专题03 轴对称（考点串讲，4个常考点+4种模型+6个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 轴对称 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 四大题型典例剖析 六大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 C D D B D 70 A 5 6,4或5,5 专题强化　等腰三角形中的分类讨论 题型剖析 55°、55°或70°、40° 36°或45° 63°或27° 70°或20° 30°或90°或150° 易混易错 1. [2023天津期末]下面四个标志中，是轴对称图形的是(　B　) A B C D B 押题预测 2. [2024保定期末] 如图，在△ ABC 中，以点 A 为圆心， AC 的长为半径作圆弧交 BC 于点 D ，再分别以点 B 和点 D 为圆心，大于 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 M 和点 N ，连接 MN 交 AB 于点 E . 若△ ADE 的周长为20.5， AC ＝7，则 AB 的长为(　B　) A. 6.5 B. 13.5 C. 15 D. 17 B 3. [2024常州北郊初级中学期末] 如图，在边长为 a 的等边三角形 ABC 中， BF 是△ ABC 的中线且 BF ＝ b ，点 D 在 BF 上，连接 AD ，在 AD 的右侧作等边三角形 ADE ，连接 EF ，则△ AEF 周长的最小值是(　B　) A. a ＋ b B. a ＋ b C. a ＋ b D. b B 4. [2023保定期末]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝40°，∠ C ＝50°，则根据作图痕迹，可知∠ BAD 的度数为 ，∠ DAE 的度数为 ⁠. 40°　 25°　 5. [2024唐山期末]如图，在△ ABC 中，边 AB ， BC 的垂直平分线交于点 P . (1)求证： PA ＝ PB ＝ PC ； 证明：(1)∵边 AB ， BC 的垂直平分线 交于点 P ， ∴ PA ＝ PB ， PB ＝ PC ， ∴ PA ＝ PB ＝ PC . 5. [2024唐山期末]如图，在△ ABC 中，边 AB ， BC 的垂直平分线交于点 P . (2)求证：点 P 在线段 AC 的垂直平分线上. 证明：(2)由(1)可知 PA ＝ PC ， ∴点 P 在线段 AC 的垂直平分线上. 【考点分类训练】 　轴对称与轴对称图形 1．(泸州中考)下列图形中不是轴对称图形的是(　　) 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是(　　) A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′的面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，点C的坐标为(4,1)，则点B关于x轴对称的点的坐标为(　　) A．(－2,1)　　　　 B．(－3,1) C．(2，－1) D．(－2，－1) 　线段的垂直平分线 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD，则△ACD与△ADB的面积比为(　　) A．1　 　 B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3)　 　 D．eq \f(2,3) 5．(杭州中考)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC. (1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B； (2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数． (1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＝2∠B； (2)解：根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，5∠B＝180°，∴∠B＝36°. 　等腰三角形的性质与判定 6．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　　) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD 7．(南通中考)如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度． 8．在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一个动点(不与B、C重合)，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE. (1)如图①，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形； (2)若∠BAC＝∠DAE≠60°，如图②，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状，并说明你的理由． 解：(1)等边； (2)△BEF是等腰三角形．理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，即∠DAC＝∠EAB.又∵AC＝AB，AD＝AE，∴△DAC≌△EAB(SAS)，∴∠EBA＝∠C.∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠EFB＝∠EBA，∴EB＝EF.∴△BEF是等腰三角形． 　综合应用 9．(宁波中考)△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道(　　) A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长 【解析】∵∠AHG是△HCG的外角，∴∠AHG＝∠AHF＋∠FHG＝∠CGH＋∠GCH.∵∠FHG＝∠GCH＝60°，∴∠AHF＝∠CGH.又∵GH＝HF，∠A＝∠C＝60°，∴△AFH≌△CHG，∴CH＝AF.∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴DE＝BE，FH＝BD，∴五边形DECHF的周长为DE＋EC＋CH＋FH＋DF＝(BE＋EC)＋(AF＋DF＋BD)＝BC＋AB＝2AB.由此可知只需要知道△ABC的周长即可求出五边形DECHF的周长． 10．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE. (1)如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数； (2)如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC(点B、C除外)上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系； (3)如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°； (2)设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°－x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°＋eq \f(1,2)x，∴∠CDE＝eq \f(1,2)x，即∠CDE＝eq \f(1,2)∠BAD； (3)设∠BAD＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠BAC＝180°－2y，∴∠AED＝y＋eq \f(1,2)x，∴∠CDE＝∠AED－∠C＝eq \f(1,2)x.即∠CDE＝eq \f(1,2)∠BAD. 强化角度1 与边或周长有关的问题 1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的另一边长为 . 2．若等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为 . 3．等腰三角形的一边长是另一边长的2倍，其周长为20，求等腰三角形的腰长． 解：设等腰三角形的两边长分别为x和2x.(1)若腰长为x，∵x＋x＝2x，∴此种情况不成立；(2)若腰长为2x，则2x＋2x＋x＝20，∴x＝4，即腰长为8. 强化角度2 与角有关的问题 4．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是 . 5．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C＝ . 6．已知一个等腰三角形的两内角度数之比为1∶4，求这个等腰三角形顶角的度数。 解：设两内角的度数为x和4x；(1)若顶角度数为x，则x＋4x＋4x＝180°，∴x＝20°；(2)若顶角度数为4x，则4x＋x＋x＝180°，∴x＝30°，4x＝120°，∴这个等腰三角形的顶角度数为20°或120°. 强化角度3 与高有关的问题 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的一个底角的度数为 . 8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为 . 9．△ABC的高AD、BE所在的直线相交于点H.若BH＝AC，求∠ABC的度数． 解：(1)若∠ABC为锐角，如图①，易证△BHD≌△ACD，∴AD＝BD，∴∠ABC＝45°； (2)若∠ABC为钝角，如图②，同样可证△BHD≌△ACD，∴AD＝BD，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝180°－∠ABD＝135°，∴∠ABC＝45°或135°. 强化角度4 综合创新问题 10．(绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝eq \f(1,2)BC，则△ABC的顶角的度数为 . 11．数学课上，张老师举了下面的例题： 例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°) 例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)．张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式　等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． (1)请你解答以上的变式题； (2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.故∠B＝50°或20°或80°； (2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝(eq \f(180－x,2))°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.当eq \f(180－x,2)≠180－2x且180－2x≠x且eq \f(180－x,2)≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数。综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数． $$