第二章 圆（单元重点综合测试，湘教版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第二章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，为的直径，，为上两点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）已知半径为的中，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．（本题3分）（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（本题3分）（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（     ） A．点P在上 B．点P在外 C．点P在内 D．无法确定 5．（本题3分）（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 6．（本题3分）（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，于交于点，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 8．（本题3分）（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 9．（本题3分）（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 10．（本题3分）（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足． 则线段的最大值是（    ） A． B．3 C．6 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·天津·阶段练习）圆心角为的扇形半径是6，则扇形的弧长为 ． 12．（本题3分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 13．（本题3分）（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 14．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得，，则这幅圆形古画的半径是 ． 15．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ． 16．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ． 17．（本题3分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为 ． 18．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为圆的直径，，为圆上的点，连接，连接，并延长交于点，且，连接．下列说法正确的是 ． ①；②；③；④若，，的值为． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 20．（本题6分）（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 21．（本题8分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E． (1)求证：直线为的切线； (2)连接，若的半径为5，，求线段的长． 22．（本题8分）（2023·辽宁锦州·三模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和的长． 23．（本题9分）（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 24．（本题9分）（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 25．（本题10分）（2024九年级下·云南·学业考试）如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的外接圆，点在上．连接交于点，． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接交于点，连接，若，，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，为的直径，，为上两点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆(弧)和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．由于为的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解∶连接，如图 ∵为的直径， ，即； 又同弧所对的圆周角相等， 故选∶ C． 2．（本题3分）（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）已知半径为的中，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径，得到直线l与相切即可． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离为，半径为， ∴圆心到直线的距离等于半径， ∴直线l与相切； 故选B． 3．（本题3分）（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形．根据题意得，可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ， ∴， 故选：B． 4．（本题3分）（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（     ） A．点P在上 B．点P在外 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上即可． 本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上， 故选：A． 5．（本题3分）（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 半径不是弦，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 6．（本题3分）（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，于交于点，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，由垂径定理和圆周角定理可证，，，=，而点不一定是的中点，即可求解． 【详解】解：， 由垂径定理知，点是的中点， ，， 是等腰三角形，是的平分线， =， 由圆周角定理知，=， =，故A、 B、D正确，而点不一定是的中点，故C错误． 故选．C 7．（本题3分）（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可． 【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选D． 8．（本题3分）（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵的面积等于， ∴设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 9．（本题3分）（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：连接，交于， 由题意得：米，， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 10．（本题3分）（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足． 则线段的最大值是（    ） A． B．3 C．6 D．4 【答案】D 【分析】由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，作交于，连接，作于，证明，则，可求，则，证明，则，可求则，由勾股定理得，，根据三点不共线时，，当三点共线时，，可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，作交于，连接，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 当三点不共线时，， 当三点共线时，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·天津·阶段练习）圆心角为的扇形半径是6，则扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 扇形的弧长为； 故答案为． 12．（本题3分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 13．（本题3分）（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得，，则这幅圆形古画的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理推论和勾股定理． 根据圆周角定理可得：是圆的直径，进而直接根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴是圆的直径， 在中，， ∴， ∴这幅圆形古画的半径是， 故答案为：5． 15．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解． 【详解】解：如图1，当时， 即， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或， 故答案为：或． 16．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键． 由切线长定理可得出答案． 【详解】解：，，是的切线，， 的周长为： ， 故答案为：． 17．（本题3分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，两点之间线段最短等；由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，取的中点，连接，当、、三点共线时，的值最小，结合勾股定理即可求解；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，能由圆外一点到圆上任一点距离最小找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 点M和N分别从B、C同时出发， 以相同的速度沿、向终点C、D运动， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 如图，取的中点，连接， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、三点共线时，的值最小， ， ； 故答案：． 18．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为圆的直径，，为圆上的点，连接，连接，并延长交于点，且，连接．下列说法正确的是 ． ①；②；③；④若，，的值为． 【答案】①②④ 【分析】由平行线的性质得到，再根据圆的内接四边形的性质得到，进而得到，由等腰三角形的性质得到，推出，先证明，得到，进而得到，根据，证，得到，即可得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ∵点为圆上的点， ∴， ∵， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 的度数无法确定，故③错误； ∵， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 20．（本题6分）（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【详解】（1）解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； （2）解：由（）得，， ∴， ∴ ． 21．（本题8分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E． (1)求证：直线为的切线； (2)连接，若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可证，进而得证； （2）由垂径定理可得， ，由中位线的性质可得，由勾股定理可求，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接交于H， ， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； （2）解：连接交于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 22．（本题8分）（2023·辽宁锦州·三模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为， 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）直线与相切，理由是：连接，先证出，根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据圆的切线的判定即可得； （2）设的半径为，则，在中，利用勾股定理即可得的值；再证出，根据相似三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得的长． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线与相切． （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， 则的半径为， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 23．（本题9分）（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． （1）先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，所以，从而得到结论； （2）连结交圆于，连接、，则，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，再在中求出直径，然后根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ， ； （2）解：如图，连结交圆于，连接、，则， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得（负值舍去）， ∴圆半径为， ∴的长度． 24．（本题9分）（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 25．（本题10分）（2024九年级下·云南·学业考试）如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． （2）证明， 由相似三角形的性质可得出，进一步即可证明． （3）连接正方形的对角线，设正方形的边长为，分两种情况求解，当与重合时，或当与重合时，利用正方形的性质求解即可． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接．根据同弧所求的圆周角相等，结合正方形的性质与相似三角形的判定以及性质可得出结论． 【详解】（1）解：是的直径，在上， ． 又的半径等于， ． ， ． ． （2）证明：由（1）知， ， ． 又， ． ． ． ． 又是的半径， 直线与相切，切点为点． （3）解：若四边形是正方形，存在常数，使． 理由如下： 连接正方形的对角线，设正方形的边长为． 当与重合时，，； 当与重合时，，． 若四边形是正方形，当与重合时，或当与重合时，存在常数，使，且． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接． 四边形是正方形， ，对角线是的直径． 根据已知得，是的弧所对的圆周角， ．同理可证． 是的直径，在上， ，． ， ． ． ． ． 当既不与重合也不与重合时，． 综上所述，若四边形是正方形，存在常数，使，且． 26．（本题10分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的外接圆，点在上．连接交于点，． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接交于点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合已知推出，即可证明； （2）根据圆周角定理结合三角形内角和定理推出，，即可得出结论； （3）过点B作，垂足为，过点O作，垂足为，连接，根据，先证明，由圆周角定理，解直角三角形求出的半径，利用勾股定理建立方程求出，，，，再利用三角形面积公式求出，进而求出，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，进而即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即, ∴为的直径； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点B作，垂足为，过点O作，垂足为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， 设，则， ∴ 在中，，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$