第十三章 轴对称（名师划重点）-2024-2025学年八年级数学上册芸熙百分期末必刷卷（人教版）河南专版

河洛芸照·期末考试必刷卷 面志艺腿 第十三章 轴对称 章节知识导图 对应线段相等，对应角相等 轴对称 的性质 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端，点的 距皆相等如图，PD⊥AB,D=BD,PA=PB 判定：与线段两个端点距离相等的，点在这条线段的垂 线段的垂 直平分线上知图，PA=PB,,点P在线段AB的垂直平 D B 直平分线 分线上 过一点作已知直线的垂线 尺规作图（作一条线授的垂直平分线 点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),即“横同纵反” 成轴对称的 轴对称 点的坐标 点P(,y)关于y轴对称的点的坐标为(-，y),即“攒反纵同" 性质：①等边对等角；②三线合一；③轴对称性 指顶角平分线、 等腰三角形 底边上的中线、 判定：①定义；②等角对等边 底边上的高 例 性质：三边相等，三个内角都是60 等边三角形 判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半，如图，在R1△ABC中，∠C=90°， 含30°角的直角 三角形的性质 若LB=30°，则AC2AB 如图，在直线上找一点P,使PA+PB的值最小 .B 最短路 径问题 M 如图，在直线，l上分别找点M,V,使△PMN的周长最小 p p 依据：两点之间， 线段最短 考点集中突破 考点一 线段垂直平分线性质的应用 典例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周 长为50cm,则AC+BC的长为 A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 6 ●·八年级·数学·上册 丽离老爬 【变式1】如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=35°，分别以点A和点C为圆心，大于)AC的长为 半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为() A.60 B.70° C.75° D.85 【变式2】如图，在△4BC中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先 作∠ABC的平分线BD交AC于点D:然后作线段BD的垂直平分线交AB 于点E,交BC于点F据此，我们可以推出：线段EF与线段BD的关系为 考点二关于坐标轴对称的点的坐标特征 典例2)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如 图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中.若点E的坐标为m,2,其关 于y轴对称的点F的坐标为(2，n),则n"的值为 B.2 c D.4 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线1过点A且平行于x轴，交y轴于点 (0,1),△ABC关于直线1对称，点B的坐标为(-1，-1)，则点C的坐标为 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐 标是(a,b),经过第1次变换后所得的点A,的坐标是(a,-b),则经过第2025次变换后所得 的点A22s的坐标是 第1次 第2次 第3次 第4次 关于x钠对称 关于y钠对称 关于x轴对称 关于轴对称 7 河洛芸照·期末考试必刷卷 面志居恩 考点三)等腰三角形的性质 典例3)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于 点D.若BC=2,则AD的长度为 【变式5】如图，已知△ABC是等边三角形，点B,C,D,E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE, 则∠E的度数为 A.25° B.20° C.15 D.7.5° D 变式5图 变式6图 【变式6】如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC 于点F.若BC=6,则CF的长为 【变式7】如图，有三个相同的正六边形螺母，将其中两个并排摆放在水平地 面上，且有一个公共点，将第三个摆放在上面，形成一个轴对称图形，则图中 ∠α的度数为 777727777777777720 考点四)利用轴对称解决最短路径问题 典例4)如图1，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分 别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+MD的最 小值为 B 图1 图2 【变式8】如图2，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB 上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPV的度数为 4解题通法 求两条线段的和或周长的最小值时，一般利用轴对称变换和“两点之间，线段最短”，将这儿 条线段转化到同一条线段上，来确定最小值。 8河洛芸照·期末考试必刷卷 0冠四 答案解析 情讲解百化，助你学无优！ 第十一章三角形 8.80°解析)如图，作点P关于0A. 典例，1.C2.D3.C OB的对称点P,P,连接OP,OP 0变式1.12.75 则当M,N是PP与OA,OB的交点 3.B解析)：∠ACB=90°，∴.∠CAB+∠CBA=90°，AE, 时，△PMN的周长最短，连接P,P E分别平分∠CB,∠CLBB+L=∠CB+ PP.P,P关于OA对称. ∴.∠POP=2∠MOP,OP=OP,P,M ∠CBA=45°=LBEG.BG平分∠CBF,∠CBG= 1 =PM.∠OPM=∠OPM.同理可得 ∠POP=2∠NOP,OP=OP,∠OP,N=∠OPN,∴.∠POP -LCBF.LCRE=∠Ci,LGB=∠BG+ =∠POP+∠P,OP=2(∠M0P+∠NOP)=2∠AOB=100P OP,=OP2=OP,△P,0P2是等腰三角形，∴∠OPN= ∠CBE=I ∠CBN+74CB4=90°∠G=0°-LBEG ∠OP,M=40°，.∠MPN=∠MPO+∠NP0=∠OP,N+ ∠0P,M=80°. =45°.，：∠ADC=∠BDG,.∠ADC+∠GBF=∠BDG+ 第十四章整式的乘法与因式分解 ∠DBG=180°-∠G=135°.故选B. 典圆1.122.293.A 4.C5.7 4.解：(1)原式=a°-8a°+a°=-6a 第十二章 全等三角形 (2)原式=2x2-2x-(x2-2x+1)=2x2-2x-x2+2x-1= 興例1.C2.(-6,2) x2-1. 3.解：(1)如图所示，∠BAC的平分线即为所求. 5.解：(1)原式=4(a2-4)=4(a+2)(a-2). (2)原式=-m(4m2-4m+1)=-m(2m-1)户 国142第3.-}4A 5.解：(a+b)2=a2+2ab+=17,(a-b)2=a2-2ab+ =13,.(a+b)2+(a-b)2=2(a2+62)=30,(a+b)2-(a (2)证明：，AE平分∠BAC,∴.∠BAE=∠DAE.,AB=AD -b)2=4ab=4,∴a2+b=15,ab=1. AE=AE,∴△BAE≌△DAE(SAS).,DE=BE. 6.C 4.4 变式1.0A=0B(答案不唯一）2.2 7解：)原式=之+宁 3.解：如图.过点O作∠AOB或∠BOC的平分线，与直线MN (2)原式=4x2-1-(4x2-12x+9)=4x2-1-4x2+12x-9 交于点P,点P即为所求作的点。 =12x-10. 8.解：(1)原式=(x2+9+6x)(x2+9-6r)=(x+3)(x-3)月 P∠N (2)原式=x(4x2-4+y2)=y(2x-y)2 第十五章分式 典例1.B 4.B 2.解：(1)②③ 5.C解析》如图，过P点作PF⊥BA (2)甲同学的解法： 于F,PN⊥BD于N,PM⊥AC于M. 原式= 2+” x(x-1) 设∠PCD=x°.CP平分∠ACD ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN 2x2 .(x+1)(x-1D=2x .BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBC (x+1)(x-1) PF=PN,,PF=PM.,·PF⊥BA于 CND 乙同学的解法： F,PM⊥AC于M,.∠FAP=∠PAC.∠BP℃=40°， ∠ABP=∠PBC=(x-40)°，.∠BAC=∠ACD-∠ABC= 原武+…山 x -1 x x+1 2x°-（x-40)°-(x-40)°=80°，∴.∠CAF=100°.在R阳 △PR1和路△P中，周二体△PA x-1 (x+1)(x-)=x-1+x+1=2x 3.解：方程两边都乘x2-1,得(x+1)2-4=x2-1.整理，得x2 △PMA(HL).,∠FAP=∠PAC=0°.故选C. +2x+1-4=x2-1.移项、合并同类项，得2x=2.系数化为 第十三章轴对称 1,得x=1.检验：当x=1时，x2-1=0.所以原分式方程无 奥例，1.C2.D3.24.6 解. 变式1.A2.互相垂直平分3.(-1.3)】 4.2或-15.D 4.(a.-b)5.C 变式1.B 6.2解析》如图，连接AF 2.解：原式=。2-(a-)(a+.(a+)2 AB=AC,∠BAC=120°， a+1 =-2+1 (a+1)(a-1) 4LB=∠C=寸x(180 (a+1)2 a+1 (a+1)(a-1) 120)=30°.EF垂直平分AC,.CF=AF,.∠FAC= (a+1)2 ∠C=30°，∴.∠BAF=∠BHC-∠FAC=120°-30°=90° a+1(a+1)(a-1) 在Rt△ABF中.∠BAF=90°.∠B=30°.，.BF=2AF=2CF 1 BC=6,∴3CF=6.CF=2. =a-T 7.30° a+1≠0且a-1≠0，不等式-2<a<3的整数解为-1， 1