专项3-4 全等三角形模型 等腰三角形-2024-2025学年八年级数学上册芸熙百分期末必刷卷（人教版）河南专版

江 t八所死图 模型3校转全等型 极型4“一线三等角授型 专项3金等三角形模型 零 橘型【平移全等型 4阅读理解.自主探究： ▣一魔三德直“模型是”一线三等真”模型的特殊情死，中 三个等角角度为90°，于是有三红边相1直所以种为“一线 三◆虎规型”，有根型中有一虹对总地长初等时，国模塑中 定存在全等三角形 (1)问紫解决： 1.在数学实践课上，老师在黑板上其出如图所示的图形（其中点 3.地合与实践： R.F,G,E在同一杀直线上)，并写出四个条件：①AB=D 【同题情境】 如图1，在等装直角三角形ABC中。∠ACB=9,C=C过点 G作直线DEAD⊥DB干点D.E⊥5于点E,求王：△AG9 2∠1■∠2,3BF“EC,④∠B·∠E交流中老师让同学口从 如图，油着的两端有A,B两点，现蛋爱测量该池塘的两端A,异 △CE8: 这四个条件中这出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个 之可的距离，看菱如何进行呢？ (2)问盛探究 真合题 [方案解浃】 如图2，在等限直角三角形AG中。∠CB=0.C=C,过点 (1)请保写出所有的真命遥： 间学们思出了如下的两种方案： C作直线CE,AD⊥CB于点D.BB上CE于点E,AD=2.5,DE= (2)选一个给于证明 方案一：周1先在平地上取，个可直接到达A,B的点C,再 连接AC,C,并分群廷长AC至点D,C至点￡，使C■AC 1.7,求5的长1 EC=C,最后量出D.的距离就是A.星的距离： (3)拓展延佛： 方案二：如图2，过点B作A5的垂线F,在BF上取G,D两 如图3，在平面直角坐标系中，A一1.0)，C(1.3),△4BC为等 点，使G=C取接看过点D作的垂线E,在重线上选 罗直角三角形.∠ACB=9°，AC=C,求点B的坐标 点￡，使A,C,E三点在一条线上，刚测出DE的长即是A, 棱型2翻折全等型 的更高， (1)方案一量否可行？请说明理由： (2)方二是否可行？请说明理由： (5)李明同学提出，在方累二中，并不一定需要F1B,1 F.其因要 就可以了，请把幸明所说的条件补上， 图2 2如用，在△AC中，点D为C边的中点.过点F作能∥G交 AD的延长线于点E I)求证：A0Ee△DA: (2)若AD⊥G.求证：A=E 数学人年提上带●第！黑共玉吴 数学八极上即票第？风类3司 数学人年上腊·笔3黄共兴二专项3 训运足 众三乐地 3.如图，在等厦三角形AC中，M=BC,∠AC=45·,D平分 5.己知，在等边已角形AC中，点E在AB上，点D在C?的延长 ∠AC,折叠∠ABC使得点B与点C重合，折前分划交B, 线上，ED=EC 专项+等腰三角形 C,D于点E,P,G,流接GE交BD于点H (1)【特殊情况，深索结论] 年出带年年步出年 《)求证：H=C: 如图1，当点E为B的中点时，确定线段AE与DB的大小关 1.【问瑞青最】 (21连接GC,若∠BGC=2∠A.CD=5,求D的长 系，请你直楼号出结论：E (填“>·<或 某校八年级数学社团在研究等框三角彩“三线合一·性质时发 *m)1 现：①如图，在△AC中，若AD⊥C,0=D,刚有∠B=∠C: (2)1特例启发，解答目】 2某同学脱终提出一个月题：景然①正确.事么进一步推得A用 如周2.当点君为AB边上狂意一点时，骑定线取A层与B的 =AG.即知AB+BD=AG+,若把①D中的D=CD替换为 大小美系，请体直接写出结论：优。 DB(算”>·心” AB+D=AG+CD,还佳雅出LB■∠G吗： 或“=)理由如下：过点E指Fc,交AC于点E(请体 基于此，社团或员小军进行了探常研究，发现确实能推出∠ 完成以下解客过程) =∠C,并提线了如下的证明方法 (3)【拓展结论，设计新题】 任明：如图，分别证长DB,G至，F两点，使得 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段第的 【问愿解决】 廷长线上，且D-C若△C的边长为3，起-6，求D的长 《1)完成①的证明： (请保再出相图形，并直接写出结果》 《2)把中小军的证明过程补充完整 4,如明，已知△A与△AD求都是等题三角形，AB=AG.AD= AB,点D在边C上（不与B,C重合），且∠B-LADE,DE交 AG于点F (1)莲接CE,若C印=E,说明DF与F相等的理由： (2)若∠B0=0,当△F是等霞三角形到，直接写出∠ 的度数 2.知图，在等边三角形Ac的三边上，分取点D,E,F,能AD■ =CF. 《1》求证：△DEF是等边三角形： (2)若C=2BE,求∠FG的度数 专项4二数家人年提上·第1算5买 盐学八T罐上带垂第子美共3直 数学八午板土剪。第1真类万到河洛芸熙·期末考试必刷卷 面底云腿 90°，∠DAC+∠ACD=90°.∠ACB=90°，∠ACD+ ∠ECB=90°，∴.∠DAC=∠ECB.在△ADC和△CEB中， ,∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB,÷.△ADC≌△CEB(AAS) AC =CB. (2).BE⊥CE,AD⊥CE,∠ADC=∠CEB=90°，.∠CBE +∠ECB=90°，∠ACB=90°，∴.∠ECB+∠ACD=90°. t∠ADC=∠CEB. ∴，∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中. ∠ACD=∠CBE, AC=CB. △ADC≌△CEB..AD=CE=2.5,CD=BE,.BE=CD= (4)9 CE-DE=2.5-1.7=0.8. 6.解：(1)SSs (3)如图，过点C作直线1∥x轴，交y (2)如图1，直线PD即为所求. 轴于点G,过A作AE⊥I于点E,过B 作BF⊥I于点F,交x轴于点H,则 ∠AEC=∠CFB=∠ACB=90 A(-1.0).C(1.3),.EG=OA=1. CG=1,FH=AE=OG=3...CE=EG 10 H 图1 图2 +CG=2..·∠ACE+∠EAC=90°， ∠ACE+∠FCB=90°，∠EAC=∠FCB.在△AEC和 (3)如图2，线段AD即为所求， ∠AEC=∠CFB, 专项3全等三角形模型 △CFB中， ∠EAC=∠FCB,∴.△AEC≌△CFB(AAS), 1.解：(1)情况一：题设：①②4：结论：③ LAC CB. 情况二：题设：①③④：结论：② AE=CF=3.BF=CE=2,..FG=CG+CF=1+3=4,BH= 情况三：题设：②3③④；结论：① FH-BF=3-2=1,,点B的坐标为(4，I) (2)题设：①2④：结论：③.证明如下： 专项4等腰三角形 ∠2=∠1. 1.解：(1)证明：.AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°.在△ADB 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E AD=AD. AB =DE. 和△ADC中， ∠ADB=∠ADC,.△ADB≌△ADC(SAS), .△ABG≌△DEF(AAS),∴.BC=EF BD =CD. .BC-FC=EF-FC,即BF=EC .∠B=∠C 题设：①③④：结论：2.证明如下： (2)如图，分别延长DB.DC BF EC...BF +CF EC CF,BC EF. 至E,F两点，使得BE=BA, AB DE. CF=CA..AR BD AC+ 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E, CD,∴.BE+BD=CF+CD BC =EF. .DE=DF.AD⊥BC, E R D C ,△ABC≌△DEF(SAS).,.∠1=∠2 题设：23④：结论：①.证明如下： ∠ADE=∠ADF=9O°在△ADE和△ADF中 AD=AD. BF=EC,..BF FC=EC+FC,BC EF. ∠ADE=∠ADF,.△ADE≌△ADF(SAS),.∠E=∠F ∠2=∠1， 在△ABC和△DEF中，BC=EF. DE DF. L∠B=∠E BE=BA,CF=CA,.∠E=∠BAE,∠F=∠CAF. ∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,∴，∠ABC= ∴.△ABC≌△DEF(ASA),∴.AB=DE ∠AGB. (选择其中一个即可，答案不唯一) 2.解：(1)证明：点D为BC的中点，∴BD=CD 2.解：(1)证明：△ABC是等边三角形，AB=BC=AC AD=BE=CF,∴.AF=BD.在△ADF和△BED中 BE∥AG,',∠EBD=∠C,∠E=∠CAD, AD=BE. r∠EBD=∠C, ∠A=∠B,.△ADF≌△BED(SAS),÷.DF=DE.同理DE 在△BDE和△CDA中， ∠E=∠CAD,∴.△BDE≌△CDA AF=BD. BD CD. =EF.∴.DE=DF=EF,∴.△DEF是等边三角形 (AAS). (2)取EC的中点H,连接FH.·EC= (2)证明：：点D为BC的中点，AD⊥BC, 2BE,..EH CH..BE CF,.CH= .直线AD为线段BC的垂直平分线，.BA=CA. CF.,∠C=60°，∴，△CFH是等边三角 由(I)可知△BDE≌△CDA.∴.BE=CA,,BA=BE 形，.FH=CH=EH.∴.∠EFH= 3.解：(1)可行，理由如下： ∠FEH,∠FCH=∠CFH.,·∠EFH+ LAC=DC. ∠FEH+∠FCH+∠CFH=I8O°， 在△ABC和△DEC中. ∠ACB=∠ECD.,△ABC≌△DEC ∠EH+∠CFH=90P,.∠EFC=90°. CB=EC. 3.解：(1)证明：由折叠的性质知，EB=EC,∠BCE=∠ABC= (SAS),∴.AB=DE 45P,EF垂直平分BC,.∠BEC=∠AEC=90°.，BA=BC, (2)可行，理由如下：：BF⊥AB,DE⊥BF,∴.∠B=∠BDE= r∠B=∠CDE=90°， ∠ABC=45∠A=∠ACB=18-,LAC=67.5LACE= 90°.在△ABC和△EDC中， CB=CD. +△ABC L∠BCM=∠DCE ∠ACB-∠BCE=22.5.BD平分∠ABC,.∠EB= ≌△EDC(ASA).,∴，AB=DE. ∠CB别=2∠ABC=2.5°，∠EBI=LACE.在△BEH和 (3)AB∥DE 解析.·AB∥DE..∠B=∠BDE.在△ABC ∠HEB=∠AEC, ∠B=∠CDE △CEA中 EB=EC. ∴.△BEH≌△CEM(ASA): 和△EDC中」 CB=CD, .△ABC≌△EDC(ASA). ∠EBIH=∠ECA. ∠BCA=∠DCE. .BH =AC. AB =DE. 4.解：(1)证明：AD上DE,BE⊥DE,∠ADC=∠CEB= (2)·∠BGC=2∠A=135°，∴∠DGC=180°-∠BCC= ●·八年级·数学·上册 派运恩 45°.：EF垂直平分BC,÷GC=GB.∴.∠GCB=∠GBC= ∠DGC=25”∠DCG=LACB-∠GCB=45∠D0G= 1 学故注 二、填空题 ∠DGC..GD=CD=5. 4.解：(1)DF=EF.理由如下：，'∠B=∠ADE,AB=AC,AD= 11.2 12.(x-3)(x+1)(x-1)13.S5s AE,∴.∠BAC=1809-2∠B,∠DAE=1809-2∠ADE. 14.20解析>如图.过点C作CF ·∠BAC=∠DAE,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 AB,∴，∠FCA=∠BAC=I25 AB =AC. AB∥DE,CF∥AB,,CF∥DE. D E ∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE ÷∠FCD=180°-∠D=180°- B LAD=AE. △ABD≌△ACE(SAS),,∴，∠ACE=∠ABD.AB=AC 75°-105.÷∠ACD=∠FCA-∠FCD=1250-105°= 20°. 、.∠ABD=∠ACD,..∠ACE=∠AGCD.·CD=CE,∴.DF= 15.5解析)如图，过点B作BK LAC于 EF(等腰三角形三线合一). (2)分三种情况讨论：①如图1，当DA=DF时，设∠B=a, 点K,作点N关于AD的对称点V”,连 则∠ADF=∠C=a.,·∠ADC=∠ADF+∠FDC=∠B+ 接N'B.AD平分∠BAC,.点N”在 ∠BAD,.∠FDC=∠BAD=30°.DA=DF,.∠DAF= AC上..BM+MN=BM+MN'≥BN. ∠DF1=180-a=90-2 aLDFA=∠FDc+LC.即 当B,M,V共线，且BN'⊥AC时， 2 BM+MN最短，即点N'与点K重合，BM+MN的最小值为 90°- 2=+30°，解得a=40°，此时∠B=40 BK的长：AB=0,∠BMC=30BK=24B=5BW +MN的最小值是5. 三、解答题 16.解：(1)原式=2(2-4ab+42)-(2a2-4ab+ab-2)= 2a2-8ab+8b-2a2+4ab-ab+2b2=-5ab+10b2 (2)方程两边乘(x+1)(x-1),得x(x-1)-(x+1)(x 图1 图2 ②如图2，当AF=DF时，由①知∠FDC=∠BAD=30,设 1)=2x解得x=子检验：当x=号时，(x+1)(x-) ∠B=a,则∠ADF=∠C=a.AF=DF,.∠DAF=∠ADF =a,∴∠AFD=180°-2a=a+30°，解得a=50°，此时∠B 0.“原分式方程的解为x=了 =50°. 17.解：原式=1-上· (3x+y)2 ③当AD=AF时，：AD=AE,点F在DE上，∴此种情况不 =1-3r+y= 存在.综上所述，∠B的度数为40°或50° 3x+y (x+y)(x-y) x+y 5.解：(1)= 米+y-3x=1=-2x x+y x+y (2)AE=DB.理由如下：如图3，过点E作EF∥BC,交AC于 点F,则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠FEC=∠ECD 当x=-2y=1时，原式=-2×(-22=-4 -2+1 ,·△ABC是等边三角形.：.AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB= 60°，∴.∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，∴.△AEF 18.解：(1)如图所示.射线B0,直线EF即为所求， 为等边三角形，∠EFC=120°，AE=EF,∠DBE=∠EFC= I20°..ED=EC,.∠D=∠ECD,÷,∠D=∠FEC.在 ∠DBE=∠EFC=120°， △DBE和△EFC中， ∠D=∠FEC. ED EC. ∴△DBE≌△EFC(AAS),.∴.DB=EF,∴.AE=DB (2):AB=AC,LBMC=36∠ABC=∠ACB=2(180°- ∠BC)=号×(180°-36)=72，BD平分∠ABC 图3 图4 六LCBD=2LABC=36.EF1BC,∠BEF=90 (3)如图4，过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F同 .∠BFE=90°-∠CBD=90°-36°=549 (2)得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS),:AE= EF=6,DB=EF=6..BC=3...CD=BC+DB=3+6=9 19.解：(1)选择3∠ABC=∠DEF证明：在△ABC与△DEF tAB=DE. 洛阳市2023一2024学年第一学期期末考试试卷 中， ∠ABC=∠DEF,,△ABC≌△DEF(SAS).(或选择 一、选择题 BC EF, 题号12345678910 ①DAD=CF,证明：AD=CF,∴.AD+DC=CF+DC,即AC 答案DCCDADCABB tAB=DE. =DF.在△ABC与△DEF中，BC=EF,∴.△ABC≌△DEF 7.C解析》>.·正五边形的内角和为(5-2)×180°=540° LAC=DF. ∴.∠ABG=∠EAB=540°÷5=108°.AB=BC,∴∠BAC= (S5S).) ∠BCA= 2(180°-LABc)= 2×(180°-108)=369. (2)证明：△ABC≌△DEF∴.∠BAC=∠EDC.∴AB∥DE 20.解：(1)证明：如图，过点A作AG⊥EF ∴，∠EAC=∠E4B-∠BAC=108°-36°=72°故选C. 于点GEA平分∠BEF,∠ABC=90° 10.B解析由题意可知，甲队的工作效率为”，乙队的工 ∴，AB=AG.,AB=AD.∴，AD=AG AF=AF∴.RI△ADF≌I△AGF(HL). 作效率为，二3所以两队一起加工这批零件需要m÷(丹 ∴.∠DFA=∠EFA..FA平分∠DFE. (2)在Rt△ABE和Rt△AGE中，，AB =AG,AE=AE,:.R△ABE≌R△AGE n(n-3) (HL)..∠BAE=∠GAE.由(1)知，Rt△ADF≌Rt△AGF ∴.∠DAF=∠GAF∴，∠EAF=∠GAE+∠GMF=∠BAE+ 6