专题突破：圆的切线问题（4大题型）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：圆的切线问题 方法点拨 1、当直线与圆的公共点已知时，证明直线与圆相切的方法是“连半径，证垂直，得切线”。 2、当直线与圆的公共点未知时，证明直线与圆相切的方法是“作垂直，证半径，得切线”。 题型一 切线的判定与三角函数相关的计算 【例1】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的值和线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，如图，先利用切线的性质得，再根据垂径定理得到，即垂直平分，所以，然后证明，从而根据切线的判定定理可得到直线为的切线； （2）连接，证明，利用相似比得到，然后利用，即可得到,再证明为的中位线得到，设，则，再根据圆周角定理得到，则，利用正切定义得到，接着在中利用正切定义得到，解得，则，，，然后利用余弦定义求出的值；再利用求出，从而可得到的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为的切线， ， ， ， ， 即垂直平分， ， ， 而， ， ，即， ， 直线为的切线； （2）解：连接，如图， ，， ， ， ， 而， , 为直径， ， 垂直平分， ， ， 设，则， 垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ，解得， ，，， 在中，， ， ， ， 解得， ． 【变式1-1】（2024·安徽·三模）如图，中，，以为直径的经过点C，交的角平分线于点D，是的切线，交延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点F，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，交于点M．由角平分线的定义可得出，进而可得出，进而可得出，由圆的切线性质可得出，进而可判定． （2）先得出为的中位线，由三角形中位线的性质可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，由（1）得结论可得出，，进而证明四边形是矩形，由矩形的性质可得出，由正切的定义得出，设，则，由勾股定理得，进而可求出，，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，交于点M． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）可知，点M为中点， ∴为的中位线， ∴ ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）连接，由得到，再由和得到，即，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段，则． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，是的直径，边交于点，作于点，延长和交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，根据等边对等角，推出，进而得到，根据，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，证明，锐角三角形函数求出的长，勾股定理求出的长，三角函数求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-4】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，由为的直径得到，则，得到，由得到，由切线的判定定理即可得到结论； （2）证明，在中，，，得到，则，由勾股定理求出，得到，求出，在中，，，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ， ． 题型二 切线的判定与相似相关的计算 【例2】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连结，根据切线的性质，得到，根据圆周角定理可得，再通过解直角三角形即可求得答案； （2）先证明，再证明，得到，最后根据等腰三角形的三线合一性质，即可证明结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，最后代入计算，即可证得答案． 【详解】（1）解：连结， 是的切线， ， ， ， ， ； （2）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ； （3）证明：连结， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理推出，据此即可得解； （2）连接，与交于点，根据垂径定理得出，，根据题意得到，根据相似三角形的性质得到，据此即可得解； （3）先证明，根据相似三角形的性质得到，再由在中，求解即可． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 证明：连接，如图1， ∵ 四边形内接于，， ∴ 是的直径，即点在上． ∴ ． ∴ ． ∵ ． 又∵ ， ∴ ∴，即． ∴ ∵是的半径 ∴是的切线． （2）解：①如图2，与交于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴ ，． ∴； ②∵ ，， ∴ ． ∴ ∴设，则，． 在中，， ∴ ． 解得：，（舍）． ∴ ． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由切线的性质得，再证证，，进而可得，即可证明结论； （2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，证明，得，可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式2-3】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论； （2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 又是的直径， ， ， ， 即， ， 是半径， 是的切线； （2）解：，且， 设，， ， ， 又，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 【变式2-4】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若是中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是圆O的切线； （2）证明得出，整理得； （3）设，则．由勾股定理求出x的值，得出．由，可设，则，，即可求出，从而得出，解出y的值，即可求出，即半径为．由直角三角形斜边中线的性质得出，结合等边对等角，得出，进而可证，得出，代入数据，即可求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与圆相切于点， ，即， ， ， ，即， 是圆的切线； （2）证明：， ． ， ． 又， ， ， ； （3）解：， ， 设，则． ， ， 解得：舍去负值， ． ， ， 设， 则， ， ， 解得：， ，即半径为． 是中点， ， ． ， ， ， ， ，即， 解得：， ． 【变式2-5】（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质得，由角平分线定义得，等量代换得，根据平行线得判定定理得到，由平行线得性质得出答案； 对于（2），设，则，即可得的值，再根据勾股定理求出的值，证明，可得答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型三 切线的判定与半径相关的计算 【例3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由是的直径，得，则，连接，由，得，则垂直平分，所以，即可证明是的切线； （2）由，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，求得，则的半径长为． 【详解】（1）解：∵交的延长线于点是的直径， ， ， 连接， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ， ， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径为． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，以为直径作交于点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据直角三角形性质得到，根据等腰三角形性质得到， ，得到，得到，即得是的切线； （2）连接，根据直径性质得到，得到，得到，结合，得到，得到，根据，，得到，即得． 【详解】（1）连接， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（江苏省徐州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题）如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． （）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、，则，   ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， 【变式3-3】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，由角平分线，等边对等角可得，，可证，进而可得，进而结论得证； （2）如图2，作于点I， 则，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，即，计算求解，进而可求直径． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图2，作于点I， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴求的直径为． 【变式3-4】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质等知识． （1）连接，由是直径，与相切于C，得，，从而得出，再根据推出，即，即可证明结论； （2）由题意易证，得，得到，根据，从而求出的长，即可得到半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于C， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ， ∴半径的长为． 【变式3-5】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为r，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出r即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点C， ∴于点E， ∵是的半径， ∴为的切线 （2）解：设半径为r， 在中，， ∴（， 解得： 即⊙O的半径为2.5． 题型四 圆的切线与最值问题 【例4】（24-25九年级上·广东·阶段练习）如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接． (1)若，求的度数； (2)若为的切线，连接交于点F，求证：； (3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）如图：连接交于点F，先证明可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图2：连接相交于点T，设于点N,设交于点Q，先证明，进一步证明，再根据和证明，并证明得到，最后根据证明得到，说明点M在以为直径的圆上，如图3：设圆心为H，连接，则，根据勾股定理求出，再说明 (当且仅当点M在线段上时等号成立)，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：连接交于点F， ∵为的切线， ∴， 由正方形和圆的性质可得：． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图2，连接相交于点T，设于点N，设交于点Q， ∵正方形， ∴，，，， ∴点T在上， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 点M在以为直径的圆上，设圆心为H， 如图3：连接， 则: ， ∵， ∴， ∵， ∴当且仅当点M在线段上时等号成立， ∴， ∴的最小值为． 【变式4-1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，点C在的半径上运动，， 垂足为C， ，为的切线，切点为 T． (1)如图①，当点C运动到点O时， 求的长． (2)如图②，当点C运动到点A时， 连接， 求证：． (3)如图③ 设，求y与x之间的函数解析式及y的最小值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，9 【分析】（1）连接，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据切线长定理，推出，进而推出，从而证出结论； （3）设交于点D，延长线交于点E，利用相似三角形的性质，可得出的长和y与x之间的关系式，进而求得y的最小值． 【详解】（1）解：连接， ∵为的切线， ∴， ，， 由勾股定理得：； （2）证明：连接， ∵，且为半径， ∴为的切线， ，为的切线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ； （3）设交于点D，延长线交于点E，连接， ∴， 又， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，过T作，交于点M，连接，则为圆O的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，的顶点在直线上，，，，点是直线上位于点右侧的一点，且，点是直线上的一个动点，以点为圆心，2为半径的圆记作． (1)若点是上的任意一点，当与边相切时，的最大值是__________； (2)当时，设与边的交点为，求的面积； (3)当与的边恰有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）首先结合三角函数解得，当与边相切时，连接并延长，交于点，此时取最大值，利用勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）分点在点右侧和点在点左侧两种情况，根据勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）令点从右向左移动，逐步分析与的边的交点情况，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 如下图，当与边相切时，连接并延长，交于点， 此时取最大值， ∵的半径为2， ∴， ∵当与边相切， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：； （2）分两种情况讨论， 当点在点右侧时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点左侧时，如下图， 此时， ∴， ∴． ∴综上所述，的面积为或； （3）如下图，当点在右侧，且经过点时， 此时， 点继续向左移动，与的边有两个交点，如下图， 点继续向左移动，当与相切时，设切点为，如下图， 此时与的边有三个交点， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， 若点继续向左移动，与的边有四个交点，如下图， 点继续向左移动，经过点时，如下图， 此时点重合，， 点继续向左移动，与的边有两个交点，如下图， 点继续向左移动，点到达点左侧，且经过点时， 此时，若点继续向左移动，与的边将没有交点． 综上所述，当与的边恰有两个交点时，的取值范围为或或． 【变式4-4】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，推出为的半径，即可得证； （2）求出的长，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可； （3）取的中点，连接，进而得到，结合，得到，进而得到，进而得到，得到，得到三点共线时，的长最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意，可知：为的直径， ∴， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作， 则：，即：， ∴， ∴点C到的距离为； （3）取的中点，连接，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，，由（2）知， ∴， ∴的最小值为． 【变式4-5】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）数学实验室． (1)尝试探究∶ 如图1， 在中，， D在上． ，垂足分别为E，F，请问在上是否存在点N，使？ 若存在，请在图1中用尺规作图把点N画出来(不写作法，保留痕迹) ；若不存在，请说明理由． (2)实践运用∶ 如图2，在的内部，请用尺规作图在上确定一点P，使点P到两边的距离之和最大(不写作法，保留痕迹) ． (3)思考计算∶ 在 (2) 的条件下， 若， 的半径为，则点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为 ． 【答案】(1)存在，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1，作与关于对称，延长交于，证明，，则，如图1，过作于，则四边形为矩形，则，点即为所作； （2）由（1）可知，等腰三角形底边上的点到顶角两边的距离和，等于底角顶点到另一条腰的距离，且底角顶点离顶点越远，距离和越大，可知点在以为顶角的等腰三角形的底边与相切的切点位置，如图2，以为顶角，作等腰三角形，过作的垂线，交于点，点即为所求； （3）如图3，作的切线交于，交于，切点为，且，则，如图3，作于，于，于，则四边形是矩形，则，，由题意知，点P到两边距离之和最大，点Q到两边距离之和最小，点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为，如图3，作于，则四边形是矩形，，证明，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：如图1，作与关于对称，延长交于， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图1，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∴存在，点即为所作； （2）解：由（1）可知，等腰三角形底边上的点到顶角两边的距离和，等于底角顶点到另一条腰的距离，且底角顶点离顶点越远，距离和越大， ∴当在的内部，上一点P，使点P到两边的距离之和最大时，点在以为顶角的等腰三角形的底边与相切的切点位置， 如图2，以为顶角，作等腰三角形，过作的垂线，交于点， 如图，过作线段， ∴为为顶角的等腰三角形， ∴，为半径， ∴是的切点， ∴点即为所求； （3）解：如图3，作的切线交于，交于，切点为，且， ∴， 如图3，作于，于，于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意知，点P到两边距离之和最大，点Q到两边距离之和最小， ∴点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为， ∵， ∴为等边三角形，，， 如图3，作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：圆的切线问题 方法点拨 1、当直线与圆的公共点已知时，证明直线与圆相切的方法是“连半径，证垂直，得切线”。 2、当直线与圆的公共点未知时，证明直线与圆相切的方法是“作垂直，证半径，得切线”。 题型一 切线的判定与三角函数相关的计算 【例1】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的值和线段的长． 【变式1-1】（2024·安徽·三模）如图，中，，以为直径的经过点C，交的角平分线于点D，是的切线，交延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点F，，求的长． 【变式1-2】（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式1-3】（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，是的直径，边交于点，作于点，延长和交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长度． 【变式1-4】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 题型二 切线的判定与相似相关的计算 【例2】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 【变式2-1】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-3】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【变式2-4】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若是中点，求的长． 【变式2-5】（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 题型三 切线的判定与半径相关的计算 【例3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，以为直径作交于点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式3-2】（江苏省徐州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题）如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式3-3】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的直径． 【变式3-4】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【变式3-5】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型四 圆的切线与最值问题 【例4】（24-25九年级上·广东·阶段练习）如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接． (1)若，求的度数； (2)若为的切线，连接交于点F，求证：； (3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值． 【变式4-1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，点C在的半径上运动，， 垂足为C， ，为的切线，切点为 T． (1)如图①，当点C运动到点O时， 求的长． (2)如图②，当点C运动到点A时， 连接， 求证：． (3)如图③ 设，求y与x之间的函数解析式及y的最小值． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，的顶点在直线上，，，，点是直线上位于点右侧的一点，且，点是直线上的一个动点，以点为圆心，2为半径的圆记作． (1)若点是上的任意一点，当与边相切时，的最大值是__________； (2)当时，设与边的交点为，求的面积； (3)当与的边恰有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【变式4-4】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 【变式4-5】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）数学实验室． (1)尝试探究∶ 如图1， 在中，， D在上． ，垂足分别为E，F，请问在上是否存在点N，使？ 若存在，请在图1中用尺规作图把点N画出来(不写作法，保留痕迹) ；若不存在，请说明理由． (2)实践运用∶ 如图2，在的内部，请用尺规作图在上确定一点P，使点P到两边的距离之和最大(不写作法，保留痕迹) ． (3)思考计算∶ 在 (2) 的条件下， 若， 的半径为，则点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$