专题01 空间向量与立体几何（6大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题01 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 1（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 4（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 空间向量的基本定理 1（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 2（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3（多选）（23-24高二上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 4（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 空间向量的坐标表示 1（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 2（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 4（多选）（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D．向量共面 5（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 6（23-24高二上·江西上饶·期末）若向量，，共面，则 ． 空间中的线面位置关系 1（23-24高二上·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 空间中所成角 1（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 2（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 3（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 空间中的距离 1（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在正四棱柱，中，已知. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 2（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 立体几何综合性问题 1（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间直角坐标系中，同在球F的球面上，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．球F的表面积为 C．E点的轨迹长度为 D．球的弦长度的最大值为 2（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图，棱长为2的正方体中，，则下列说法正确的是（    ）    A．时， 平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 3（多选）（24-25高二上·江苏·假期作业）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（    ） A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 最值问题 1（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 3（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 新定义问题 1（23-24高二上·湖北武汉·期末）对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 2（23-24高二上·山西·期末）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为 ． 3（24-25高二上·福建泉州·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 1（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算可得正确的选项. 【详解】 ， 化简得：， 故选：A . 2（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 3（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 4（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 5（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得 ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 6（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 空间向量的基本定理 1（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A 2（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可． 【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意； 对于B，假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面； 故B不符合题意； 对于C，，故三个向量共面，故C符合题意； 对于D，，故三个向量共面，故D题意符合． 故选：ACD． 3（多选）（23-24高二上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BC 【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D. 【详解】对于A，在上的投影向量为 ，故A错误； 对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点， 则点是的中点，所以 ，故B正确；    对于C，若，则， 所以四点共面，故C正确； 对于D，设在基底下的坐标为， 则， 因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得， 则在基底下的坐标为，故D错误. 故选：BC. 4（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【详解】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 空间向量的坐标表示 1（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】由于， 则， 于是. 故选：B 2（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 3（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 4（多选）（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D．向量共面 【答案】ABD 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 5（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 6（23-24高二上·江西上饶·期末）若向量，，共面，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得. 【详解】由，，得不共线， 由共面，得，即， 则，解得， 所以. 故答案为：2 空间中的线面位置关系 1（23-24高二上·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 空间中所成角 1（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到为的中位线，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，可得， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 2（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 3（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过说明两两垂直，以为轴建立直角坐标系，利用向量法求面面角； （2）先根据面积求出点N点到的距离，然后利用向量法通过点线距离公式计算即可. 【详解】（1）由已知在中， ， ， 又四边形是平行四边形，， 取中点H，则， ，，两两垂直， 以为轴建立直角坐标系， 则为边上的高， ， ， M为中点，， ， 设平面的法向量为， ， ，取， 设平面的法向量为， ，取， 平面与平面夹角余弦值为； （2）设，则； ， ，设N点到的距离为d， 则， ， ，即， . 另解：，设N点到的距离为d， 则， ， 延长至E，使得，则且， 又平面，所以平面， 而平面，，所以E点即为N点，. 空间中的距离 1（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在正四棱柱，中，已知. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，通过求向量与向量的夹角，转化为异面直线与直线所成的角的大小；（2）先求出面的一个法向量，再用点到面的距离公式算出高，再求底面积和体积即可． 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴建系， 设 所以， ， 则 ， 所以异面直线与直线所成的角的余弦值为． （2）因为， ， 设是面的一个法向量， 所以有 即 ，令 ， ，故， 又，所以点到平面的距离为. 对于平面，取中点O，连结，可求得， ，则,. 底面面积为. 则三棱锥的体积为. 2（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，轨迹是半径为的圆，理由见解析； 【分析】（1）过作交于点，连接，由线面平行证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明； （2）由点在空间内轨迹为以中点为球心，为半径的球，而 中点到平面的距离为，即可求解. 【详解】（1）如图， 过作交于点，连接， 面，面，则， 又面，面，且不共线，故， 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，所以， 而平面，平面，所以平面，同理平面， 又因为， 平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. （2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 又，， 则， 故， 设平面的法向量， 则有，取，得到，即， 又中点，则， 则中点到平面的距离为， 由，即，故在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故在面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的，此时轨迹是半径为的圆. 立体几何综合性问题 1（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间直角坐标系中，同在球F的球面上，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．球F的表面积为 C．E点的轨迹长度为 D．球的弦长度的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据数量积的运算判断线面平行判断A，根据两点距离公式求出球心坐标，然后求出半径，即可求解球的表面积判断B，根据两点距离公式建立方程求得点E的轨迹方程，求解周长判断C，根据两点距离公式求出弦长度，然后利用圆上点的坐标范围及函数性质求解判断D. 【详解】依题意可知，平面的法向量为，所以， 又因为平面为坐标平面平面，所以平面，A对； 设球心，因为同在球F的球面上， 所以球半径R， 故， 解得，即，半径，所以球F的表面积为，B错； 由得为点E满足的轨迹方程， 所以其轨迹长度为该圆周长，C对； ， 且由E的轨迹方程可知， 所以当时，弦长度的最大值为，D对； 故选：ACD 2（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图，棱长为2的正方体中，，则下列说法正确的是（    ）    A．时， 平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的坐标运算判断C；求出外接球半径计算即可判断D. 【详解】对于A选项，时，因为，， 所以， 又平面，平面， 故 平面，故A正确； 对于B选项，时，的面积为定值； 而点是边上的点，且 平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离为定值， 所以四面体的体积为定值，故B正确； 对于C选项，时，以为坐标原点， 分别为轴为正向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则，， 记平面的法向量为， 则，即， 故可取，又 当时，， 即不存在，使得平面，故C不正确； 对于D选项，平面于点， 且的外接圆半径，外接球的半径； 故由有：， 所以，即，故D正确. 故选：ABD.    3（多选）（24-25高二上·江苏·假期作业）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（    ） A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】选项，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判断；选项B，取的中点，连接，，可证，，从而作出判断；选项C，先证平面，从而将原问题转化为求点到平面的距离，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离，即可作出判断；选项D，利用向量法求线面角，即可得解． 【详解】对于选项A，由题意知，，平面， 因为平面，所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，即选项A正确； 对于选项B，当为的中点时，取的中点，连接，， 则，，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为和都是等腰直角三角形，所以， 所以，所以，即选项B正确； 对于选项C，因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与的距离等价于直线到平面的距离， 也等价于点到平面的距离， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设点，其中，， 由射影定理知，，即， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与的距离为，则点到平面的距离为， 而点到平面的距离， 所以不存在点，使得直线与的距离为，即选项C错误； 对于选项D，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与平面所成的角为， 则 ， 由，知， 代入上式整理得，此方程无解， 所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项D错误． 故选：AB． 最值问题 1（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由正方体性质可知，平面，平面平面，故动点在直线上，建立空间直角坐标系，利用空间向量法表示线线角，并求最值. 【详解】 由正方体性质可知，，，， 平面，平面， 易知平面，平面平面， 故动点在直线上， 设正方体棱长为1，并如图建立空间直角坐标系， 则， 设两直线所成角为，， 故，即， 令，则， 所以当时，即时，. 故选：A 2（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将则点到平面的距离表示出来即可求得最值. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 3（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 新定义问题 1（23-24高二上·湖北武汉·期末）对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则，根据的范围可得答案. 【详解】由题意得，，， 设，则， 因为，所以，所以. 故答案为：. 2（23-24高二上·山西·期末）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得平面、平面及平面的法向量，根据已知可知直线与平面及平面的法向量垂直，可设出直线的方向向量并计算得解，再利用向量的夹角公式计算即可得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】由题意可得平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 设直线的方向向量为， 则有，取，则有、， 则直线的方向向量可为， 则， 故直线l与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 3（24-25高二上·福建泉州·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）①将三棱锥补成正方体，即可求解异面直线所成的角；②首先根据垂直关系，构造线面角，再设，，，再利用余弦定理求， 再由余弦值，转化为正切值，即可求解. 【详解】（1）根据离散曲率的定义得， ，， ， 所以 （2）①因为平面，平面， 所以，且，，平面, 所以平面，平面, 所以， 所以， 所以，所以， 如图，将三棱锥补成正方体， 因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角， 而是等边三角形，所以，， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，，，， 所以,， 设，，， 在中，， 又，所以， 所以， 所以， 解得：或（舍） 故. 【点睛】关键点点睛：本题考察新定义，关键一是理解新定义，确定图形的几何关系，关键二是利用定义法表示线线角和线面角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$