期末易混易错题（考题猜想，22种易错热考题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（人教版2024）

期末易混易错题（考题猜想，22种易错热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错点一：对有理数的相关概念理解有误而出错（共4题） 1．（2023春•普陀区期末）下列说法正确的是　　 A．有理数分为正有理数和负有理数 B．符号相反的两个数叫做互为相反数 C．0没有倒数，也没有相反数 D．绝对值等于本身的数是正数和零 【分析】根据有理数的分类，相反数的定义，倒数的性质，绝对值的性质进行判断即可． 【解答】解：有理数分为正有理数、负有理数和0， 则不符合题意； 符号相反，并且绝对值相等的两个数叫做互为相反数， 则不符合题意； 0没有倒数，0的相反数是0， 则不符合题意； 正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，那么绝对值等于本身的数是正数和零， 则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查有理数的分类及相关概念和性质，熟练掌握相关概念及性质是解题的关键． 2．（2023秋•平顶山期末）下列说法中，正确的是　　 A．所有的有理数都能用数轴上的点表示 B．有理数分为正数和负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两数相加和一定大于任何一个加数 【分析】利用排除法求解． 【解答】解：所有的有理数都能用数轴上的点表示，正确； 有理数分为正数、0和负数，错误； 符号不同的两个数不一定互为相反数，如和不是相反数，错误； 正数与负数相加，和小于正数，错误； 故选：． 【点评】本题主要考查有理数与数轴的关系，即所有的有理数都能用数轴上的点表示． 3．（2023秋•钱塘区期末）下列说法正确的是　　 A．相反数等于本身的数只有0 B．一个数的绝对值一定是正数 C．绝对值最小的整数是1 D．符号不同的两个数互为相反数 【分析】根据相反数、绝对值的定义及性质进行判断即可． 【解答】解：、相反数等于本身的数只有0，故符合题意； 、一个数的绝对值一定是非负数，故不符合题意； 、绝对值最小的整数是0，故不符合题意； 、只有符号不同的两个数互为相反数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了相反数和绝对值的定义，准确掌握相反数和绝对值的定义是关键． 4．（2023秋•广陵区期末）下列表述中，正确的个数是　　 ①存在绝对值最小的数；②任何数都有相反数；③绝对值等于本身的数是正数；④0是最小的有理数；⑤绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由相反数的定义、绝对值的定义和性质逐一分析，即可得出正确答案．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【解答】解：①绝对值最小的数是0，故①正确； ②相反数：数值相同，符号相反的两个数，从而可知任何数都有相反数，故②正确； ③绝对值等于本身的数是0和正数，故③错误； ④没有最小的有理数，故④错误； ⑤负数的绝对值是正数，正数的绝对值是它本身，所以绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故⑤正确； 所以正确说法有①②⑤，共3个． 故选：． 【点评】此题考查有理数，关键是根据有理数、绝对值、相反数的概念解答． 易错点二:对正数和负数的认识出错（共4题） 1．（2023秋•东丰县期末）下列各数：3，0，，0.48，，，中，负数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】简化可得：3，0，，0.48，7，，16．结果小于0的数是负数． 【解答】解：负数有，共2个． 故选：． 【点评】正确理解正、负数的概念，区分正、负数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号． 2．（2023秋•东辽县期末）在有理数，0，，，3.7，中，非负数的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【解答】解：0，，3.7，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数． 3．（2023秋•惠民县期中）若是有理数，则下列说法正确的是　　 A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【分析】根据有理数的概念及绝对值的性质即可得出答案． 【解答】解：．当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； ．当时，是正数，故本选项不合题意； ．当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； ．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的相关概念，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质． 4．（2021秋•温江区校级月考）成本提高的实际意义是 　 　． 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量，提高了负的实际上不但没有提高反而下降了． 【解答】解：成本提高的实际意义是成本降低了． 故按按为：成本降低了． 【点评】本题考查了正数和负数．解题的关键是能够正确运用正负数可以表示相反意义的量． 易错点三：数轴与绝对值中常见的漏解错误（共13题） 类型一：数轴上点的位置不确定而漏解 1．（2023秋•谷城县期末）【背景知识】数轴上点、点表示的数为、，则、两点之间的距离；若，则；若，则．若是中点，则与、之间距离相等． 【问题情境】如图，已知、、是数轴上三点，点为原点，点表示的数为6，，． （1）写出数轴上点、表示的数； （2）动点、分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动．点的速度是每秒6个单位长度，点的速度是每秒3个单位长度，点为的中点，点在线段上，且，设运动时间为秒． ①求数轴上点、表示的数（用含的式子表示）； ②当、、三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求的值． 【分析】（1）由点表示的数和的长度，先计算出点表示的数，再由长度计算点表示的数即可： （2）①根据、点的移动速度先计算、点表示的数，再计算、表示的数即可； ②分别讨论为中点，为中点，为中点；根据数轴上的距离列方程求解即可． 【解答】解：（1）点为原点，点表示的数为6， ， 又， ， 表示的数为2， ，， ， 表示的数是； （2）①点从点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动， 点表示的数为， 点为的中点， 点表示的数为：， 点从点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动， 点表示的数为， ，点在线段上 点表示的数为：， 点表示的数为，点表示的数为； ②当是、中点时， ， 解得：， 当是、中点时， ， 解得：， 当是、中点， ， 解得：， 的值为2秒或秒或20秒． 【点评】本题考查了数轴上的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是对动点问题进行分类讨论． 2．（2023秋•东莞市校级期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，、满足，点是数轴原点． （1）点表示的数为 　5　，点表示的数为 　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 　　表示的点重合； （3）点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在线段上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 　　； （4）若点以的速度向左移动，2秒后，点以的速度向右移动，则出发几秒后，、两点相距1个单位长度？ 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性即可得出； （2）由题知先求、中点，再根据对称性可求； （3）设点在数轴上表示的数为，根据列出方程即可得到答案； （4）设秒后、两点相距1个单位长度，用的代数式表示、运动后表示的数，从而表示出，列方程即可得到答案． 【解答】解：（1）， ，， ，， 故答案为：5，； （2）由题知折叠点为的中点，即折叠点表示的数是， 根据对称性知原点与表示2的点关于1对称， 故答案为：2； （3）设点在数轴上表示的数为，则，， ， ， 解得， 故答案为：； （4）设出发秒后，、两点相距1个单位长度，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，根据题意得： ， 解得或， 答：出发4秒或秒后，、两点相距1个单位长度． 【点评】本题主要考查了一元一次方程和数轴的知识，根据已知的数量关系列出方程是解题的关键． 3．（2023秋•鹤城区校级期末）先阅读材料：如图（1），在数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6． （1）若数轴上有一点，且，则点表示的数为 　或　． （2）若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．则点表示的数是 　　，　　（用含的式子表示）． （3）请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． （4）若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？ 【分析】（1）由绝对值与偶次方的非负数性质得出，，设点表示的数是，则，解得或； （2）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，； （3），则，即可得出结果； （4）设秒后、两点相距2个单位长度，由题意得，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）， ，， ，， 设点表示的数是， ， ， 或， 故答案为：或； （2）点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， 故答案为：，； （3）不变， ， ， 的值为4，是定值， 的值不随着时间的变化而改变； （4）设秒后、两点相距2个单位长度， 由题意得：， 即， 解得：或， 秒或2秒后、两点相距2个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用、绝对值与偶次方的非负数性质、两点间的距离等知识；正确理解题意，表示出两点间的距离是解题的关键． 4．（2023秋•九龙坡区期末）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，、之间的距离记为，定义：或，请回答问题： （1）设点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，若，则　7　； （2）设数轴上点对应的数为，且，求的值； （3）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，点表示的数是9．现甲从点出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点出发，以每秒4个单位长度的速度向点运动，当乙到达点时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动．问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？ 【分析】（1）根据绝对值和完全平方的非负性即可解决问题． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）根据题意，进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得， ，， 解得，． 所以． 故答案为：7； （2）方程的解可看成数轴上到点和点3距离之和等于7的点所表示的数， ， 因为表示的点和表示3的点之间的距离为：， 所以点在表示的点左边1个单位长度或在表示3的点右边1个单位长度时， 点到点和点3距离之和等于7， 所以的值为或4． （3）当乙从向运动时， 设运动的时间为， 则甲，乙相遇前：， 解得． 甲，乙相遇后：， 解得． 当乙运动到点时，休息了3秒， ， 此时甲所在位置对应的数为：． 设乙从出发，再经过秒与甲相距2个单位长度， 则甲追上乙之前：， 解得， 则． 甲追上乙之后：， 解得， 则． 综上所述，经过0.5秒或秒或秒或秒，甲、乙相距2个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到相等关系是解题的关键． 5．（2023秋•滨城区期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点、点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、8，点以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒4个单位向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）运动开始前，线段的中点所表示的数为 　　；点运动秒后所在位置的点表示的数为 　　；点运动秒后所在位置的点表示的数为 　　．（用含的式子表示） （2）若、两点按上述方式运动，线段的中点能否与表示的点重合？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． （3）若、两点按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距3个单位长度？ 【分析】（1）由题意可得线段的中点表示的数，点运动秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点表示的数加上点运动的路程，即； （2）设，按上述方式继续运动秒线段的中点能与重合，根据题意列方程，解得值； （3）设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距3个单位长度，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）线段的中点所表示的数为：，点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为． 故答案为：，，； （2）由中点公式可得： 经过秒后，点所表示的数为：． 若点与表示数的点重合， 故：， 解得． 故运动4秒时，线段的中点能与表示的点重合； （3）两点间的距离可表示为：， 由题意可得：． 或． 解得：， 故经过，、两点相距3个单位长度． 【点评】本题主要考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． 6．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段的中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【分析】（1）利用含的代数式表示出点，运动秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点表示的数，列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点，表示的数，利用题干中的方法求得的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ； 又且， ， 解得：或． 当为或秒时，． （2）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 由题意得：， ． 当为12秒时，线段的中点与表示的点重合． （3）点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长为5．理由： 当点运动秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为8， 的中点表示的数为，的中点表示的数为， ． 点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长为5． 【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 7．（2022秋•鲤城区校级期末）如图，数轴上点、对应的数分别为、，且、满足．，点对应的数为， （1）求、的值； （2）点，沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为2个单位长度秒，点速度为1个单位长度秒，若运动时间为秒，运动过程中，当，两点到原点的距离相等时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点运动到点处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点运动至点处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点运动，当点停止运动时，点随之停止运动，在此运动过程中，，两点同时到达的点在数轴上表示的数是 　，0，　．（说明：直接在横线上写出答案，答案不唯一，不解、错解均不得分，少解、漏解酌情给分） 【分析】（1）根据非负数的性质列式求解即可得到、的值； （2）求出，再根据到原点距离相等时，分两种情况：①点、重合，②点在原点的右边，点在原点的左边，列出方程求解即可； （3）由（2）可知，两点第一次同时到达的点为，，两点第二次同时到达的点，是在点到达点返回与点相遇的点，，两点第三次同时到达的点，是在点返回到出发点后又折返向点运动，与点运动到点处后返回的相遇点． 【解答】解：（1），且，， ，， ，； （2）由（1）可知点表示的数为，点表示的数为1， 点对应的数为， ， 由，两点到原点的距离相等， 分两种情况：①点、重合，②点在原点的右边，点在原点的左边 ①当点、重合时，、均在原点的左边，此时点运动的距离等于点运动的距离， 即：， 解得：； ②当点在原点的右边，点在原点的左边时，、两点表示的数互为相反数， 即：， 解得：， 综上所述当或时，，两点到原点的距离相等； （3）由（2）可知，两点第一次同时到达的点，在数轴上表示的数为：； ，两点第二次同时到达的点， 点从到达点点表示时，用时1.5秒，此时点运动1.5个单位长度，到达的位置， 、之间相距1.5个单位长度，经过秒，、相遇，此时、两点均在原点， 即，两点第二次同时到达的点在数轴上表示的数为：0； ，两点第三次同时到达的点， 在第二次相遇后，到点用时1秒，点到出发点（表示的点）用时2秒，此时点有到达原点， 、两点再一次相遇用时秒，此时、两点均在数轴上表示的数为． 综上所述，在此运动过程中，，两点同时到达的点在数轴上表示的数是，0，． 故答案为：，0，． 【点评】此题考查了数轴的有关知识，解题的关键是：借助数轴分析，两点同时到达的点． 类型二：数的正负性不确定而漏解 1．（2022秋•肃州区校级期末）在数轴上与表示数的点的距离等于2的点表示的数是　　 A．1 B． C．或 D．或5 【分析】分类讨论：当这个点在表示数的点的左边；当这个点在表示数的点的右边，然后根据数轴上的点表示数的方法即可得到答案． 【解答】解：当这个点在表示数的点的左边，则这个点表示的数为； 当这个点在表示数的点的右边，则这个点表示的数为． 故选：． 【点评】本题考查了数轴：数轴的三要素（原点、正方向和单位长度）；原点左边的点表示的数为负数，右边的点表示的数为正数；左边的点表示的数比右边点表示的数要小 2．（2023秋•松北区期末）若，则的值为　 ． 【分析】根据绝对值的意义得到，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， 即或， 或． 故答案为2或． 【点评】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 3．（2022秋•西宁期末）阅读材料 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示： 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为． 如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题 （1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离为 　5　； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 　　； 拓展探究 （3）如图2，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为． ①若点在，两点之间，则　　； ②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，直接写出点表示的数． 【分析】先正确列出含绝对值的代数式，最后一问要学会对进行分类讨论以去掉绝对值． 【解答】（1）易得所求为， 故答案为5； （2）易得所求为， 故答案为， （3）①若点在，两点之间，则， 故答案为6； ②设点表示的数为， ，， ， ， 若，得，即，舍去， 若，得，即， 若，得，即， 总之，或． 故答案为0或． 【点评】正确列出含绝对值的代数式是基础，最后一问会对进行分类讨论以去掉绝对值是关键． 4．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，则　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，且，求的值． 【分析】（1）由，可得，即可得到答案； （2）先判断、、全负或者两正一负，再分情况化简绝对值，最后计算即可； （3）先判断、、两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【解答】解：（1）当时，与同时为1或同时为， 则； 故答案为：0． （2）， ，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ； ②当，，两正一负时， 当，，时， ； Ⅱ当，，时， ； Ⅲ当，，时， ； 综上所述，求的值为1或； （3）， ，，， ， 又， ，，两正一负， 由（2）可知的值的值为或3． 【点评】本题主要考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键． 5．（2022秋•西安期末）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若，则　7或　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到2和所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）可以理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据即可求得的值； （2）计算，求得的取值范围即可解题； （3）可以理解为数轴上一个点到2和的距离，即可解题． 【解答】解：可以理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 到2的距离为5的数字有7和， 故答案为7或； （2）， 当时，，（不符合题意舍去）； 当时，， 当时，，（不符合题意舍去）； 综上所述，当时，所表示的点到2和所对应的点的距离之和为3； 所以满足条件的整数为，0，1，2； （3）可以理解为数轴上一个点到2和的距离， 求证方法和（2）相同，故有最小值为5． 【点评】本题考查了绝对值的计算，考查了绝对值的定义．本题属于基础题，牢记绝对值定义是解题的关键． 6．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1），是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则； （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． ，，中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． 易错点四：有理数运算中的常见错误（共11题） 类型一：运算顺序不正确而出错 1．（2023秋•济南期末）计算：． 【分析】根据有理数除法法则把有理数除法转化成乘法，然后根据有理数乘法法则计算便可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数乘法，有理数除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 2.脱式计算，能简算的要简算．； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算律、有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先化除为乘，然后再计算即可； 【详解】解： ． 类型二：运算律使用错误而出错 3．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【解答】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 4．（成安县期末）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： 【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案； 根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案． 【解答】解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一． 原式 ． 【点评】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律． 5．（鄂托克旗期末）小华在课外书中看到这样一道题： 计算：． 她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题 （1）前后两部分之间存在着什么关系？ （2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． （3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果． （4）根据以上分析，求出原式的结果． 【分析】（1）根据倒数的定义可知：与互为倒数； （2）利用乘法的分配律可求得的值； （3）根据倒数的定义求解即可； （4）最后利用加法法则求解即可． 【解答】解：（1）前后两部分互为倒数； （2）先计算后一部分比较方便． ； （3）因为前后两部分互为倒数，所以； （4）根据以上分析，可知原式． 【点评】本题主要考查的是有理数的乘除运算，发现与互为倒数是解题的关键． 类型三：运用分配律时因漏乘而出错 6.用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 7．（2023秋•泸县校级期末）计算： 【分析】首先根据除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数可得，再用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式， ， ， ． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，关键是掌握有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 类型四：拆分造成的符号错误 8．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 【分析】（1）根据计算，小杨利用了乘法分配律计算更简便； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算更加简便． 【解答】解：（1）小杨的解法较好； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，主要训练了利用运算定律简便运算，读懂题目信息是解题的关键． 9.计算：． 【答案】239 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．首先将原式整理为，然后根据有理数乘法运算律和有理数四则运算法则求解即可． 【详解】解：原式 类型五：乘方中对不同位置的负号的含义理解出错 10．（2023秋•徐闻县期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2023秋•永州期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 易错点五：有理数运算中未分类讨论而漏解（共3题） 1．（2024秋•九龙坡区期中）已知，，且，则的值为　　 A． B． C．或 D．2或12 【分析】根据有理数的乘方法则，绝对值的性质求得，，再由求得，，然后计算即可． 【解答】解：，， ，， ， ，， 或， 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘方，绝对值，结合已知条件求得，是解题的关键． 2．（2024秋•达川区校级期中）已知，，，则的值为　　 A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 【分析】先确定，的值，在分别代入计算求解． 【解答】解：由题意得，， 解得或， ， ， ， ， 或，， 当，时， ； 当，时， ， 即的值为8或2， 故选：． 【点评】此题考查了有理数的乘方和绝对值等的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解、讨论． 3．（2024秋•德州期中）计算： （1）已知，求的值； （2）若、互为倒数，、互为相反数，．求的值： 【分析】（1）由绝对值的非负性得，，，求出、、，然后代入，即可求解； （2）由倒数的定义及相反数的定义，绝对值的定义得，，，①当，，时，②当，，时，分别进行代值计算，即可求解． 【解答】解：（1）， ，，， ，，， 原式 ； （2）由题意可得：，，， ①当，，时， 原式 ； ②当，，时， 原式 ； 故值为9或． 【点评】本题考查了绝对值非负性绝对值，有理数的混合运算，理解绝对值非负性是解题的关键． 易错点六：建立有理数运算模型解决实际问题时理解题意出错（共5题） 1．（2023秋•龙山区期末）下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值． 本周水位最高的为周五， 周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， ， 故本周五水位最高，高于警戒水位． （2）通过表格可得， 故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了． 【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 2．（2022春•博山区期末）一个病人每天需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160个单位． “”表示收缩压比前一天上升，“”表示收缩压比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 收缩压的变化个单位 （1）请算出星期五该病人的收缩压（要求先列式后计算）． （2）以上个星期日的收缩压为0点，请把下面的折线统计图补充完整． （3）若收缩压大于或等于180个单位为重度高血压，该病人本周哪几天的血压属于这个范围？ 【分析】（1）根据每天的增长情况计算即可； （2）根据增长变化的数值，绘制折线统计图即可； （3）根据折线统计图，可直观得出答案． 【解答】解：（1） ， 答：星期五该病人的收缩压是170个单位； （2）根据收缩压的变化情况，绘制折线统计图， （3）由折线统计图得，周一、周三、周四的收缩压大于或等于180个单位，是重度高血压． 【点评】本题考查折线统计图的意义和绘制方法，理解数值的增长变化情况是绘制折线统计图的关键． 3．（2021秋•江陵县期末）股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格上涨，负数表示价格下跌，单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 （1）星期三结束时，该股票每股多少元？ （2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？ （3）已知王先生买进该股票时付了的手续费，卖出股票时须支付的手续费和的交易税，若他在星期五结束时将股票全部卖出，则他的收益情况如何？（注股票市场周末不交易） 【分析】（1）根据表格列出算式，即可得到结果； （2）根据表格求出每天的股价，即可得到最高与最低股价； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意列得：（元； （2）根据表格得：星期一每股元，星期二每股元，星期三每股元， 星期四每股元，星期五每股元， 则本周内最高价是每股23.5元，最低价每股19.5元； （3）根据题意列得：（元． 则他赚了1932元． 【点评】此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 4．（2023秋•江陵县期末）随着科学技术的发展，信息化、网络化时代的到来，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的小韦把自己家的红薯产品也放到网上，他原来计划每天卖出150千克，由于各种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是国庆小长假期间的销售情况（超出部分记为正，不足记为负，单位：千克） 时间 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 与计划量的差值 （1）根据上表前四天一共卖出了多少千克？ （2）销售量最多的一天与最少的一天分别是多少千克？ （3）若每千克按2.6元出售，并需付运费平均每千克0.3元，则小韦国庆小长假期间一共收入多少钱？ 【分析】（1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）将总数量乘以价格差解答即可． 【解答】解：（1）前四天一共卖出了（千克） （2）销售最多的一天：（千克） 销售最少的一天：（千克） （3） （元 答：小韦国庆小长假期间一共收入2454.1元． 【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算． 5．（2023秋•东坡区期末）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场．某盲盒专卖店，以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价单价和售出情况如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价单价相对于标准价格元 售出数量个 20 35 10 30 5 55 45 （1）第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 　六　；最高单价是 　　元． （2）第一周该店出售这批盲盒的收益如何？（盈利或亏损的总价） （3）为了做促销活动，该店决定从元旦前一周开始实行下列两种促销方式． 方式一：购买不超过20个盲盒，每个售价15元，超出20个的部分，每个打七折； 方式二：每个盲盒售价都是13元． 某学校七年级3班为准备元旦庆祝活动，决定一次性购买45个盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划算． 【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【解答】解：（1）卖出时每斤以15元为标准，表格中的数据表示超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负， 星期六超市售出的百香果单价为15元， 故答案为：六，15； （2） （元， （元， （元； 第一周该店出售这批盲盒盈利620元； （3）方式一： （元， 方式二：（元， ， 选择方式一购买更省钱． 【点评】本题考查了正负数的应用及有理数的混合运算．计算本题的关键是看懂图表了理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价． 易错点七：列代数式时理解错误（共3题） 1．（2023秋•阳谷县期末）已知是一个两位数，是一个一位数，若把置于的左边可以得到一个三位数，则这个三位数可表示成　　 A． B． C． D． 【分析】原来的最高位是个位，现在是百位，扩大了100倍，不变． 【解答】解：在百位上，故表示个100，本身是一个两位数，现在仍在个位和十位上，故三位数表示为． 故选：． 【点评】应理解用字母表示数的方法． 2．（2023秋•孟村县期末）某公司去年10月份的利润为万元，11月份比10月份减少，12月份比11月份增加了，则该公司12月份的利润为　　 A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【分析】先表示11月份利润为万元，则12月份利润为万元． 【解答】解：由题意得：12月份的利润为：万元， 故选：． 【点评】此题主要考查了列代数式的知识，属于变化率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般． 3．（2023秋•巨野县期末）用代数式表示 ①的平方的3倍与5的差 ②比的倒数与的倒数的和大1的数 ③，两数的平方和减去它们乘积的2倍 ④，两数的平方差除以，两数的和的平方． 【分析】①先表示的平方，再表示3倍，最后减5可得； ②分别表示出、的倒数，再求和，最后加1； ③先表示出、的平方和，再表示、乘积2倍，最后相减； ④表示出、的平方差，再表示出两数和的平方，最后相除． 【解答】解：①； ②； ③； ④． 【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系，列出代数式． 易错点八：列代数式时书写不规范（共3题） 1．（2023秋•盐田区期末）下列式子中，符合代数式书写的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据代数式的书写规则分别判断即可． 【解答】解：（A）该代数式的书写符合要求， 符合题意； （B）带分数应写成假分数的形式， 不符合题意； （C）除法运算要写成分数的形式， 不符合题意； （D）字母与字母相乘时，乘号一般要省略， 不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查代数式，掌握代数式的一般书写规则是本题的关键． 2．（2023秋•衡山县期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写错误，故此选项不符合题意； 、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意； 、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意； 、字母与字母相乘时，通常简写成“”或者省略不写，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 3．（2023秋•醴陵市期末）某校七年级有师生参加爱心捐款活动，其中有名教师，名学生，若平均每名教师捐元，每名学生捐元，则他们一共捐款 　 　元．（用含字母的代数式表示） 【分析】教师人数学生人数一共捐款的数量，由此可列出代数式． 【解答】解：根据题意得，他们一共捐款元． 故答案为：． 【点评】本题主要考查列代数式，弄清题中的量的关系是解题的关键． 易错点九：判断反比例关系时出错（共4题） 1．（2024秋•陵城区期中）下列图中，两个量和成反比例关系的是　　 A．线段总长为1 B．圆柱体积为1 C．三角形面积为1 D．长方体体积为1 【分析】先分别求出和的关系，再断． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例．掌握数学中的基本公式是解题的关键． 2．（2024秋•东城区校级期中）下列各种关系中，成反比例关系的是　　 A．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数 B．小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数 C．圆柱底面积一定，圆柱的体积与高 D．同学的年龄一定，他们的身高与体重 【分析】根据正比例和反比例的定义判断即可． 【解答】解：．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数不是成反比例关系，故本选项不符合题意； ．小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例关系，故本选项符合题意； ．圆柱底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系，故本选项不符合题意； ．同学的年龄一定，他们的身高与体重不是成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例的定义，掌握相关定义是解答本题的关键． 3．（2024秋•北京期中）下面说法错误的是　　 A．路程一定，时间与速度成反比例 B．如果，那么和成反比例 C．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例 D．分数值一定，分子和分母成正比例 【分析】依据题意，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由此对给出的选项逐一分析，做出判断． 【解答】解：．因为速度时间路程（一定），时间和速度的乘积一定，所以时间与速度成反比例．原题说法正确． ．因为，和的乘积一定，所以和成反比例．原题说法正确． ．因为工作总量工作时间工作效率（一定），工作总量和工作时间的比值一定，所以工作总量和工作时间成正比例．原题说法错误． ．分子分母分数值（一定），因为分子和分母的比值一定，所以分子和分母成正比例．原题说法正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 4．判断下列问题中两个变量是否成反比例，为什么？ （1）三角形的面积一定时，它的一条边长和这条边上的高； （2）存煤量一定时，平均每天的用煤量与可使用的天数； （3）货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量； （4）车辆所行驶的路程一定时，车轮的直径和车轮的旋转周数． 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）此问题中两个变量成反比例，当面积一定时，为常数），边长与这条边上的高成反比例； （2）此问题中两个变量成反比例，当存煤量一定时，为常数），平均每天的用煤量与可使用的天数成反比例； （3）此问题中两个变量成反比例，当货物的总价一定时，为常数），货物的单价与货物的数量成反比例； （4）此问题中两个变量成反比例，当车辆所行驶的路程一定时，由可知为常数），车轮的直径与车轮的旋转周数成反比例． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确记忆反比例函数的定义是解题关键． 易错点十：在求代数式的值时,忽略符号或括号导致错误（共4题） 1．（2022秋•翠屏区校级期中）当，，时，求代数式的值． 【分析】把、、的值代入代数式，计算即可． 【解答】解：当，，时， ． 【点评】本题考查了代数式求值的内容，注意代入时符号的正确处理． 2．（2023秋•孝昌县期末）已知，求代数式的值． 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出、的值，代入代数式求出代数式的值即可． 【解答】解：， ，， ，， 原式 ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查绝对值和平方的非负性以及整式的化简求值，解题关键是熟知绝对值和平方的非负性以及整式的混合运算法则． 3．（2023秋•内黄县期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 　 　； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【分析】（1）将原式进行合并即可； （2）将原式变形后代入数值计算即可； （3）将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：（1）原式， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 4．（2023秋•广阳区期末）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 组 17．代数式：的值为9．则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则　 　． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． （3）【拓展应用】若，，测代数式的值为 　　 ． 【分析】（1）先由可得，然后整体代入计算即可；正确对等式进行变形是解题的关键； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （3）先由、可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【解答】解：（1）由可得，则． 故答案为：1． （2）由可得，则． （3）由、可得、， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等式的性质、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 易错点十一：对整式的相关概念理解不透彻而出错（共6题） 1．（2023秋•昌黎县期末）关于单项式，下列说法中正确的是　　 A．系数是 B．次数是2 C．系数是 D．次数是3 【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出答案． 【解答】解：单项的系数和次数分别是：，3． 故选：． 【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题的关键． 2．（2023秋•苏州期末）下列式子，，，中，多项式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据多项式的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：下列式子，，，中，多项式有，，共有2个， 故选：． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． 3．（2023秋•江陵县期末）对于多项式，下列说法错误的是　　 A．它是二次三项式 B．各项分别是，，5 C．最高次项的系数是7 D．常数项是 【分析】根据多项式的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：、多项式是二次三项式，故不符合题意； 、多项式的各项分别是，，，故符合题意； 、多项式的最高次项的系数是7，故不符合题意； 、多项式的常数项是，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． 4．（2023秋•玄武区校级期末）单项式的系数是 　　，次数是 　　． 【分析】根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，可得答案． 【解答】解：单项式的系数为，次数是3， 故答案为：，3． 【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，字母指数和是单项式的次数． 5．（2023秋•北流市期末）多项式的次数是 　 　． 【分析】根据多项式的次数的定义解答即可． 【解答】解：多项式的次数是3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的次数的定义是解题的关键． 6．（2023秋•凉州区期末）单项式的系数是 　 　，次数是 　　，是 　　次多 项式． 【分析】根据多项式和单项式的意义，即可解答． 【解答】解：单项式的系数是，次数是5，是四次多项式， 故答案为：，5，四． 【点评】本题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式和单项式的意义是解题的关键． 易错点十二：利用整式的有关概念求字母的值时考虑不全面（共3题） 1．（2023秋•盘山县期末）如果多项式是三次四项式，常数项为，那么　　；　　． 【分析】根据多项式的意义可得，，然后进行计算即可解答． 【解答】解：多项式是三次四项式，常数项为， ，， ，， 故答案为：2，． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． 2．（2023秋•武功县期末）已知关于、的多项式是七次五项式，是五次项的系数，求，的值． 【分析】根据关于、的多项式是七次五项式得，由此可求出的值，进而再根据是五次项的系数求出的值即可． 【解答】解：关于、的多项式是七次五项式， ， 解得：， 又是五次项的系数， ． 【点评】此题主要考查了多项式的定义，熟练掌握多项式的定义，理解多项式的次数和项数是解决问题的关键． 3．（2023秋•汉阴县期末）已知关于，的多项式是六次四项式，常数项是2．求，的值． 【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出，是解题关键． 【解答】解：多项式是六次四项式，常数项是2， ，， 解得：． 【点评】本题主要考查了多项式与单项式的次数，利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出，是解题关键． 易错点十三：整式运算中常见的错误（共11题） 类型一：合并同类项时出错 1．（2023秋•凤阳县期末）计算：． 【分析】根据合并同类项“系数相加，字母及指数不变”，可得答案． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了合并同类项，利用合并同类项“系数相加，字母及指数不变”是解题关键． 2．（2023秋•华阴市期末）化简：． 【分析】根据合并同类项法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 3．（2023秋•港南区期末）合并同类项：． 【分析】根据合并同类项法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型二：去括号时符号出错或括号外的数漏乘括号里的项 4．（2023秋•文昌校级期末）化简： 【分析】首先去括号，去括号时括号前为符号，则去括号时括号内各项都应改变符号，然后合并同类项． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查化简代数式的方法，如“去括号、合并同类项”等． 5．（2023秋•兴庆区期末）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（2023秋•孝昌县期末）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 类型三：列式计算时忘带括号而出错 7．已知多项式与另一个多项式的和是，求另一个多项式． 【分析】根据加数和加数，列出代数式计算即可求解． 【解答】解： ， 另一个多项式为． 【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则是解题关键． 8．（2021秋•崖州区期中）已知关于，的多项式是四次三项式，按要求回答下列问题： （1）求的值； （2）该多项式与另一个多项式的和为，求另一个多项式． 【分析】（1）根据多项式是四次三项式可求得，的值，再将其代入所求式子即可解答； （2）根据加数和加数，列出代数式计算即可求解． 【解答】解：关于，的多项式是四次三项式， ，， ，， ； （2），，该多项式为， ， 另一个多项式为． 【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则是解题关键． 9．（2023秋•梅州期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式、，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【分析】（1）首先根据题意求得，然后计算即可； （2）先根据（1）中的值，求出，将含的项合并，并使的系数等于0，即可求出答案； 【解答】解：（1）由题意可得，， ， ； （2）， ， ， ， 的值与的取值无关， ， ． 【点评】本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（2023秋•沈丘县期末）已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． （1）求整式． （2）请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【分析】（1）依题意得，进而可求解； （2）和代入，利用去括号和合并同类项法则进行运算即可． 【解答】解：（1）依题意得： ， ． （2） ． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 11．（2023秋•息县校级期末）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是．已知． （1）请你帮助这位同学求出正确的结果； （2）若是最大的负整数，求的值． 【分析】（1）根据题意，然后进行计算求出，最后求出，即可解答； （2）由题意可知，然后代入（1）的结论进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： ， 所以， ； （2）由是最大的负整数，可知， 所以， ． 【点评】本题考查了有理数，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 易错点十四：化简求值时常见的错误（共3题） 1．（2023秋•新城区期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 2．（2023秋•常宁市期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先去括号，再合并同类项，进行化简，再求值即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 3．（2023秋•蒙自市期末）先化简再求值：，其中． 【分析】根据非负数的性质先求解，，再去括号，合并同类项，得到化简的结果，再代入计算即可． 【解答】解：， ，， 解得：，， ． 【点评】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． 易错点十五：对一元一次方程的概念理解不透彻而出错（共4题） 1．（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、中，未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； 、中，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 、中，含有分式，不是一元一次方程，不符合题意； 、是一元一次方程，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•成安县期末）已知是关于的一元一次方程，则　　 A． B． C． D． 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．所以，，解方程和不等式即可． 【解答】解：已知是关于的一元一次方程， 则， 解得：， 又系数不为0， ，则． 故选：． 【点评】解题的关键是根据一元一次方程的未知数的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解答． 3．（2023秋•东营区期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 　　． 【分析】直接利用一元一次方程的定义得出关于的方程求出答案． 【解答】解：是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握未知数的系数与次数是解题关键． 4．（2023秋•洛龙区期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值是　　． 【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【解答】解：因为方程是关于的一元一次方程， 所以，且 解得． 故答案为：0． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是理解一元一次方程的定义 易错点十六：运用等式的性质变形时出错（共4题） 1．（2023秋•长葛市期末）下列等式的变形中，正确的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【分析】根据等式的性质逐项排除． 【解答】解：、如果，那么，变形正确，故符合题意； 、如果，那么，原变形错误，故不符合题意； 、如果，且，那么，原变形错误，故不符合题意； 、如果，且，那么，原变形错误，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 2．（2023秋•广汉市期末）下列变形中，不正确的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【分析】根据等式的基本性质判断即可． 【解答】解：选项，等式两边都加3，所得结果仍是等式，故该选项不符合题意； 选项，， 等式两边都乘，所得结果仍是等式，故该选项不符合题意； 选项，等式两边都加得，故该选项符合题意； 选项，等式两边都乘0.5，所得结果仍是等式，故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了等式的基本性质，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 3．（2023秋•宝鸡期末）下列说法正确的是　　 A．等式两边同除以，得 B．等式两边同除以，得 C．等式两边同除以，得 D．等式两边同除以2，得 【分析】利用等式的性质判断即可． 【解答】解：等式两边同除以，得，当时，不成立，选项错误； 等式两边同除以，得，，选项正确； 等式两边同除以，得，错误，选项错误； 等式两边同除以2，得，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了等式的性质．做题关键是掌握等式的性质． 易错点十七：解一元一次方程时出错（共4题） 1．（2023秋•蒙自市期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 2．（2023秋•花山区校级期末）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）方程移项合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）， 方程可变形为， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：． 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握．解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为为常数）的形式． 3．（2023秋•长葛市期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） （1）任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是 　 　． ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　． （2）任务二：请直接写出该方程的解． （3）任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【分析】（1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号． 【解答】解：（1）①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第二步开始出现错误， 原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 4．（2024秋•富川县期中）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是　 　； ②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：　　； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 【分析】任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果； 任务二：答案不唯一，建议只要合理即可； 任务三：根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解答】解：任务一：①第一步的变形依据是等式的性质． ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号． 故答案为：等式的性质；三；移项没有变号； 任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等． 故答案为：去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯； 任务三：解方程：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【点评】此题考查了解一元一次方程，等式的性质，同类项，掌握解一元一次方程的一般步骤是关键． 易错点十八：列一元一次方程解决实际问题时常见的错误（共9题） 类型一：单位不统一 1．（2023秋•邻水县期末）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长 　 　米． 【分析】根据“火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒”列方程求解． 【解答】解：设火车长米，列车的速度为千米秒，1米千米， 则：， 解得：， 故答案为：265． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 2．（2023秋•邹平市期末）某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒，如果队伍长135米，那么火车长 　 　米． 【分析】根据“火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒”列方程求解． 【解答】解：设火车长米，列车的速度为千米秒，1米千米， 则：， 解得：， 即火车的长度为280米． 故答案为：280． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 3．甲、乙两人都从地到地，甲步行每小时走4千米，甲比乙先出发1.5小时，乙骑自行车用了50分钟，两人同时到达目的地，求乙骑自行车每小时骑行多少千米？ 【分析】设乙每小时骑千米．乙行驶的路程是，甲行驶的路程是，再根据路程相等，构建方程求解即可． 【解答】解：设乙每小时骑千米． 根据题意，得， 解得． 答：乙每小时骑11.2千米． 【点评】本题一元一次方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，构建方程解决问题． 类型二：考虑不全面导致漏解 4．（2021秋•南岗区期末）甲乙两人跑步，从同一地点出发，沿直线同向而行，甲每小时跑，乙每小时跑，乙先跑10分钟，甲再开始跑步，甲出发 　 　分钟后，两人相距． 【分析】设甲出发分钟后，两人相距，则此时乙出发分钟．分甲在乙的后面及甲在乙的前面两种情况考虑，利用路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【解答】解：设甲出发分钟后，两人相距，则此时乙出发分钟． 当甲在乙的前面时，， 解得：； 当甲在乙的后面时，， 解得：． 故答案为：10或70． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•深圳期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的、两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　 　后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 　　，时针每分钟转过的角度为 　　； （2）时，时针与分针所成的角度 　　； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【分析】问题一：设 后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【解答】解：问题一：设 后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． 两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， 钟面一共有12个大格， 每转动一个大格，时针转动角度为． 时，时针转动角度为， 故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成角． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角，主要利用了相遇问题等量关系，追及问题等量关系，熟练掌握行程问题的等量关系是解题的关键，难点在于分类讨论． 6．（2022秋•乌兰浩特市校级期中）、两地相距，甲、乙两人分别从、两地出发，甲的速度是，乙的速度是． （1）若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发后几小时与甲相遇？ （2）若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，多少小时两人相距4千米？ 【分析】（1）设需经过小时两人相遇，根据甲先行，两人走的总路程为，列方程求解； （2）设需经过小时两人相距4千米，根据两人走的路程差为，列方程求解． 【解答】解：（1）设甲出发小时后相遇，依题意有， ， 解得． ， 答：乙出发小时后相遇． （2）设经过小时两人相距4千米，依题意有， 相遇前：， 解得． 相遇后：， 解得， 答：经过8小时或12小时两人相距4千米． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了比较复杂行程问题，既有相遇问题，也有追及问题．解题的关键是读懂题意，正确把握已知条件，准确列出方程解决问题． 7．（2021秋•南岗区校级月考）元旦将至，家乐福超市推出如下优惠方案： ①一次性购物不超过100元不享受优惠； ②一次性购物超过100元但不超过300元，一律九折； ③一次性购物超过300元，一律八折； 小丽先后两次到该超市购物，分别付款80元和252元． （1）他这两次购物的原价分别是多少？ （2）如果他一次性购买这些物品，应付多少元？ 【分析】（1）根据两次购物的付款金额及超市给出的优惠方案，可找出第一次购物的原价为80元，第二次购物的原价超过100元但不超过300元或者超过300元，设第二次购物的原价为元，分和两种情况考虑，由第二次的付款金额为252元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）根据（1）得出的结论，分两种情况算出他一次性购买这些物品的原价，再根据超市推出的优惠方案列出算式即可求解． 【解答】解：（1）（元，， 第一次购物的原价为80元， （元，（元，， 第二次购物的原价超过100元但不超过300元或者超过300元， 设第二次购物的原价为元， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 他第一次购物的原价为80元，第二次购物的原价为280元或315元； （2）由（1）知，第一次购物的原价为80元， 当第二次购物的原价为280元， 则他一次性购买这些物品的原价为（元， ， 他应付（元， 当第二次购物的原价为315元， 则他一次性购买这些物品的原价为（元， ， 他应付（元， 综上，如果他一次性购买这些物品，应付288元或316元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、百分数的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 类型三：一元一次方程的解不符合生活实际 8．（2022秋•东明县期末）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹出票款7160元，且每张成人票8元，学生票5元． （1）问成人票与学生票各售出多少张？ （2）若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？ 【分析】（1）根据成人票数量成人每张单价成人票数量）学生每张单价筹出票款； （2）根据成人票数量成人每张单价成人票数量）学生每张单价筹出票款，若求出票数为整数，则可以，否则就不行． 【解答】（1）解：设成人票张，则学生票就是张， 根据题意列方程得： ， 解得：张． 张． 故成人票720张，学生票280张． （2）解：设成人票张，则学生票就是张， 根据题意列方程得： ， 解得：． 票都是整张卖的，所以不可能． 【点评】主要考查一元一次方程的应用．关键是找出题中的等量关系，列出方程求解． 9．（2020秋•龙湖区期末）一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长为的竹篱笆，小林打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多；小陈也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多． （1）你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由； （2）在（1）的条件下，按照设计鸡场面积是 　 　．（直接在横线填上答案） 【分析】（1）根据小林的设计，可以设宽为米，则长为米，小陈的设计可以设宽为米，长为米，由：宽长，需注意长不能超过墙长14米，列出方程，即可求解； （2）由长方形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）小陈的设计符合题意，理由如下： 根据小林的设计，可以设宽为米，则长为米， 根据题意得：， 解得：． 因此小林设计的长为（米，而墙的长度只有14米，小林的设计不符合实际的． 根据小陈的设计可以设宽为米，长为米， 根据题意得， 解得：． 因此小陈设计的长为（米， 小陈的设计符合题意； （2）鸡场的面积为（平方米）， 故答案为143． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系，列出方程是解题的关键． 易错点十九：由展开图还原立体图形出错（共3题） 1．（2023秋•怀仁市期末）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可． 【解答】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故，，均不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面． 2．（2023秋•兴义市校级期末）将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是　　 A． B． C． D． 【分析】立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 【解答】解：观察图形可知， 将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的选项． 故选：． 【点评】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 3．（2023秋•岚山区期末）小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，与其它三个大小一样的正方体空盒子混子一起，根据观察，礼物所在的盒子是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“画有对角线的面”的对面是“较小正方形阴影的面”，故选项、、不符合题意； 根据观察，礼物所在的盒子是． 故选：． 【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 易错点二十：对几何图形中有关概念理解不透彻（共4题） 1．（2023秋•枣阳市期末）下列说法中正确的是　　 A．延长线段和延长线段的含义是相同的 B．延长直线 C．射线和射线是同一条射线 D．直线和直线是同一条直线 【分析】根据直线、射线、线段的表示方法、直线的公理、以及是否可以延长，可进行判断． 【解答】解：．延长线段是按照从到的方向延长的，而延长线段是按照从到的方向延长的，意义不相同，故此选项错误； ．直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误； ．射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线和射线不是同一条射线，此选项错误； ．直线和直线是同一条直线，正确，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握有关直线、射线、线段的表示方法、公理等知 2．（2023秋•南昌期末）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是　　 A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【分析】根据两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，逐项判断即可． 【解答】解：点在线段的延长线上， 选项不符合题意； 点在线段的反向延长线上， 选项不符合题意； 射线与射线是两条射线， 选项不符合题意； ， 选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，要熟练掌握． 3．（2023秋•新乐市期末）下列说法正确的有　　 ①如果是正数，那么一定是负数； ②若与互为倒数，则； ③射线和射线表示的是同一条射线； ④连接两点之间的线段，叫做两点间的距离； ⑤角的大小与两条边的长短无关． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正负数的意义可对①进行判断；根据倒数的性质可对②进行判断；根据射线的定义可对③进行判断；根据两点间距离的定义可对④进行判断；根据角的定义可对⑤进行判断，综上所述可得出答案． 【解答】解：如果是正数，那么一定是负数，故①正确； 若与互为倒数，则，故②不正确； 射线和射线表示的两条不同的射线，故③不正确； 连接两点之间的线段的长度，叫做两点间的距离，故④不正确； 根据角的定义可知：角的大小与两条边的长短无关，故⑤正确． 综上所述：正确的是①⑤，共2个． 故选：． 【点评】此题主要考查了正负数，倒数，射线，两点之间的距离，角的定义等，理解正负数的意义，熟练掌握倒数的性质，射线，两点之间的距离及角的定义是解决问问题的关键． 4．（2023秋•柘城县期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①； ②； ③与互为余角； ④与互为补角． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④ 【分析】根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：①，故①正确； ②，， ， 故②不正确； ③， 与互为余角， 故③正确； ④，， ， 与互为补角， 故④正确； 所以，上述结论中，所有正确结论的序号是①③④， 故选：． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 易错点二十一：角度换算错误（共4题） 1．（2023秋•沂南县期末）若，则用度、分、秒表示为　　 A． B． C． D． 【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了度分秒的换算，掌握，是关键． 2．（2023秋•云岩区期末）小明在学习基本平面图形中角的知识后，学会了角的度量单位：度、分、秒的换算．课后小明仿照例题给同学们出了一道填空题，计算：0.2°＝____′＝____″，以下四名同学的答案正确的是　　 A．12，72 B．12，720 C．20，200 D．2，20 【分析】根据度分秒之间的进率计算即可． 【解答】解：， ， 则答案为12，720， 故选：． 【点评】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 3．（2023秋•江陵县期末）比较大小：　 　．（填“”“ ”或“” 【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，掌握将角的度数换算成度分秒的形式是关键． 4．（2023秋•慈利县期末）计算：　 　． 【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【解答】解： ． 故答案为：110.5． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 易错点二十二：几何图形中没有分类讨论导致漏解（共5题） 1．（2022秋•文山州期末）已知一条射线，如果从点再引两条射线和，使，，的度数是 　 ． 【分析】因为射线的位置不明确，所以分①射线在的外部，②射线在的内部两种情况进行讨论求解． 【解答】解：①如图1，射线在的外部时， ，， ； ②射线在的内部时， ，， ． 综上所示，的度数为：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了角的计算，注意要分情况讨论，避免漏解而导致出错． 2．（2023秋•田阳区期末）画一条射线，如果从点再引两条射线和，使，．请你用三角板画出图形．并求的度数． 【分析】因为射线的位置不明确，所以分①射线在的外部，②射线在的内部两种情况进行讨论求解． 【解答】解：①如图1，射线在的外部时， ，， ； ②如图2，射线在的内部时， ，， ． 综上所示，的度数为：或． 【点评】本题考查了角的计算，注意要分情况讨论，避免漏解而导致出错． 3．（2023秋•上蔡县校级期末）已知：如图，是的平分线． （1）当时，求的度数； （2）在（1）的条件下，，请在图中补全图形，并求的度数； （3）当时，，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【分析】（1）直接由角平分线的意义得出答案即可； （2）分两种情况：在的上面，在的下面，利用角的和与差的关系求得答案即可； （3）类比（2）中的答案得出结论即可． 【解答】解：（1）是的平分线， ， ， ． （2）， ， 如图1， ． 如图2， ． （3）或． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握概念并确定图中各角度之间的关系是解题的关键 4．（2023秋•丰台区期末）已知，作射线，，射线，分别是，的平分线． （1）当射线在的内部时， ①如图1，若，则的度数为 　 　； ②如图2，若，补全图形，并求的度数（用含的式子表示）． （2）当射线在的外部时，直接写出的度数（用含的式子表示）． 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：（1）①如图1，若，则的度数为 　　； ②在图2中补全图形． 因为是的平分线，且， 所以 　　（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以　　． 所以　　． （2）当射线在的外部时，的度数为 　　． 【分析】（1）①利用角平分线的定义解答即可； ②利用角平分线的定义和角的和差运算解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答： 【解答】解：（1）①如图1，若，则的度数为； ②在图2中补全图形． 因为是的平分线，且， 所以（角平分线的定义）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以． 所以． 故答案为：角的平分线定义：；； （2）①当在的下方时， 因为是的平分线，且， 所以， 因为是的平分线，且， 所以． 所以； ②当在的下方时， 因为是的平分线，且， 所以， 因为是的平分线，且， 所以． 所以． 综上，当射线在的外部时，的度数为：或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 5．（2023秋•桂林期末）综合与探究 【提出问题】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，请作一个，使与互余，即． 【动手操作】小明是这样思考的：如图2所示，若射线在的内部，则，所以射线在的外部；然后通过构造直角，找到的余角，如图3所示；进而分析要使与互余，只需． 因此，小明找到了解决问题的方法：过点作射线的垂线，利用量角器作出的平分线，这样就得到与互余．请你帮助小明完成下列推理说明： （1）已知：如图3，，射线平分．请说明与互余． 解：理由：因为射线平分（已知）， 所以　 　（角平分线的定义）． 由于，即　　， 所以 　　． 即与互余． （2）【类比操作】如图4，若，参考小明的画法，请在图4中作出一个，使与互补，并直接写出的度数． （3）【拓展延伸】如图5，已知，若与互补，射线平分，射线平分．请根据题意，补全图形，并求的度数． 【分析】（1）根据作图和角平分线的定义即可解决问题； （2）结合（1）的方法作图，然后利用平角定义和角平分线的定义即可解决问题； （3）分两种情况画图即可解决问题． 【解答】（1）解：理由：因为射线平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 由于，即， 所以（等量代换）． 即与互余． 故答案为：，90，等量代换； （2）如图4，延长到，作的角平分线，则即为所求作． ， ， 平分， ， ． （3）如图5，图6，即为补全的图形， 与互补， ， 射线平分，射线平分， 图5中：， ． 图6中：， ， 综上所述：或． 【点评】本题考查作图应用与设计，角平分线的定义，余角和补角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． $$期末易混易错题（考题猜想，22种易错热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错点一：对有理数的相关概念理解有误而出错（共4题） 1．（2023春•普陀区期末）下列说法正确的是　　 A．有理数分为正有理数和负有理数 B．符号相反的两个数叫做互为相反数 C．0没有倒数，也没有相反数 D．绝对值等于本身的数是正数和零 2．（2023秋•平顶山期末）下列说法中，正确的是　　 A．所有的有理数都能用数轴上的点表示 B．有理数分为正数和负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两数相加和一定大于任何一个加数 3．（2023秋•钱塘区期末）下列说法正确的是　　 A．相反数等于本身的数只有0 B．一个数的绝对值一定是正数 C．绝对值最小的整数是1 D．符号不同的两个数互为相反数 4．（2023秋•广陵区期末）下列表述中，正确的个数是　　 ①存在绝对值最小的数；②任何数都有相反数；③绝对值等于本身的数是正数；④0是最小的有理数；⑤绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点二:对正数和负数的认识出错（共4题） 1．（2023秋•东丰县期末）下列各数：3，0，，0.48，，，中，负数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•东辽县期末）在有理数，0，，，3.7，中，非负数的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023秋•惠民县期中）若是有理数，则下列说法正确的是　　 A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 4．（2021秋•温江区校级月考）成本提高的实际意义是 　 　． 易错点三：数轴与绝对值中常见的漏解错误（共13题） 类型一：数轴上点的位置不确定而漏解 1．（2023秋•谷城县期末）【背景知识】数轴上点、点表示的数为、，则、两点之间的距离；若，则；若，则．若是中点，则与、之间距离相等． 【问题情境】如图，已知、、是数轴上三点，点为原点，点表示的数为6，，． （1）写出数轴上点、表示的数； （2）动点、分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动．点的速度是每秒6个单位长度，点的速度是每秒3个单位长度，点为的中点，点在线段上，且，设运动时间为秒． ①求数轴上点、表示的数（用含的式子表示）； ②当、、三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求的值． 2．（2023秋•东莞市校级期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，、满足，点是数轴原点． （1）点表示的数为 　　，点表示的数为 　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 　　表示的点重合； （3）点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在线段上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 　　； （4）若点以的速度向左移动，2秒后，点以的速度向右移动，则出发几秒后，、两点相距1个单位长度？ 3．（2023秋•鹤城区校级期末）先阅读材料：如图（1），在数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6． （1）若数轴上有一点，且，则点表示的数为 　 　． （2）若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．则点表示的数是 　　，　　（用含的式子表示）． （3）请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． （4）若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？ 4．（2023秋•九龙坡区期末）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，、之间的距离记为，定义：或，请回答问题： （1）设点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，若，则　　； （2）设数轴上点对应的数为，且，求的值； （3）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，点表示的数是9．现甲从点出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点出发，以每秒4个单位长度的速度向点运动，当乙到达点时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动．问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？ 5．（2023秋•滨城区期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点、点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、8，点以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒4个单位向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）运动开始前，线段的中点所表示的数为 　　；点运动秒后所在位置的点表示的数为 　　；点运动秒后所在位置的点表示的数为 　　．（用含的式子表示） （2）若、两点按上述方式运动，线段的中点能否与表示的点重合？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． （3）若、两点按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距3个单位长度？ 6．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段的中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 7．（2022秋•鲤城区校级期末）如图，数轴上点、对应的数分别为、，且、满足．，点对应的数为， （1）求、的值； （2）点，沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为2个单位长度秒，点速度为1个单位长度秒，若运动时间为秒，运动过程中，当，两点到原点的距离相等时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点运动到点处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点运动至点处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点运动，当点停止运动时，点随之停止运动，在此运动过程中，，两点同时到达的点在数轴上表示的数是 　 ．（说明：直接在横线上写出答案，答案不唯一，不解、错解均不得分，少解、漏解酌情给分） 类型二：数的正负性不确定而漏解 1．（2022秋•肃州区校级期末）在数轴上与表示数的点的距离等于2的点表示的数是　　 A．1 B． C．或 D．或5 2．（2023秋•松北区期末）若，则的值为　 ． 3．（2022秋•西宁期末）阅读材料 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示： 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为． 如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题 （1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离为 　5　； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 　　； 拓展探究 （3）如图2，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为． ①若点在，两点之间，则　　； ②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，直接写出点表示的数． 4．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，则　　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，且，求的值． 5．（2022秋•西安期末）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若，则　 　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到2和所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 6．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 易错点四：有理数运算中的常见错误（共11题） 类型一：运算顺序不正确而出错 1．（2023秋•济南期末）计算：． 2.脱式计算，能简算的要简算．； 类型二：运算律使用错误而出错 3．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 4．（成安县期末）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： 5．（鄂托克旗期末）小华在课外书中看到这样一道题： 计算：． 她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题 （1）前后两部分之间存在着什么关系？ （2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． （3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果． （4）根据以上分析，求出原式的结果． 类型三：运用分配律时因漏乘而出错 6.用简便方法计算： (1) (2) 7．（2023秋•泸县校级期末）计算： 类型四：拆分造成的符号错误 8．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 9.计算：． 类型五：乘方中对不同位置的负号的含义理解出错 10．（2023秋•徐闻县期末）计算：． 11．（2023秋•永州期末）计算：． 易错点五：有理数运算中未分类讨论而漏解（共3题） 1．（2024秋•九龙坡区期中）已知，，且，则的值为　　 A． B． C．或 D．2或12 2．（2024秋•达川区校级期中）已知，，，则的值为　　 A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 3．（2024秋•德州期中）计算： （1）已知，求的值； （2）若、互为倒数，、互为相反数，．求的值： 易错点六：建立有理数运算模型解决实际问题时理解题意出错（共5题） 1．（2023秋•龙山区期末）下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 2．（2022春•博山区期末）一个病人每天需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160个单位． “”表示收缩压比前一天上升，“”表示收缩压比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 收缩压的变化个单位 （1）请算出星期五该病人的收缩压（要求先列式后计算）． （2）以上个星期日的收缩压为0点，请把下面的折线统计图补充完整． （3）若收缩压大于或等于180个单位为重度高血压，该病人本周哪几天的血压属于这个范围？ 3．（2021秋•江陵县期末）股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格上涨，负数表示价格下跌，单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 （1）星期三结束时，该股票每股多少元？ （2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？ （3）已知王先生买进该股票时付了的手续费，卖出股票时须支付的手续费和的交易税，若他在星期五结束时将股票全部卖出，则他的收益情况如何？（注股票市场周末不交易） 4．（2023秋•江陵县期末）随着科学技术的发展，信息化、网络化时代的到来，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的小韦把自己家的红薯产品也放到网上，他原来计划每天卖出150千克，由于各种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是国庆小长假期间的销售情况（超出部分记为正，不足记为负，单位：千克） 时间 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 与计划量的差值 （1）根据上表前四天一共卖出了多少千克？ （2）销售量最多的一天与最少的一天分别是多少千克？ （3）若每千克按2.6元出售，并需付运费平均每千克0.3元，则小韦国庆小长假期间一共收入多少钱？ 5．（2023秋•东坡区期末）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场．某盲盒专卖店，以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价单价和售出情况如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价单价相对于标准价格元 售出数量个 20 35 10 30 5 55 45 （1）第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 　　；最高单价是 　　元． （2）第一周该店出售这批盲盒的收益如何？（盈利或亏损的总价） （3）为了做促销活动，该店决定从元旦前一周开始实行下列两种促销方式． 方式一：购买不超过20个盲盒，每个售价15元，超出20个的部分，每个打七折； 方式二：每个盲盒售价都是13元． 某学校七年级3班为准备元旦庆祝活动，决定一次性购买45个盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划算． 易错点七：列代数式时理解错误（共3题） 1．（2023秋•阳谷县期末）已知是一个两位数，是一个一位数，若把置于的左边可以得到一个三位数，则这个三位数可表示成　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•孟村县期末）某公司去年10月份的利润为万元，11月份比10月份减少，12月份比11月份增加了，则该公司12月份的利润为　　 A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．（2023秋•巨野县期末）用代数式表示 ①的平方的3倍与5的差 ②比的倒数与的倒数的和大1的数 ③，两数的平方和减去它们乘积的2倍 ④，两数的平方差除以，两数的和的平方． 易错点八：列代数式时书写不规范（共3题） 1．（2023秋•盐田区期末）下列式子中，符合代数式书写的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•衡山县期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•醴陵市期末）某校七年级有师生参加爱心捐款活动，其中有名教师，名学生，若平均每名教师捐元，每名学生捐元，则他们一共捐款 　 　元．（用含字母的代数式表示） 易错点九：判断反比例关系时出错（共4题） 1．（2024秋•陵城区期中）下列图中，两个量和成反比例关系的是　　 A．线段总长为1 B．圆柱体积为1 C．三角形面积为1 D．长方体体积为1 2．（2024秋•东城区校级期中）下列各种关系中，成反比例关系的是　　 A．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数 B．小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数 C．圆柱底面积一定，圆柱的体积与高 D．同学的年龄一定，他们的身高与体重 3．（2024秋•北京期中）下面说法错误的是　　 A．路程一定，时间与速度成反比例 B．如果，那么和成反比例 C．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例 D．分数值一定，分子和分母成正比例 4．判断下列问题中两个变量是否成反比例，为什么？ （1）三角形的面积一定时，它的一条边长和这条边上的高； （2）存煤量一定时，平均每天的用煤量与可使用的天数； （3）货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量； （4）车辆所行驶的路程一定时，车轮的直径和车轮的旋转周数． 易错点十：在求代数式的值时,忽略符号或括号导致错误（共4题） 1．（2022秋•翠屏区校级期中）当，，时，求代数式的值． 2．（2023秋•孝昌县期末）已知，求代数式的值． 3．（2023秋•内黄县期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 　 　； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 4．（2023秋•广阳区期末）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 组 17．代数式：的值为9．则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则　 　． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． （3）【拓展应用】若，，测代数式的值为 　　 ． 易错点十一：对整式的相关概念理解不透彻而出错（共6题） 1．（2023秋•昌黎县期末）关于单项式，下列说法中正确的是　　 A．系数是 B．次数是2 C．系数是 D．次数是3 2．（2023秋•苏州期末）下列式子，，，中，多项式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•江陵县期末）对于多项式，下列说法错误的是　　 A．它是二次三项式 B．各项分别是，，5 C．最高次项的系数是7 D．常数项是 4．（2023秋•玄武区校级期末）单项式的系数是 　　，次数是 　　． 5．（2023秋•北流市期末）多项式的次数是 　 　． 6．（2023秋•凉州区期末）单项式的系数是 　 　，次数是 　　，是 　　次多 项式． 易错点十二：利用整式的有关概念求字母的值时考虑不全面（共3题） 1．（2023秋•盘山县期末）如果多项式是三次四项式，常数项为，那么　　；　　． 2．（2023秋•武功县期末）已知关于、的多项式是七次五项式，是五次项的系数，求，的值． 3．（2023秋•汉阴县期末）已知关于，的多项式是六次四项式，常数项是2．求，的值． 易错点十三：整式运算中常见的错误（共11题） 类型一：合并同类项时出错 1．（2023秋•凤阳县期末）计算：． 2．（2023秋•华阴市期末）化简：． 3．（2023秋•港南区期末）合并同类项：． 类型二：去括号时符号出错或括号外的数漏乘括号里的项 4．（2023秋•文昌校级期末）化简： 5．（2023秋•兴庆区期末）化简： （1）； （2）． 6．（2023秋•孝昌县期末）化简： （1）； （2）． 类型三：列式计算时忘带括号而出错 7．已知多项式与另一个多项式的和是，求另一个多项式． 8．（2021秋•崖州区期中）已知关于，的多项式是四次三项式，按要求回答下列问题： （1）求的值； （2）该多项式与另一个多项式的和为，求另一个多项式． 9．（2023秋•梅州期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式、，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）若的值与的取值无关，求的值． 10．（2023秋•沈丘县期末）已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． （1）求整式． （2）请你帮助小聪同学求出正确的结果． 11．（2023秋•息县校级期末）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是．已知． （1）请你帮助这位同学求出正确的结果； （2）若是最大的负整数，求的值． 易错点十四：化简求值时常见的错误（共3题） 1．（2023秋•新城区期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（2023秋•常宁市期末）先化简，再求值：，其中，． 3．（2023秋•蒙自市期末）先化简再求值：，其中． 易错点十五：对一元一次方程的概念理解不透彻而出错（共4题） 1．（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•成安县期末）已知是关于的一元一次方程，则　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•东营区期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 　　． 4．（2023秋•洛龙区期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值是　　． 易错点十六：运用等式的性质变形时出错（共4题） 1．（2023秋•长葛市期末）下列等式的变形中，正确的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（2023秋•广汉市期末）下列变形中，不正确的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（2023秋•宝鸡期末）下列说法正确的是　　 A．等式两边同除以，得 B．等式两边同除以，得 C．等式两边同除以，得 D．等式两边同除以2，得 易错点十七：解一元一次方程时出错（共4题） 1．（2023秋•蒙自市期末）解方程： （1）； （2）． 2．（2023秋•花山区校级期末）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．（2023秋•长葛市期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） （1）任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是 　 　． ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　． （2）任务二：请直接写出该方程的解． （3）任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 4．（2024秋•富川县期中）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是　 　； ②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：　　； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 易错点十八：列一元一次方程解决实际问题时常见的错误（共9题） 类型一：单位不统一 1．（2023秋•邻水县期末）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长 　 　米． 2．（2023秋•邹平市期末）某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒，如果队伍长135米，那么火车长 　 　米． 3．甲、乙两人都从地到地，甲步行每小时走4千米，甲比乙先出发1.5小时，乙骑自行车用了50分钟，两人同时到达目的地，求乙骑自行车每小时骑行多少千米？ 类型二：考虑不全面导致漏解 4．（2021秋•南岗区期末）甲乙两人跑步，从同一地点出发，沿直线同向而行，甲每小时跑，乙每小时跑，乙先跑10分钟，甲再开始跑步，甲出发 　 　分钟后，两人相距． 5．（2023秋•深圳期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的、两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　 　后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 　　，时针每分钟转过的角度为 　　； （2）时，时针与分针所成的角度 　　； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 6．（2022秋•乌兰浩特市校级期中）、两地相距，甲、乙两人分别从、两地出发，甲的速度是，乙的速度是． （1）若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发后几小时与甲相遇？ （2）若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，多少小时两人相距4千米？ 7．（2021秋•南岗区校级月考）元旦将至，家乐福超市推出如下优惠方案： ①一次性购物不超过100元不享受优惠； ②一次性购物超过100元但不超过300元，一律九折； ③一次性购物超过300元，一律八折； 小丽先后两次到该超市购物，分别付款80元和252元． （1）他这两次购物的原价分别是多少？ （2）如果他一次性购买这些物品，应付多少元？ 类型三：一元一次方程的解不符合生活实际 8．（2022秋•东明县期末）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹出票款7160元，且每张成人票8元，学生票5元． （1）问成人票与学生票各售出多少张？ （2）若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？ 9．（2020秋•龙湖区期末）一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长为的竹篱笆，小林打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多；小陈也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多． （1）你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由； （2）在（1）的条件下，按照设计鸡场面积是 　 　．（直接在横线填上答案） 易错点十九：由展开图还原立体图形出错（共3题） 1．（2023秋•怀仁市期末）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•兴义市校级期末）将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•岚山区期末）小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，与其它三个大小一样的正方体空盒子混子一起，根据观察，礼物所在的盒子是　　 A． B． C． D． 易错点二十：对几何图形中有关概念理解不透彻（共4题） 1．（2023秋•枣阳市期末）下列说法中正确的是　　 A．延长线段和延长线段的含义是相同的 B．延长直线 C．射线和射线是同一条射线 D．直线和直线是同一条直线 2．（2023秋•南昌期末）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是　　 A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 3．（2023秋•新乐市期末）下列说法正确的有　　 ①如果是正数，那么一定是负数； ②若与互为倒数，则； ③射线和射线表示的是同一条射线； ④连接两点之间的线段，叫做两点间的距离； ⑤角的大小与两条边的长短无关． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋•柘城县期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①； ②； ③与互为余角； ④与互为补角． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④ 易错点二十一：角度换算错误（共4题） 1．（2023秋•沂南县期末）若，则用度、分、秒表示为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•云岩区期末）小明在学习基本平面图形中角的知识后，学会了角的度量单位：度、分、秒的换算．课后小明仿照例题给同学们出了一道填空题，计算：0.2°＝____′＝____″，以下四名同学的答案正确的是　　 A．12，72 B．12，720 C．20，200 D．2，20 3．（2023秋•江陵县期末）比较大小：　 　．（填“”“ ”或“” 4．（2023秋•慈利县期末）计算：　 　． 易错点二十二：几何图形中没有分类讨论导致漏解（共5题） 1．（2022秋•文山州期末）已知一条射线，如果从点再引两条射线和，使，，的度数是 　 ． 2．（2023秋•田阳区期末）画一条射线，如果从点再引两条射线和，使，．请你用三角板画出图形．并求的度数． 3．（2023秋•上蔡县校级期末）已知：如图，是的平分线． （1）当时，求的度数； （2）在（1）的条件下，，请在图中补全图形，并求的度数； （3）当时，，直接写出的度数．（用含的式子表示） 4．（2023秋•丰台区期末）已知，作射线，，射线，分别是，的平分线． （1）当射线在的内部时， ①如图1，若，则的度数为 　 　； ②如图2，若，补全图形，并求的度数（用含的式子表示）． （2）当射线在的外部时，直接写出的度数（用含的式子表示）． 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：（1）①如图1，若，则的度数为 　　； ②在图2中补全图形． 因为是的平分线，且， 所以 　　（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以　　． 所以　　． （2）当射线在的外部时，的度数为 　　． 5．（2023秋•桂林期末）综合与探究 【提出问题】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，请作一个，使与互余，即． 【动手操作】小明是这样思考的：如图2所示，若射线在的内部，则，所以射线在的外部；然后通过构造直角，找到的余角，如图3所示；进而分析要使与互余，只需． 因此，小明找到了解决问题的方法：过点作射线的垂线，利用量角器作出的平分线，这样就得到与互余．请你帮助小明完成下列推理说明： （1）已知：如图3，，射线平分．请说明与互余． 解：理由：因为射线平分（已知）， 所以　 　（角平分线的定义）． 由于，即　　， 所以 　　． 即与互余． （2）【类比操作】如图4，若，参考小明的画法，请在图4中作出一个，使与互补，并直接写出的度数． （3）【拓展延伸】如图5，已知，若与互补，射线平分，射线平分．请根据题意，补全图形，并求的度数． $$