山东省济南市历下区2023-2024学年八年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年八年级上册数学(济南专版)

数学 历下区八年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 在平面直角坐标系中,A 是 x 轴上的一点,则点 A 的纵坐标为 (　 　 ) A. 3　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 2　 　 　 　 　 　 　 　 　 C. 1　 　 　 　 　 　 　 　 　 D. 0 2. 如图,直线 a,b 被直线 c 所截,a∥b,若∠1 = 120°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第 2 题图 　 　 　 第 14-19 届亚运会中国金牌数 第 6 题图 　 　 　 第 8 题图 3. 如果 m≤n,那么下列各式中正确的是 (　 　 ) A. m-1≥n-1 B. m≤n-1 C. - 1 2 m≤- 1 2 n D. 2m≤2n 4. 下列命题中是假命题的是 (　 　 ) A. 如果两个角相等,那么这两个角是对顶角 B. 全等三角形的面积相等 C. 负数都小于零 D. 三角形的三个内角的和等于 180° 5. 下列算式的值是有理数的是 (　 　 ) A. 3 - 2 B. 3×9 C. 8 2 D. 4 + 2 6. 2023 年 10 月 8 日,第十九届杭州亚运会圆满结束。 各国参赛代表团在激烈的比赛中展现了出色 的实力。 中国体育代表团在本届亚运会上,收获了 201 枚金牌,取得了亚运会参赛历史最好成绩, 中国成为首个在单届亚运会上获得 200 枚以上金牌的国家,现将我国近六届亚运会的金牌数统计 如图,在这组数据中,金牌数的中位数是 (　 　 ) A. 155 B. 158 C. 165 D. 199 7. 《孙子算经》是我国古代数学研究的瑰宝,一题原文是今有木,不知长短。 引绳度之,余绳四尺五 寸;屈绳量之,不足一尺。 木长几何? 意思是用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余 4. 5 尺;将绳子 对折再量长木,长木还剩余 1 尺。 问木长多少尺? 设木长 x 尺,绳长 y 尺,根据题意,列方程组得 (　 　 ) A. y-x= 4. 5, x- 1 2 y= 1 ì î í ï ï ïï B. x-y= 4. 5, x- 1 2 y= 1 ì î í ï ï ïï C. y-x= 4. 5, 1 2 y-x= 1 ì î í ï ï ïï D. x-y= 4. 5, 1 2 y-x= 1 ì î í ï ï ïï 8. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 3,AC= 4,BD 是∠ABC 的平分线,则 CD 的长为 (　 　 ) A. 4 3 B. 3 2 C. 5 3 D. 2 9. 如图,直线 y1 =ax(a≠0)与 y2 = x+b 交于点 A( -1,2),则下列四个结论:①a<0,b>0;②当 x>0 时, y1 >0;③当 x>-1 时,y1 <y2;④当 0<y2 <y1 时,-3<x<-1。 其中正确的结论有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 在平面直角坐标系中,第一象限内的点 P( x,y) 和在第四象限内的点 Q( x,y1 ),若满足 y1 = -y(0<x≤2), y-8(x>2),{ 那么称点 Q 为点 P 的“影像点”,例如:点(1,2)的影像点为点(1,-2),点(4,2)的 影像点为点(4,-6)。 如图,若点 P(m,n)在直线 y= 2x-1 上,当 a<m<b 时,存在点 P 的影像点 Q, 则 b-a 的最大值为 (　 　 ) A. 4 B. 4. 5 C. 5 D. 5. 5 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 点 A(2,4)关于 y 轴对称的点的坐标为 。 12. 不等式 2x-3≥0 的解集为 。 13. 如图,在△ABC 中,外角∠DCA= 100°,∠A= 45°,∠B 的度数为 度。 第 13 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 14. 若方程组 -3x+y+3 = 0, 3x+2y-6 = 0{ 的解是 x= 4 3 , y= 1, ì î í ï ï ïï 则直线 y= 3x-3 与 y= - 3 2 x+3 的交点的坐标为 。 15. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°,在 AC 上取一点 D,使得 CD = 4 3 ,过点 D 作边 AB 的垂线 DE,垂足为 E,且 DE= 2 3 ,则△ABC 的面积为 。 16. 如图,已知△ABC,∠ABC= 30°,BC= 2,以 AC 为边向外作等边三角形 ACD,连接 BD 交 AC 于点 E, 其中 BD= 3,则 AB 的长为 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)解方程组: 4x-y= 2, x+3y= 7。{ 18. (6 分)解不等式组: 7+x>2-4x, 1+2(x-1)≤3,{ 并写出所有整数解。 19. (6 分)如图,在四边形 ABCD 中,点 O 在边 CD 上,延长 AO 交 BC 的延长线于点 E,已知∠1 = ∠E, ∠B= ∠D。 求证:AB∥CD。 20. (8 分)如图,在△ABC 和△A′B′C′中,∠C = ∠C′= 90°,AB = A′B′,AD 与 A′D′分别为 BC,B′C′边上 的中线,且 CD=C′D′。 求证:△ABC≌△A′B′C′。 　 　 21. (8 分)用 5 张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图图案,已知点 A 的坐标为 ( -1,7),求点 B 的坐标。 —1— 22. (8 分)用尺规作平行线的方法: 已知:如图 1,直线 AB 及直线 AB 外一点 P。 求作:经过点 P 的直线 CD,使得 CD∥AB。 尺规作图步骤: 如图 2,①过点 P 作直线 AB 的相交线,与直线 AB 交于点 H;②以点 H 为圆心,任意长为半径画弧,交直线 HP 于点 E,交直线 AB 于点 F;③以点 P 为圆心,以线段 HF 长为半径画弧,交射线 HP 于点 M;④以点 M 为圆心,线段 EF 长为半径画弧交前弧于点 N;④过点 P,N 作直线 CD。 (1)在上述作图步骤中通过 (填写合适的选项) 可判定△PMN≌△HEF,从而可得到 ∠MPN= ∠EHF; A. “SSS” B. “SAS” C. “ASA” D. “AAS” (2)在上述作图步骤中用到的判定 CD∥AB 的依据是 　 ; (3)如图 3,在△ABC 中,AB = AC,小明通过刚才的方法,作出了∠EAD = ∠B,可以得到 AD 是 △ABC 底边 BC 的平行线,那么 AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线吗? 请说明理由。 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 23. (10 分)为丰富校园课余生活,增强班级凝聚力,展现学子积极向上的精神风貌,我市某中学准备 开展八年级校园篮球赛,为了在接下来的校园篮球赛中取得好成绩,甲、乙两名同学在放学后进行 了投篮训练。 训练中的一个环节是两人各进行了 10 轮投篮训练,每一轮进行 10 次投篮,记录进 球数。 现将两人的投篮表现记录如下,并对所得数据进行整理和分析。 a. 甲、乙两人的投篮训练数据统计图 　 　 　 b. 甲、乙两人投篮命中数的平均数、众数 甲 乙 平均数 /个 m 7. 6 众数 /个 8 n 根据以上信息,回答下列问题: (1)表中 m 的值是 ,n 的值是 ; (2)甲同学 10 轮投篮训练数据的极差是 个; (3)设甲、乙两人投篮命中数的方差分别是 s2甲,s2乙,直接写出 s2甲,s2乙 之间的大小关系:s2甲 s2乙(填“ >”或“ <”); (4)在甲同学的 10 轮投篮训练中,投中的球里有“普通球”和“彩球”两种,其中“普通球”投中一 个记 2 分,“彩球”投中一个记 3 分,投不中记 0 分。 若甲同学投中了 40 个“普通球”,则他在投篮 训练中每次投球的平均分是多少? 24. (10 分)为培养学生关爱他人、乐于助人的思想品质,学校举办献爱心义卖活动,义卖所得善款将 捐赠给特殊学校的小朋友们。 八年级(1)班学生经讨论,决定购进文创产品参与义卖活动。 两次 购进文创产品的情况如表所示: 进货批次 甲种文创产品数量(单位:个) 乙种文创产品数量(单位:个) 总费用(单位:元) 第一次 60 40 1 520 第二次 30 50 1 360 (1)求甲、乙两种文创产品的进价; (2)销售完前两次购进的文创产品后,同学们决定开展第三次义卖活动,购进甲、乙两种文创产品 共 200 个,且投入的资金不超过 3 360 元,最少需要购进多少个甲种文创产品? 25. (12 分)如图 1,直线 l:y= kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于点 A(0,4),B(3,0)。 (1)求直线 l 的表达式; (2)如图 2,过线段 AB 的中点 E(a,2)作一条直线与 x 轴交于点 F,当△BEF 为直角三角形时,请 求出点 F 的坐标; (3)如图 3,C 是 x 轴上一动点,连接 AC,在 AC 右侧作等腰直角三角形 ACD,∠ACD = 90°,连接 BD,直接写出△ABD 周长的最小值。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)在学习了三角形的知识后,数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的 关系进行了探究。 (一)尝试探究 　 　 在△ABC 中,∠A= 90°,AB=AC,D 为 BC 的中点。 (1)如图 1,若 E,F 分别为边 AB,AC 上的点,且∠EDF = 90°,请探究线段 DE 与 DF 之间的数量关 系,并说明理由; (2)如图 2,若点 E 在边 AB 上,点 M,F 分别在 AD,AC 的延长线上,且∠EMF = 90°,求证:AE+AF = 2AM; (二)应用拓展 　 　 如图 3,在四边形 ABDC 中,∠BAC= 60°,∠BDC= 120°,BD =CD。 若 AB = 7,AD = 4 3 ,请直接 写出 AC 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 亲爱的同学,祝贺你已经完成了本次考试的所有题目,如果你还有时间,希望挑战一下自己,可以 尝试完成下面两道题目,请注意,以下题目的分数不计入总分。 四、附加题(本大题共 2 个小题,每小题 20 分,共 40 分) 27. 已知 x+y-2 是二元二次式 x2 +axy+by2 -5x+y+6 的一个因式,求 a,b 的值。 28. 设 x,y,z 为互不相等的非零实数,且 x+ 1 y = y+ 1 z = z+ 1 x ,求 x2 024y2 024z2 024 的值。 —2— 参考答案 (部分答案不唯一) 历下区八年级第一学期期末真题卷 1. D　 2. B　 3. D　 4. A　 5. C　 6. B　 7. A　 8. B 9. C　 10. A 11. (-2,4)　 12. x≥ 3 2 　 13. 55　 14. ( 43 ,1 ) 15. 32 3 　 16. 5 17.解: 4x-y= 2,① x+3y= 7。 ②{ 由①,得 y= 4x-2。 ③ 将③代入②,得 x+3(4x-2)= 7。 解得 x= 1。 将 x= 1 代入③,得 y= 4-2 = 2。 ∴ 方程组的解为 x= 1, y= 2。{ 18.解: 7+x>2-4x,① 1+2(x-1)≤3。 ②{ 解不等式①,得 x>-1。 解不等式②,得 x≤2。 ∴ 不等式组的解集是-1<x≤2。 ∴ 不等式组的整数解为 x= 0,1,2。 19.证明:∵ ∠1 = ∠E,∴ AD∥BE。 ∴ ∠D= ∠DCE。 ∵ ∠B= ∠D,∴ ∠B= ∠DCE。 ∴ AB∥CD。 20. 证明:∵ AD 与 A′D′分别为 BC,B′ C′边上的 中线, ∴ CB= 2CD,C′B′= 2C′D′。 ∵ CD=C′D′, ∴ CB=C′B′。 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中, AB=A′B′, BC=B′C′,{ ∴ △ABC≌△A′B′C′(HL)。 21.解:设长方形纸片的长为 x,宽为 y。 依题意,得 x-y= 1, x+2y= 7。{ 解得 x= 3, y= 2。{ ∴ 2x= 6,x+y= 5。 ∴ 点 B 的坐标为(-6,5)。 22.解:(1)A (2)同位角相等,两直线平行 (3) AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线。 理由 如下: ∵ AD∥BC, ∴ ∠CAD= ∠C。 ∵ AB=AC, ∴ ∠B= ∠C。 ∴ ∠CAD= ∠B。 ∵ ∠EAD= ∠B, ∴ ∠EAD= ∠CAD。 ∴ AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线。 23.解:(1)7. 6　 7　 (2)4　 (3)> (4)10 轮投篮训练中投中球的个数为 7. 6× 10 = 76, 投中“彩球”为 76-40 = 36(个), 投不中的为 100-76 = 24(个), 36×3+40×2+24×0 100 = 1. 88(分)。 ∴ 他在投 篮 训 练 中 每 次 投 球 的 平 均 分 是 1. 88 分。 24.解:(1)设甲种文创产品的进价为每个 a 元,乙 种文创产品的进价为每个 b 元。 由题意,得 60a+40b= 1 520, 30a+50b= 1 360。{ 解得 a= 12, b= 20。{ ∴ 甲种文创产品的进价为每个 12 元,乙种文创 产品的进价为每个 20 元。 (2)设第三次购进 x 个甲种文创产品,则购进 (200-x)个乙种文创产品。 由题意,得 12x+20(200-x)≤3 360。 —1— 解得 x≥80。 ∴ 最少需要购进 80 个甲种文创产品。 25.解:(1)将点 A(0,4)和点 B(3,0)代入 y = kx+b (k≠0), 得 b= 4, 3k+b= 0。{ 解得 k= - 4 3 , b= 4。 { ∴ 直线 l 的表达式为 y= - 4 3 x+4。 (2)①当∠BEF= 90°时, ∵ E 是线段 AB 的中点, ∴ 直线 EF 是线段 AB 的垂直平分线,连接 AF。 ∴ AF=BF。 在 Rt△AOF 中,AO2 +FO2 =AF2 , ∴ 42 +FO2 = (FO+3) 2 。 解得 FO= 7 6 。 ∴ 点 F ( - 76 ,0 ) 。 ②当∠BFE= 90°时, ∵ 点 E(a,2)在直线 y= - 4 3 x+4 上, ∴ 点 E ( 32 ,2 ) 。 ∵ FE⊥x 轴且点 F 在 x 轴上, ∴ 点 F ( 32 ,0 ) 。 综上所述,点 F 的坐标为 ( - 76 ,0 )或 ( 3 2 ,0 ) 。 (3)△ABD 周长的最小值为 5+ 41 。 26.解:(1)DE=DF。 理由如下, 如图 1,连接 AD。 图 1 ∵ ∠BAC= 90°,AB=AC, ∴ ∠B= ∠C= 45°。 ∵ AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴ ∠EAD= 1 2 ∠BAC= 45°,∠ADC= 90°。 ∴ ∠EAD= ∠C,∠DAC= 90°-∠C= 45°。 ∴ ∠DAC= ∠C。 ∴ AD=CD。 ∵ ∠EDF= 90°, ∴ ∠EDF= ∠ADC。 ∴ ∠EDF-∠ADF= ∠ADC-∠ADF。 ∴ ∠EDA= ∠FDC。 ∴ △AED≌△CFD(ASA)。 ∴ DE=DF。 (2)如图 2,过点 M 作 MN⊥AM 交 AC 的延长线 于点 N。 图 2 ∵ AB=AC,D 为 BC 的中点,∠BAC= 90°, ∴ ∠EAM= ∠MAN= 1 2 ∠BAC= 45°。 ∵ MN⊥AM,∴ ∠AMN= 90°。 ∴ ∠FNM= 90°-∠MAN= 45°。 ∴ ∠EAM= ∠FNM,∠MAN= ∠FNM。 ∴ AM=NM。 ∴ AN= AM2 +NM2 = AM2 +AM2 = 2AM。 ∵ ∠EMF= 90°, ∴ ∠EMF= ∠AMN。 ∴ ∠EMF-∠AMF= ∠AMN-∠AMF。 ∴ ∠EMA= ∠FMN。 ∴ △AEM≌△NFM(ASA)。 ∴ AE=NF。 ∴ AE+AF=NF+AF=AN= 2AM。 (3)如图 3,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 交 AC 的延长线于点 F,延长 AC 至点 M,使 CM —2— =AB,连接 DM。 　 图 3 ∴ ∠MCD= 180°-∠ACD。 ∵ ∠BAC = 60°, ∠BDC =120°, ∴ ∠B + ∠ACD = 360° - ∠BAC-∠BDC= 180°。 ∴ ∠B= 180°-∠ACD。 ∴ ∠MCD= ∠B。 在△ABD 和△MCD 中, AB=MC, ∠B= ∠MCD, BD=CD, ì î í ïï ïï ∴ △ABD≌△MCD(SAS)。 ∴ AD=MD= 4 3 ,∠BAD= ∠CMD。 ∴ ∠DAM= ∠CMD。 ∴ ∠BAD= ∠CAD= 1 2 ∠BAC= 1 2 ×60° = 30°。 ∵ ∠AED= ∠AFD= 90°,AD=AD, ∴ △AED≌△AFD(AAS)。 ∴ AE=AF,ED=FD。 ∴ △BED≌△CFD(HL)。 ∴ BE=CF。 在 Rt△AED 中,AD= 4 3 ,∠EAD= 30°, ∴ DE= 1 2 AD= 2 3 。 ∴ AE= AD2 -DE2 = 6 =AF。 ∵ AB= 7, ∴ CF=BE=AB-AE= 7-6 = 1。 ∴ AC=AF-CF= 6-1 = 5。 27.解:∵ x+y-2 为二元二次式 x2 +axy+by2 -5x+y+6 的一个因式, ∴ 设另一个因式为 x+cy-3。 ∴ (x+y-2)(x+cy-3)= x2 +axy+by2 -5x+y+6。 ∴ x2 +(1+c) xy+cy2 - 5x-(2c+ 3) y+ 6 = x2 +axy+ by2 -5x+y+6。 ∴ 2c+3 = -1。 ∴ c= -2。 ∴ a= 1+c= -1,b= c= -2。 28.解:∵ x+ 1 y = y+ 1 z , ∴ x-y= 1 z - 1 y = y-z yz 。 ∴ yz= y -z x-y 。 ① 同理,可得 zx= z -x y-z ,②xy= x -y z-x 。 ③ ①×②×③,得 x2y2 z2 = 1。 ∴ x2 024y2 024 z2 024 = (x2y2 z2 ) 1 012 = 1。 市中区八年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. B　 3. C　 4. B　 5. D　 6. A　 7. C　 8. D 9. B　 10. D 11. 3　 12. 乙　 13. x= 1, y= 2{ 　 14. 8　 15. 3 13 16. 2 17 17.解:(1)原式= 3 3 -2 3 +4 = 3 +4。 (2)原式= 27÷3 + 12÷3 - 2×8 = 3+2-4= 1。 18.解: 2x-y= 3,① x+y= 6。 ②{ ①+②,得 3x= 9,解得 x= 3。 把 x= 3 代入②,得 y= 3。 ∴ 方程组的解为 x= 3, y= 3。{ 19.证明:∵ ∠A= ∠D= 90°,AC=DB,BC=CB, ∴ Rt△BAC≌Rt△CDB(HL)。 ∴ ∠ACB= ∠DBC。 ∴ ∠OCB= ∠OBC。 ∴ OB=OC。 20.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求作。 —3—