清单03 不等式与基本不等式（考点清单，知识导图+3个考点清单+12题型解读+变式训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单03 不等式与基本不等式 （3个考点梳理+12题型解读+变式训练） 【清单01】等式与不等式 1、比较原理 ； ； ． 2、等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 3、不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么．即 性质2 如果，，那么．即 ，． 性质3 如果，那么． 由性质3可得， ． 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边． 性质4 如果，，那么；如果，，那么． 性质5 如果，，那么． 性质6 如果，，那么． 性质7 如果，那么（，）． 【清单02】基本不等式 1、基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立． 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立． （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立． （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值． 【清单03】二次函数与方程、不等式 1、函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的关系 函数图象 判别式符号 （设判别式 Δ＝b2－4ac） Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 2、不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤 （1）化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）判：计算对应方程的判别式． （3）求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 3、含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． （1）若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论． （2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． （3）对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 考点题型1：不等式的性质 【典例1-1】（2024·高一·天津滨海新·期中）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在R上递增，所以，故A对； 因为在R上递增，所以，故B错； 若时，，故C错； 若时，，故D错. 故选：A 【典例1-2】（2024·高一·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【解析】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（2024·高一·北京·期中）如果a，b，c满足且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，∵且，则，，必有，故A一定成立， 对于B，∵，∴，又由，则有，故B一定成立， 对于C，当时，不成立，当时，成立，故C不一定成立， 对于D，∵且，∴，∴，故D一定成立， 故选：C． 【变式1-2】（2024·高一·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 考点题型2：利用不等式性质证明不等式 【典例2-1】（2024·高一·甘肃张掖·期中）（1）已知正数满足.求的最小值； （2）已知，求证 【解析】（1）因为正数满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）， ，故， ， 所以 由于，故，得证. 【典例2-2】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式2-1】（2024·高一·北京·期中）对于正数，，，，求证 (1) (2) 【解析】（1）， 当且仅当时取等号， （2）解法一：注意到因式分解 ， 当且仅当时取到， 所以， 令，则有. 解法二：由第一问可知， ， 不等式两边同除可得， 两边同时取次方即可得， 令，则有. 方法3：不妨设，取， ①若，则（将其设为）， 因此有， ②若，不妨设，则有， 否则，因中前两项之和小于或等于，第三项等于，其计算结果不可能等于，与矛盾. 下面证明，只需证. 显然. 不妨设，则， ， 由于，所以，即. 因此有，所以. 而， 所以由①可得.证毕. 【变式2-2】（2024·高一·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【解析】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 考点题型3：利用不等式求值或取值范围 【典例3-1】（2024·高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【解析】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 【变式3-1】（2024·高一·广西南宁·期中）已知，，则的取值范围 ．（用区间作答） 【答案】 【解析】根据题意，设，可得， 因为，，可得，， 所以，即的取值范围为． 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 考点题型4：由基本不等式证明不等关系 【典例4-1】（2024·高一·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【解析】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 【典例4-2】（2024·高一·广东珠海·期中）（1）已知，求证：； （2）设为的三条边，求证： 【解析】（1）由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故不等式成立. （2）由余弦定理有，， ，故， 因为，故， 所以. 【变式4-1】（2024·高一·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【解析】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 【变式4-2】（2024·高一·广西桂林·期中）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【解析】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 考点题型5：利用基本不等式求最值问题 【典例5-1】（2024·高一·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【解析】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 【典例5-2】（2024·高一·广东·期中）已知正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【解析】（1）由， 得，当且仅当时，等号成立， 则，得，即的最大值为1. （2）由，得， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 【变式5-1】（2024·高一·黑龙江绥化·期中）（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 【解析】（1）因为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 即的最小值3. （2）由可得， 当或时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 综上的最大值为5. （3）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 即的最小值为. 【变式5-2】（2024·高一·河南南阳·期中）已知，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 / 【解析】因为，得到， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故答案为：，. 【变式5-3】（2024·高一·浙江·期中）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，，则，， 因为，则，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【变式5-4】（2024·高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 【变式5-5】（2024·高一·广东东莞·期中）奇函数的定义域是，其中，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因为是奇函数，定义域为， 所以，即，经检验，满足题意， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【变式5-6】（2024·高一·浙江·期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 【答案】16 【解析】根据指数型函数定点问题，求，再结合基本不等式求最值. 因为且过定点， 则，， 若且， 则 ， 当且仅当 且，即， 时取等号． 所以的最小值为16. 故答案为：16 【变式5-7】（2024·高一·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由，可得，当且仅当时取等号， 即， 设，则得，解得或， 因，故得，即， 由解得， 即当，时，取得最小值为. 故答案为：. 考点题型6：基本不等式的恒成立与有解问题 【典例6-1】（2024·高一·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【典例6-2】（2024·高一·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 【变式6-1】（2024·高一·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 【变式6-2】（2024·高一·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【解析】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 【变式6-3】（2024·高一·重庆·阶段练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】因，由 ，当且仅当时取等号， 即当时，取得最小值6. 因不等式恒成立，故， 即，解得. 故选：C. 【变式6-4】（2024·高一·四川成都·期中）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为，则， 所以原不等式等价于在上恒成立； 令， 在时单调递减，在时单调递增， 所以当时， ， 若在上恒成立，则，所以. 故选：A 考点题型7：基本不等式的实际应用问题 【典例7-1】（2024·高一·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【解析】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每次购买20吨； （3）由题意得，解得， 故每次购买量在吨范围内. 【典例7-2】（2024·高一·广东广州·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以的函数解析式为. （2）当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号，则， 而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 【变式7-1】（2024·高一·湖南·期中）年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且. (1)当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大； (2)当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）依题意，当时，， 每台的平均利润为，当且仅当时取等号， 所以当生产台时，每台的平均利润最大. （2）当时，，当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）. 【变式7-2】（2024·高一·四川泸州·期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． (1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； (2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 【解析】（1）设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为米，与墙体平行的围墙的边长为米． 因为栅栏的总长为120米，所以， 其中，，则. 每间花室的面积. 因为， 当且仅当，时，等号成立， 所以每间花室面积的最大值为600平方米． （2）因为每间花室的面积为150平方米，所以，则． 栅栏的总长， 当且仅当，时，等号成立， 故栅栏总长的最小值为60米． 考点题型8：不含参数一元二次不等式的解法 【典例8-1】（2024·高一·河北衡水·期中）不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D 【典例8-2】（2024·高一·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由，即， 解得或， 即不等式的解集是或. 故选：D. 【变式8-1】（2024·高一·重庆渝北·期中）一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得或， 所以一元二次不等式的解集为， 故选：C 【变式8-2】（2024·高一·新疆和田·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式等价于， 解得或 所以原不等式的解集为， 故选：C. 考点题型9：含参数一元二次不等式的解法 【典例9-1】（2024·高一·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）由， 当时，可得解集为. （2）对应方程的两个根为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 【典例9-2】（2024·高一·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集； 【解析】由题设，所以不等式化为， 解方程，又， 所以当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式9-1】（2024·高一·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【解析】（1）由题意，不等式的解集为， 则和3是方程的两个根， 得，解得， 所以. （2）若，则，即， 因为，所以， ①当时，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，解集为， ④当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【变式9-2】（2024·高一·辽宁·期中）设函数. (1)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【解析】（1）当时，，成立； 当时，在上恒成立， 所以，解得； 综上的取值范围为； （2）因为，则，整理可得， 当时，原不等式为，解得； 当时，方程的两根为， 当，即时，的解为； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或. 考点题型10：由一元二次不等式的解确定参数 【典例10-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，于是，不等式化为， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【典例10-2】（2024·高一·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式10-1】（2024·高一·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【解析】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 故答案为：5 【变式10-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意得的两个根为，， ，则， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 考点题型11：一元二次方程根的分布问题 【典例11-1】（2024·高一·北京·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 【典例11-2】（2024·高一·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式11-1】（2024·高一·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式11-2】（2024·高一·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 【变式11-3】（2024·高一·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 考点题型12：二次函数恒成立与有解问题 【典例12-1】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）,即， 即， ， ， 由题意可知只需即可, 令， 则 当且仅当即时，等号成立. ， 【典例12-2】（2024·高一·福建龙岩·期末）已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 【解析】（1）因为，所以函数关于对称， 则，解得， 所以； （2）不等式即为， 当时，则恒成立， 而， 所以，即， 因为， 所以； 当时，恒成立，此时； 当时，则恒成立， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为． 【变式12-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数，. (1)若方程的根为和，求和的值； (2)若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； (3)若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 【解析】（1）因为的两个根分别是-1和b， 所以，解得； （2）在上的最小值为， 所以在上的最小值为2， 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得； 综上：； （3）因为函数的图象总在函数图象的上方，所以恒成立， 因此恒成立， 所以，解得. 【变式12-2】（2024·高一·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由是二次函数，设， 因为， 所以, 所以, 又,所以解得 所以. （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 当时,单调递减;当,4]时,单调递增， 所以,所以， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 不等式与基本不等式 （3个考点梳理+12题型解读+变式训练） 【清单01】等式与不等式 1、比较原理 ； ； ． 2、等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 3、不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么．即 性质2 如果，，那么．即 ，． 性质3 如果，那么． 由性质3可得， ． 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边． 性质4 如果，，那么；如果，，那么． 性质5 如果，，那么． 性质6 如果，，那么． 性质7 如果，那么（，）． 【清单02】基本不等式 1、基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立． 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立． （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立． （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值． 【清单03】二次函数与方程、不等式 1、函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的关系 函数图象 判别式符号 （设判别式 Δ＝b2－4ac） Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 2、不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤 （1）化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）判：计算对应方程的判别式． （3）求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 3、含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． （1）若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论． （2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． （3）对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 考点题型1：不等式的性质 【典例1-1】（2024·高一·天津滨海新·期中）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【变式1-1】（2024·高一·北京·期中）如果a，b，c满足且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点题型2：利用不等式性质证明不等式 【典例2-1】（2024·高一·甘肃张掖·期中）（1）已知正数满足.求的最小值； （2）已知，求证 【典例2-2】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2-1】（2024·高一·北京·期中）对于正数，，，，求证 (1) (2) 【变式2-2】（2024·高一·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 考点题型3：利用不等式求值或取值范围 【典例3-1】（2024·高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【典例3-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【变式3-1】（2024·高一·广西南宁·期中）已知，，则的取值范围 ．（用区间作答） 【变式3-2】（2024·高一·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 . 考点题型4：由基本不等式证明不等关系 【典例4-1】（2024·高一·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【典例4-2】（2024·高一·广东珠海·期中）（1）已知，求证：； （2）设为的三条边，求证： 【变式4-1】（2024·高一·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【变式4-2】（2024·高一·广西桂林·期中）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 考点题型5：利用基本不等式求最值问题 【典例5-1】（2024·高一·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【典例5-2】（2024·高一·广东·期中）已知正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【变式5-1】（2024·高一·黑龙江绥化·期中）（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 【变式5-2】（2024·高一·河南南阳·期中）已知，则的最小值为 ，此时 . 【变式5-3】（2024·高一·浙江·期中）已知，，，则的最小值为 ． 【变式5-4】（2024·高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【变式5-5】（2024·高一·广东东莞·期中）奇函数的定义域是，其中，则的最小值是 . 【变式5-6】（2024·高一·浙江·期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 【变式5-7】（2024·高一·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 . 考点题型6：基本不等式的恒成立与有解问题 【典例6-1】（2024·高一·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高一·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式6-1】（2024·高一·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【变式6-3】（2024·高一·重庆·阶段练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式6-4】（2024·高一·四川成都·期中）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点题型7：基本不等式的实际应用问题 【典例7-1】（2024·高一·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【典例7-2】（2024·高一·广东广州·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【变式7-1】（2024·高一·湖南·期中）年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且. (1)当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大； (2)当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？ 【变式7-2】（2024·高一·四川泸州·期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． (1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； (2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 考点题型8：不含参数一元二次不等式的解法 【典例8-1】（2024·高一·河北衡水·期中）不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【典例8-2】（2024·高一·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【变式8-1】（2024·高一·重庆渝北·期中）一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·新疆和田·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点题型9：含参数一元二次不等式的解法 【典例9-1】（2024·高一·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【典例9-2】（2024·高一·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集； 【变式9-1】（2024·高一·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【变式9-2】（2024·高一·辽宁·期中）设函数. (1)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 考点题型10：由一元二次不等式的解确定参数 【典例10-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【典例10-2】（2024·高一·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【变式10-1】（2024·高一·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【变式10-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 ． 考点题型11：一元二次方程根的分布问题 【典例11-1】（2024·高一·北京·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【典例11-2】（2024·高一·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【变式11-1】（2024·高一·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 【变式11-2】（2024·高一·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 【变式11-3】（2024·高一·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 考点题型12：二次函数恒成立与有解问题 【典例12-1】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【典例12-2】（2024·高一·福建龙岩·期末）已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 【变式12-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数，. (1)若方程的根为和，求和的值； (2)若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； (3)若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 【变式12-2】（2024·高一·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$