专题02 直线与圆的方程（7大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题02 直线与圆的方程 直线的倾斜角与斜率 1（23-24高二上·四川成都·期末）直线 的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 直线方程 1（23-24高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为 4（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l：，则下列说法中正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则 C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则 5（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 两条直线的位置关系 1（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 2（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 5（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 6（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 两点距离与点到直线的距离 1（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 3（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 4（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． (1)求直线的方程： (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离． 圆的标准方程与一般方程 1（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·江苏南通·期末）已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·福建三明·期末）已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 5（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 直线与圆的位置关系 1（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 2（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 3（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 圆与圆的位置关系 1（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 3（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 切线或切线长问题 1（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 4（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·江苏南通·期末）已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 定点定值问题 1（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 2（多选）（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，其中为常数，与的交点为，则（    ） A．对任意实数 B．不存在点，使得为定值 C．存在，使得点到原点的距离为3 D．到的最大距离为 3（多选）（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 4（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 最值或范围问题 1（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 2（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 3（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 轨迹方程 1（23-24高二上·福建泉州·期末）已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 2（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 4（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的方程 直线的倾斜角与斜率 1（23-24高二上·四川成都·期末）直线 的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 2（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案. 【详解】由题知：， 设直线的倾斜角为，故， 所以倾斜角. 故选：C 直线方程 1（23-24高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】直线的方程化为截距式方程为，因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 2（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 3（多选）（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为 【答案】AD 【分析】将直线方程化成斜截式，易得其斜率和纵截距，结合其几何意义易于判断A,B,C项，对于D项，只需在直线上任取两点，求得两点间的向量，只要是与其共线的向量都能作为一个方向向量. 【详解】对于A，B项，由，可得：，故其斜率为，倾斜角为，故A项正确，B项错误； 对于C项，由直线知其斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误； 对于D项，取直线上两点，，可得：，即直线的一个方向向量为，故D项正确． 故选：AD. 4（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l：，则下列说法中正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则 C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则 【答案】AC 【分析】结合直线的倾斜角与斜率，过定点问题依次判断即可. 【详解】解：对于A项，直线，则直线l恒过点，故A项正确； 对于B项，直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为， 得，故B项错误； 对于C项，由A项知，直线l恒过点， 则原点到直线l距离的最大值即为原点到点的距离，即，故C项正确； 对于D项，当时，直线不经过第四象限，故D项错误. 故选：AC 5（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由倾斜角求得直线斜率，代入直线的点斜式方程即得； （2）求出线段的中点，借助于点，利用直线的两点式方程即得. 【详解】（1）由倾斜角为可得直线斜率为，由于经过点， 代入点斜式方程得，即：； （2）设边的中点为，根据中点坐标公式得， 从而可得中线所在直线方程为，即：． 两条直线的位置关系 1（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 2（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【详解】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 3（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 4（多选）（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 【答案】ABD 【分析】令的系数等于零求出定点即可判断A；当时，求出两直线方程，利用斜率关系即可判断BD；当时，求出两直线方程，利用斜率关系即可判断C. 【详解】对于A，直线的方程化为，令，解得， 所以直线过定点，正确； 对于B，当时，，，所以，正确； 对于C，当时，其斜率为2，其斜率为0，故两直线相交，错误； 对于D，当时，，直线的倾斜角为，故的斜率不存在，正确. 故选：ABD. 5（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【分析】先确定和，由于两直线垂直，所以. 【详解】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 6（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 两点距离与点到直线的距离 1（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 2（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．      故选：A. 3（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 4（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． (1)求直线的方程： (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴直线过定点， 则点到直线的距离为： ， 故A到直线的距离为. 圆的标准方程与一般方程 1（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 2（23-24高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，结合圆的面积公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 曲线围成图形如下图所示：其中每个象限内半圆的半径为， 所以曲线围成图形的面积为：， 故选：D    3（23-24高二上·江苏南通·期末）已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设出圆心的坐标，利用求出点坐标，进而求出半径，得解. 【详解】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 4（23-24高二上·福建三明·期末）已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆心坐标和半径可得. 【详解】因为圆心的坐标为，， 所以该圆的标准方程为. 故答案为：. 5（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 直线与圆的位置关系 1（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 2（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 3（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解. 【详解】若，则圆心到直线的距离， 则圆上恰有两个点到直线的距离等于， 反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于， 则，即或，不一定， 所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件. 故选：A 4（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为， 由点到直线的距离为， 则该圆截直线所得弦长为. 故选：A. 圆与圆的位置关系 1（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 2（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 3（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 切线或切线长问题 1（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 2（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 3（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 4（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 5（23-24高二上·江苏南通·期末）已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出以线段为直径的圆的方程，由题意可知直线与该圆相离，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】以线段为直径的圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线上不存在点，使得， 所以圆与直线没有交点， 则圆心到直线的距离， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 定点定值问题 1（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，依题意可得，，再由点在圆上，即可得到，从而得到圆为，求出圆过定点坐标，从而求出定弦长. 【详解】设圆的方程为，因为圆过，两点， 且，两点的横坐标满足方程， 所以，， 所以圆的方程为， 又在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 即， 令，解得或， 即圆恒过点和，又，所以该定值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出圆的方程为，从而求出圆过定点坐标. 2（多选）（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，其中为常数，与的交点为，则（    ） A．对任意实数 B．不存在点，使得为定值 C．存在，使得点到原点的距离为3 D．到的最大距离为 【答案】ACD 【分析】对于A，由即可判断得；对于B，结合选项A中的结论，得到M在圆上，由此可求得点P使得为定值；对于C，利用选项B中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断；对于D，利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断. 【详解】对于A，因为，则，故A正确； 对于B，因为，即， 易得直线过定点，直线过定点， 因为与的交点为M，则M在以AB为直径的圆上， 而AB的中点为，且，故点M在圆：上， 故取点P坐标为，此时为定值，故B错误； 对于C，因为，圆的半径为， 故M到原点取值范围为，且， 所以存在实数a，使得M到原点的距离为3，故C正确； 对于D，因为过原点O，所以当， 且M在直线OC上时，点M到的距离最大且最大值为，故D正确． 故选：ACD． 3（多选）（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 【答案】ABD 【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D. 【详解】由题意知，圆的半径为，且，， 故, 即当最小时，最短，当时，最小， 最小值为，故的最小值为，A正确； 当最短时，，故的斜率为-1， 又，故的斜率为1，设其方程为， 由于此时，，故， 所以M到的距离为. 则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于， 当时，和间的距离为， 时，的方程为和间的距离为， 故最短时，弦所在直线方程为，B正确； 假设存在点，使得，则， 此时为等腰直角三角形，则，结合， 则为等腰直角三角形，而，故， 由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误； 设，由于直线，分别与圆相切， 故直线，的方程分别为， 将代入，即， 可得的方程为， 由于，即，故 即，由于，故令， 即直线过定点为，D正确， 故选：ABD 4（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点 ，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 最值或范围问题 1（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设圆的圆心为，即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点到直线的距离，即可得解. 【详解】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其中点到直线的距离， 则圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D 2（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 3（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【详解】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 4（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 5（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，四边形的面积，当时，最小，即可求出. 【详解】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 6（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 7（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围. 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B.    轨迹方程 1（23-24高二上·福建泉州·期末）已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，求出动点的轨迹方程，是以为圆心，2为半径的圆，故直线与圆相切，且切点为，从而得到方程，求出答案. 【详解】设动点，由题意得， 化简可得，故动点的轨迹方程为． 动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 且在直线上， 因为直线上有且只有一点满足， 所以直线与圆相切，且切点为， 由，得，所以或， 故选：D． 2（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 3（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）点与点关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆由公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 4（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$