EF的反射点，GP，GQ分别平分∠FGN，∠FGM．若∠PGQ＝50°，请补全图形并求∠EGQ的度数． 【分析】（1）根据题目反射点的概念可知，可得∠AOC＝∠BOD，即可得出射线OA的方向； （2）根据平行线的性质，拉直线平行，同位角相等可得，∠C＝∠BOD，∠D＝∠AOC，由已知∠C＝∠D，等量代换可得∴AOC＝∠BOD，即可得出答案； （3）根据题意画图，如图5，设∠FGP＝α，根据角平分线的性质可得∠FGP＝∠PGN，根据题意可得∠FGN＝∠EGM＝2α，即可算出∠FGM＝180°﹣∠EGM，根据角平分线的性质可得∠FGQ＝∠MGQ，由∠PGQ＝∠FGQ﹣∠FGP＝50°，即可算出α的度数，即可得出答案． 【解答】解：（1）射线OA的方向西偏北35°； （2）∵AC∥BO，AO∥BD， ∴∠C＝∠BOD，∠D＝∠AOC， ∵∠C＝∠D， ∴∠AOC＝∠BOD． ∴点O是A，B两点关于CD的反射点； （3）如图5， 设∠FGP＝α， ∵PG平分∠FGN， ∴α， ∴∠FGN＝2α， ∵点G是M，N两点关于EF的反射点， ∴∠EGM＝∠FGN＝2α， ∴∠FGM＝180°﹣∠EGM＝180°﹣2α， ∵GO平分FGM， ∴∠FGQ＝∠MGQ， ∴∠PGQ＝∠FGQ﹣∠FGP＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α＝50°， ∴α＝20°， ∴∠EGQ＝∠EGM+MGQ＝2α+90°﹣α＝90°+α＝90°+20°＝110°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角的计算及新定义的应用，熟练掌握平行线的性质，角的计算及新定义的应用进行求解是解决本题的关键． 知识点一十二 平行线的判定与性质 31．（2023秋•海安市期末）如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABD＝180°，结合已知∠A＝∠BDC，得到∠BDC+∠ABD＝180°，于是问题得证； （2）过点E作EH∥AB，于是有EH∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°，从而得出∠A+∠AEC+∠C＝360°； （3）在△CEF中根据三角形内角和定理求出，结合（2）中的结论得出∠AEC+∠C＝220°，从而求出∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵AE∥BD， ∴∠A+∠ABD＝180°， ∵∠A＝∠BDC， ∴∠BDC+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∠A+∠AEC+∠C＝360°，理由： 如图，过点E作EH∥AB， 由（1）知AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°， ∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°； （3）解：∵∠AEC 的平分线交CD的延长线于点F， ∴， 在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C＝180°， ∵∠F＝20°， ∴①， ∵∠A＝∠BDC，∠BDC＝140°， ∴∠A＝140°， ∵∠A+∠AEC+∠C＝360°， ∴∠AEC+∠C＝220°②， ②﹣①得，∠AEC＝120°， ∴∠C＝100°． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 32．（2023秋•崇川区期末）如图1，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AE，∠BAE的平分线和∠DCE的平分线所在的直线相交于点F（点F与点C不重合）． ①如图2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且点F在∠DCE平分线的反向延长线上，则∠AFC＝　68　°； ②试探究∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先由AD∥BE得∠D＝∠DCE，再根据∠B＝∠D，由此可得∠B＝∠DCE，据此根据平行线的判定可得出结论； （2）①过点F作FM∥AB，延长FC交AE于H，先根据角平分线的定义求出∠BAF＝33°，∠DCH＝35°，再证AB∥FM∥CD，进而得∠AFM＝∠BAF＝33°，∠CFM＝∠DCH35°，然后∠AFC＝∠AFM+∠CFM可得出∠AFC的度数； ②过点F作FN∥AB，延长FC交AE于P，设∠BAF＝α，∠DCP＝β，由角平分线的定义得∠EAF＝∠BAF＝α，∠BAE＝2α，∠DCE＝2∠PCE＝2β，由AB∥CD得∠B＝∠DCE＝2β，由AD∥BE得∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣2β，据此可得∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝180°﹣2（α+β），然后证FN∥AB∥CD，则∠AFN＝∠BAF＝α，∠CFN＝∠DCP＝β，由此得∠AFC＝∠AFN+∠CFN＝α+β，据此即可得出∠DAE与∠AFC之间的数量关系． 【解答】（1）证明：如图1所示： ∵AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD； （2）①过点F作FM∥AB，延长FC交AE于H，如图2所示： ∵∠BAE＝66°，AF平分∠BAE， ∴∠BAF∠BAE＝33°， ∵∠DCE＝70°，点F在∠DCE平分线的反向延长线上， ∴CH平分∠DCE， ∴∠DCH∠DCE＝35°， 由（1）可知：AB∥CD， ∴AB∥FM∥CD， ∴∠AFM＝∠BAF＝33°，∠CFM＝∠DCH35°， ∴∠AFC＝∠AFM+∠CFM＝33°+35°＝68°； 故答案为：68． ②∠DAE与∠AFC之间的数量关系是：∠DAE+2∠AFC＝180°，理由如下： 过点F作FN∥AB，延长FC交AE于P，如图3所示： 设∠BAF＝α，∠DCP＝β， ∵AF平分∠BAE， ∴∠EAF＝∠BAF＝α，∠BAE＝2α， ∵点F在∠DCE平分线的反向延长线上， ∴CP平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠PCE＝2β， 由（1）可知：AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE＝2β， ∵AD∥BE， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣2β， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝180°﹣2β﹣2α＝180°﹣2（α+β）， 由（1）可知：AB∥CD， 又∵FN∥AB， ∴FN∥AB∥CD， ∴∠AFN＝∠BAF＝α，∠CFN＝∠DCP＝β， ∴∠AFC＝∠AFN+∠CFN＝α+β， ∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣2∠AFC， 即∠DAE+2∠AFC＝180°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，正确地作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 知识点一十三 统计表 33．（2023秋•高港区期末）下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同，文艺小组每次活动时间比科技小组每次活动时间多0.5小时．设文艺小组每次活动时间为x小时，请根据表中信息完成下列解答． 课外小组活动 总时间（小时） 文艺小组 活动次数 科技小组 活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 a 九年级 9.5 m n （1）科技小组每次活动时间为多少小时？ （2）求八年级科技小组活动次数a的值； （3）直接写出m+n的值． 【分析】（1）根据文艺小组每次活动时间为x小时，再根据文艺小组每次活动时间比科技小组每次活动时间多0.5小时，即可得出答案； （2）根据七年级的课外小组活动总时间和文艺小组、科技小组的活动次数求出每次活动的时间，再根据八年级课外小组活动总时间列出方程，求出a的值即可； （3）根据九年级课外小组活动总时间为9.5小时列出方程，再根据m与n是自然数，即可求出m与n的值，进而得出结论． 【解答】解：（1）设文艺小组每次活动时间为x小时，依题意得： 4x+3（x﹣0.5）＝12.5， 解得：x＝2， 故2﹣0.5＝1.5（小时）． 答：科技小组每次活动的时间为1.5小时； （2）根据题意得：3×2+1.5a＝10.5， 解得：a＝3， 则a的值为3； （3）∵九年级课外小组活动总时间为9.5小时， ∴2m+1.5n＝9.5， ∵m与n是自然数， ∴m＝1，n＝5或m＝4，n＝1， ∴m+n＝6或m+n＝5． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，统计表，解题关键是要读懂表格，根据表格提供的信息，找出合适的等量关系列出关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【冲刺期末】七年级数学上南通地区最新期末试卷解答题压轴题精选 （原卷版） 知识点一 数轴 1．（2023秋•启东市期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动4cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点． （1）用1个单位长度表示1cm，请你在题中所给的数轴上表示出A、B、C三点的位置； （2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝　 　cm； （3）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点以每秒1cm、5cm的速度向右移动，设移动时间为t（t＞0）秒，试探究CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 2．（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于a（a＞0），则称点P为线段AB的“a距点”． 已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m+1． （1）当m＝1时，在﹣2，﹣1，2.5三个数中，　 　是线段AB的“2距点”所表示的数； （2）若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为 　 　； （3）若数轴上﹣2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2：1，求m的值． 3．（2021秋•如皋市期末）定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点． 已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n． （1）若点A是点M的2倍原距点， ①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　 　； ②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由； （2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值． 知识点二 列代数式 4．（2023秋•启东市期末）小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 …… 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． （1）他们共点了 　 　份B套餐；（用含x的式子表示）； （2）若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 5．（2021秋•海门市期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，且满足MA＝nMB（n为大于1的正整数），则称点M是点A，B的“n倍点”．已知数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是5． （1）线段AB的长度为 　 　； （2）点A，B的“2倍点”点M所表示的数为 　 　； （3）当点M是点A，B的“n倍点”时，请用含n的代数式表示点M所表示的数． 知识点三 规律型：数字的变化类 6．（2023秋•海门区期末）观察下列三行数： ﹣1，+3，﹣5，+7，﹣9，+11，⋯；① ﹣3，+1，﹣7，+5，﹣11，+9，⋯；② +3，﹣9，+15，﹣21，+27，﹣33，⋯．③ （1）取每行数的第7个数，计算这三个数的和； （2）是否存在第k列数（每行取第k个数），这三个数的和正好为﹣197？若存在，求k的值；若不存在，说明理由； （3）在第②行中，是否存在三个连续数，其和为87？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由． 7．（2022秋•崇川区期末）小通在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的谷值．小通进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以计算其相应的谷值，如数列﹣1，2，3的谷值为，数列3，﹣1，2的谷值为1；…经过研究，小通发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，谷值的最小值为，根据以上材料，回答下列问题： （1）数列﹣6，﹣3，2的谷值为 　 　； （2）若数列1，2，a（a＞0）的谷值比数列1，a（a＞0），2的谷值大，求a的值； （3）将2，2，m这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的谷值的最小值为1，请直接写出m的值为 　 　． 知识点四 整式的混合运算—化简求值 8．（2022秋•海安市期末）定义：对于形如a（x﹣b）2+c的多项式（a，b，c为常数，其中a≠0），若x取两个不相等的数值m，n时，该多项式的值相等，则称数值m和n为多项式a（x﹣b）2+c的一组“等值元”，记作[m，n]．例如多项式（x﹣2）2+1，当x取0和4时，多项式（x﹣2）2+1的值均为5，则称0和4为多项式（x﹣2）2+1的一组“等值元“，记作[0，4]． （1）下列各组数值中，是多项式﹣2（x+3）2+5的“等值元“的有 　 　（填写序号） ①﹣5和﹣1；②0和﹣3；③和． （2）若[﹣2，﹣5]是3（x﹣b）2﹣4的一组“等值元”，求b的值； （3）若[m，n]和[m﹣2，t]是多项式a（x﹣b）2+c的两组“等值元“，求n﹣t的值． 知识点五 一元一次方程的应用 9．（2023秋•海安市期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设MO＝a•MA（a＞0）． （1）若点M表示的数为，则a＝　 　； （2）若a＝2，求点M在数轴上表示的数； （3）若点N为线段OM的中点，当|ON﹣AM|OA时，求a的值． 10．（2023秋•崇川区期末）越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现，每个微信账户享有累计不超过1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，超出的部分需支付0.1%的手续费，且以后每次提现支付的手续费均为提现金额的0.1%． （1）小新使用微信至今，用自己的微信账户共提现两次，提现金额均为1500元，则小新这两次提现共需支付手续费多少元？ （2）小管使用微信至今，用自己的微信账户共提现三次，提现手续费如下表： 第一次 第二次 第三次 手续费/元 0 1.6 1.2 ①小管第三次提现金额为 　 　元； ②若小管第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，求小管第一次提现的金额． 11．（2023秋•海门区期末）某公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班级为单位购票，则一共应付1240元． （1）求两个班各有多少学生； （2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可节省多少钱？ （3）若七年级（1）班单独组织去游园，请问600元能否满足全班同学的购票需求？请说明理由． 12．（2022秋•崇川区期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣6，4，O为原点． （1）若点P为线段AB上一点，且点P到点A的距离是点P到点B的距离的4倍，求点P对应的数； （2）当点B以每秒2个单位长度的速度向右运动时，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，问他们同时出发，几秒后A，B，O其中一点是连接另外两点的线段的中点？ 13．（2021秋•如皋市期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔20支，共用了1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①学校仍需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔，需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果只买这两种笔，你的帐肯定算错了！”请判断王老师的说法是否正确，并说明理由； ②陈老师突然想起，所做的预算中还包括一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请直接写出签字笔的单价． 14．（2021秋•崇川区期末）某百货商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，乙种服装每件进价800元． （1）若该商场同时购进甲、乙两种服装共30件，总进价为21000元，求商场购进甲、乙两种服装各多少件？ （2）若该商场对（1）中所购进的甲、乙两种服装进行销售，其中甲种服装每件售价800元，乙种服装每件盈利50%，则该商场销售完这批服装一共能盈利 　 　元； （3）该商场元旦当天对所有商品实行“满1000元减400元的优惠”（比如：某顾客购物3200元，满三个1000元，则可优惠1200元，只需付款2000元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减400元”的活动． 张先生元旦购买甲、乙两种服装各一件，标价合计2000元．后来他发现按照晚上八点后的优惠方式付款，竟然比不打折直接参与“满1000元减400元”的活动多付200元钱．问该商场晚上八点后推出的活动是先打几折？ 15．（2021秋•崇川区期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作d（）＝n． 例如，点C是AB的中点时，即ACAB，则d（）； 反之，当d（）时，则有ACAB． 因此，我们可以这样理解：“d（）＝n”与“AC＝nAB”具有相同的含义． 【理解与应用】 （1）如图，点C在线段AB上．若AC＝3，AB＝4，则d（）＝　 　； 若d（），则AC＝　 　AB． 【拓展与延伸】 （2）已知线段AB＝10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m•d（）+d（）的值是个定值，则m的值等于 　 　； ②t为何值时，d（）﹣d（）？ 16．（2021秋•启东市期末）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： （1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向　 　，出发时刻　 　（填“相同”或“不同”）； （2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离； （3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？ 17．（2021秋•启东市期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”． （1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时 ①点O到线段AB的“绝对距离”为　 　； ②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为　 　； （2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值． 且点A的速度是点B速度的2倍，当2（y﹣n）＝3（x﹣m）时，请直接写出点A表示的数． 知识点六 直线、射线、线段 18．（2023秋•崇川区期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0． （1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点表示的数是 　 　； （2）若数轴上另有一点M表示数3． ①若点M在线段AB上，且AM＝2BM，求式子a+2b+2024的值； ②点P为线段AB上一动点，点Q为线段OM上一动点，当b＝a+6时，线段PQ的最大长度为5，求a的值． 知识点七 比较线段的长短 19．（2023秋•薛城区期末）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB． （1）请用圆规在图中确定D点的位置； （2）比较线段的大小：AC 　 　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； （3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的长． 知识点八 角平分线的定义 20．（2023秋•启东市期末）已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 　 　． （2）探求∠MON和∠AOB的等量关系． 21．（2023秋•屯昌县期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； ②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 22．（2021秋•崇川区期末）点O在直线AD上，在直线AD的同侧作射线OB，OC． （1）如图1，若∠AOB＝40°，∠BOC：∠COD＝4：3，求∠BOC的度数； （2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠MON＝130°，求∠BOC的度数． 知识点九 角的计算 23．（2023秋•启东市期末）已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　 　； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数． 24．（2023秋•海门区期末）如图，将一副三角板摆放在一起，∠DAB＝m°． （1）当0＜m＜45时， ①若m＝20，则∠CAD＝　 　°，∠BAE＝　 　°； ②猜想∠CAD与∠BAE有何数量关系，并说明理由； （2）当0＜m＜120且∠BAE＝6∠CAD时，求m的值． 25．（2021秋•密云区期末）已知：∠AOB＝120°，∠COD＝90°，OE平分∠AOD． （1）如图1，当∠COD的边OD在∠AOB内部时，若∠COE＝40°，求∠BOD的度数； （2）如图2，当∠COD的边OD在∠AOB外部时，且0°＜∠BOD＜60°时，设∠COE＝α，∠BOD＝β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明． 26．（2021秋•启东市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数； （2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角； （3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数． 知识点一十 余角和补角 27．（2022秋•如皋市期末）定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”． （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由； （2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　 　； （3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数． 28．（2023秋•濠江区期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°． （1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数； （2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE； （3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由． 知识点一十一 平行线的性质 29．（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA． （1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数； （2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数； （3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由． 30．（2021秋•如东县期末）如图1，T，Z为直线UV同侧的两点，W为直线UV上的一点，连接WT，WZ．若∠UWT＝∠VWZ，则称点W为T，Z两点关于直线UV的反射点． （1）如图2，点O是A，B两点关于CD的反射点．若∠BOD＝35°，直接写出射线OA的方向； （2）如图3，A，B为CD同侧的两点，点O为CD上的一点，AC∥BO，AO∥BD．若∠C＝∠D，求证：点O是A，B两点关于CD的反射点； （3）如图4，点G是M，N两点关于EF的反射点，GP，GQ分别平分∠FGN，∠FGM．若∠PGQ＝50°，请补全图形并求∠EGQ的度数． 知识点一十二 平行线的判定与性质 31．（2023秋•海安市期末）如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数． 32．（2023秋•崇川区期末）如图1，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AE，∠BAE的平分线和∠DCE的平分线所在的直线相交于点F（点F与点C不重合）． ①如图2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且点F在∠DCE平分线的反向延长线上，则∠AFC＝　 　°； ②试探究∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由． 知识点一十三 统计表 33．（2023秋•高港区期末）下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同，文艺小组每次活动时间比科技小组每次活动时间多0.5小时．设文艺小组每次活动时间为x小时，请根据表中信息完成下列解答． 课外小组活动 总时间（小时） 文艺小组 活动次数 科技小组 活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 a 九年级 9.5 m n （1）科技小组每次活动时间为多少小时？ （2）求八年级科技小组活动次数a的值； （3）直接写出m+n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$