清单01 集合（考点清单，知识导图+4个考点清单+12题型解读+变式训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单01 集合（4个考点梳理+12题型解读+变式训练） 【清单01】子集 1、子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2、真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为（或）， 3、集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为. 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 【清单02】并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 【清单03】交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 【清单04】补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 补集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）. 考点题型1：判断元素与集合的关系 【典例1-1】（2024·高一·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【解析】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 【典例1-2】（2024·高一·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【解析】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 【变式1-1】（2024·高一·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A，2是自然数，故A正确；B，是无理数，不是有理数，故B错误； C，0是自然数，故C错误；D，是分数，不是整数，故D错误. 故选：A 【变式1-2】（2024·高一·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 考点题型2：根据元素与集合的关系求参数 【典例2-1】（2024·高一·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 【典例2-2】（2024·高一·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-1】（2024·高一·北京·期中）已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，得. 此时. 此时集合. 因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 当时，解方程，即，可得或. 若，则，此时集合. 不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.   故选：C. 【变式2-2】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 【变式2-3】（2024·高一·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 考点题型3：根据集合中元素个数求参数 【典例3-1】（2024·高一·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【解析】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高一·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高一·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【解析】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【解析】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 考点题型4：集合相等及其应用 【典例4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【解析】因为，所以. 故答案为：0. 【典例4-2】（2024·高一·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【解析】因为，则，所以. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高一·江苏常州·期中）设，且满足且，则 . 【答案】3 【解析】因为且 ， 所以， 所以 ，即. 故答案为：3 【变式4-2】（2024·高一·福建宁德·期中）设集合，，若，则实数 . 【答案】-1 【解析】∵， ∴，， 此时，满足题意， ∴． 故答案为：-1． 考点题型5：判断集合与集合之间的关系 【典例5-1】（2024·高一·天津和平·期中）下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，A正确； 对于B，中无任何元素，而有一个元素0，B错误； 对于C，或，因此，C正确； 对于D，数对满足，则，D正确. 故选：B 【典例5-2】（2024·高一·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【解析】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 【变式5-1】（2024·高一·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 【变式5-2】（2024·高一·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 考点题型6 根据集合之间的关系求参数 【典例6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）已知集合，，. (1)求，，； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以，，或. （2）因为，，且， 所以，所以的取值范围是. 【典例6-2】（2024·高一·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【解析】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 【变式6-1】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，. (1)若，求： (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）由题意易知， 当时，， 所以. （2）因为，所以， 解得. 所以的取值范围为. 【变式6-2】（2024·高一·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【解析】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 考点题型7：求集合的子集与真子集 【典例7-1】（2024·高一·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【解析】集合的真子集有，和. 故选：D. 【典例7-2】（2024·高一·湖南·阶段练习）已知集合满足，且，则满足条件的集合有（    ） A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 【答案】B 【解析】由题意可知，集合中一定包含元素1，2，一定不包含元素3， 且是的真子集，所以或或或， 即满足条件的集合有4个. 故选：B. 【变式7-1】（2024·高一·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 【变式7-2】（2024·高一·贵州六盘水·期中）集合的真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】含有个元素的集合的真子集个数为，即所求为. 故选：C. 【变式7-3】（2024·高一·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解析】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B 考点题型8：空集的运算及其性质 【典例8-1】（2024·高一·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 【典例8-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【解析】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 【变式8-1】（2024·高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式8-2】（2024·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【解析】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 考点题型9：集合的交并补综合运算 【典例9-1】（2024·高一·四川·期中）已知全集，集合，则 . 【答案】 【解析】由题意知， 所以. 故答案为：. 【典例9-2】（2024·高一·重庆渝北·期中）已知全集，集合，集合，求 ． 【答案】 【解析】因为全集，集合，集合， 所以，， 故答案为： 【变式9-1】（2024·高一·北京·期中）已知集合且，满足：，，则 ； . 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 若，则，则不满足， 所以，所以. 故答案为：；. 【变式9-2】（2024·高一·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 【答案】或 【解析】因为，所以或. 又，所以或. 故答案为：或 考点题型10：根据集合的运算结果求参数 【典例10-1】（2024·高一·重庆·期中）已知集合，. (1)求集合，并写出当时集合的真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1），解得，所以. 当时，，共个元素，真子集有个. （2）由（1）得，所以或. ， 当时，，满足. 当时，， 要使，则需，所以. 当时，，满足. 综上所述，的取值范围是. 【典例10-2】（2024·高一·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 【变式10-1】（2024·高一·湖南怀化·阶段练习）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 【变式10-2】（2024·高一·安徽宿州·阶段练习）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【解析】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   【变式10-3】（2024·高二·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 考点题型11：Venn图的应用 【典例11-1】（2024·高一·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【解析】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 【典例11-2】（2024·高一·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】D 【解析】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 【变式11-1】（2024·高一·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【解析】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 【变式11-2】（2024·高一·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【解析】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 考点题型12：集合的新定义问题 【典例12-1】（2024·高一·上海·期中）设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的 ． 【答案】化学，地理，历史； 【解析】由，可知元素越多，越少，故越大， 由，可得则与中的相同元素要一样多， 且与的相同元素少于与中的相同元素即可满足题意. 如化学，地理，历史可满足题意. 故答案为：化学，地理，历史. 【典例12-2】（2024·高一·北京·期中）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 . ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 【答案】②③ 【解析】对于①，因为，，但是， 所以不是闭集合，故①错误； 对于②，对于正整数集，因为,， 但是，所以正整数集不是闭集合，故②正确； 对于③，任取，，则，，，， 则，，， 所以，，， 所以是闭集合，故③正确； 对于④，由③可得是闭集合，是闭集合， 所以或，则有，， 但，则不是闭集合，故④错误. 故答案为：②③. 【变式12-1】（2024·高一·北京·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【解析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； （2）不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； （3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【变式12-2】（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【解析】（1）由题知，集合， ， 该集合不具有性质． （2）①因为， 不妨设，则， 故， 故的最大值大于等于． ②要使A的元素个数最大，， 不妨设， 则A中的元素满足，，，， 则由①知， 又，， 当时，由解得，， 当时，由解得，， 当时，由解得，， 当时，由解得，， 当时，由解得，， 故A的元素个数的最大值为6，此时集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 集合（4个考点梳理+12题型解读+变式训练） 【清单01】子集 1、子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2、真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为（或）， 3、集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为. 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 【清单02】并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 【清单03】交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 【清单04】补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 补集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）. 考点题型1：判断元素与集合的关系 【典例1-1】（2024·高一·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【典例1-2】（2024·高一·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【变式1-1】（2024·高一·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点题型2：根据元素与集合的关系求参数 【典例2-1】（2024·高一·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·北京·期中）已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【变式2-3】（2024·高一·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点题型3：根据集合中元素个数求参数 【典例3-1】（2024·高一·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【典例3-2】（2024·高一·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【变式3-1】（2024·高一·上海·期中）已知，则实数 . 【变式3-2】（2024·高一·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 考点题型4：集合相等及其应用 【典例4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中），则 ． 【典例4-2】（2024·高一·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【变式4-1】（2024·高一·江苏常州·期中）设，且满足且，则 . 【变式4-2】（2024·高一·福建宁德·期中）设集合，，若，则实数 . 考点题型5：判断集合与集合之间的关系 【典例5-1】（2024·高一·天津和平·期中）下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【变式5-1】（2024·高一·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（2024·高一·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点题型6 根据集合之间的关系求参数 【典例6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）已知集合，，. (1)求，，； (2)若，求的取值范围. 【典例6-2】（2024·高一·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【变式6-1】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，. (1)若，求： (2)若，求的取值范围. 【变式6-2】（2024·高一·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 考点题型7：求集合的子集与真子集 【典例7-1】（2024·高一·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【典例7-2】（2024·高一·湖南·阶段练习）已知集合满足，且，则满足条件的集合有（    ） A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 【变式7-1】（2024·高一·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式7-2】（2024·高一·贵州六盘水·期中）集合的真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式7-3】（2024·高一·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 考点题型8：空集的运算及其性质 【典例8-1】（2024·高一·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 【典例8-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【变式8-1】（2024·高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【变式8-2】（2024·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 考点题型9：集合的交并补综合运算 【典例9-1】（2024·高一·四川·期中）已知全集，集合，则 . 【典例9-2】（2024·高一·重庆渝北·期中）已知全集，集合，集合，求 ． 【变式9-1】（2024·高一·北京·期中）已知集合且，满足：，，则 ； . 【变式9-2】（2024·高一·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 考点题型10：根据集合的运算结果求参数 【典例10-1】（2024·高一·重庆·期中）已知集合，. (1)求集合，并写出当时集合的真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【典例10-2】（2024·高一·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【变式10-1】（2024·高一·湖南怀化·阶段练习）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【变式10-2】（2024·高一·安徽宿州·阶段练习）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【变式10-3】（2024·高二·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 考点题型11：Venn图的应用 【典例11-1】（2024·高一·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【典例11-2】（2024·高一·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【变式11-1】（2024·高一·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【变式11-2】（2024·高一·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 考点题型12：集合的新定义问题 【典例12-1】（2024·高一·上海·期中）设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的 ． 【典例12-2】（2024·高一·北京·期中）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 . ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 【变式12-1】（2024·高一·北京·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【变式12-2】（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$