5.1.2弧度制四维限时练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2弧度制--四维限时练--解析版 1、 单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．角的弧度数为 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误. 故选：B． 2.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的（    ） A．3倍 B． C．2倍 D． 【答案】A 【分析】由弧长比半径等于圆心角的弧度数求解即可； 【详解】设圆原来的半径为r，弧长为l，则圆心角的弧度数为， 将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为，即弧度数变为原来的3倍． 故选：A. 3．“”是“的终边落在第一象限或落在第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时满足，但是的终边落在轴的正半轴，则充分性不成立； 当时，的终边落在第一象限，则必要性不成立． 综上，“”是“的终边落在第一象限或落在第四象限”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 4．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 5．一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】由弧长公式直接计算. 【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–， ∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）． 故选：C． 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2、 多选题 7.将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 8.下列说法正确的是（    ） A．的角是一个锐角 B．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 C．将时钟拨快分钟，则分钟转过的角度是 D．终边经过点的角的集合是 【答案】BD 【分析】根据弧度和角度之间的换算关系判断A；根据终边相同的角的表示判断B；根据任意角的概念判断C；根据角的范围判断D项. 【详解】A项，，是钝角，A错误； B项，设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为 ，且弦，可得，，扇形的面积为，B正确； C项，时钟拨快分钟，则分钟转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为，C错误； D项，当时，角终边为射线，该角的集合为， 当时，角终边为射线，该角的集合为， 所以所求角的集合为，D正确． 故选：BD． 3、 填空题 9．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为________________. 【答案】 【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出对应的“古典正弦”值. 【详解】设 由圆心角对应弧长，由，得圆心角弧度数绝对值为2. 则,所以 10.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为______________.    【答案】3 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    4、 解答题 11.已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1)，最小值为； (2)，最大值为． 【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解. （2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解. 【详解】（1）， 则． 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立． 此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 12.已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】(1) (2)时，面积最大 (3)cm2. 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 【详解】（1）由，则扇形的弧长(cm). （2）由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. （3）设弓形面积为，由，得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.2弧度制--四维限时练--原卷版 (考察范围： 弧度制定义，两种制度的转化，弧长公式，扇形面积有关问题 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） ①定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制. ②公式 角的弧度数公式 角度与弧度的换算 （1）1°=rad ≈0.01745rad. （2）1 rad=° ≈57.30°=57018′ 弧长公式 l=（R是圆的半径，为圆心角） 扇形面积公式 S== （R是圆的半径，为圆心角） ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的学习效果） 1、 单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．角的弧度数为 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的（    ） A．3倍 B． C．2倍 D． 3．“”是“的终边落在第一象限或落在第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 5．一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 7.将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 8.下列说法正确的是（    ） A．的角是一个锐角 B．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 C．将时钟拨快分钟，则分钟转过的角度是 D．终边经过点的角的集合是 3、 填空题 9．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为________________. 10.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为______________.    4、 解答题 11.已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 12.已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积. ******************************************************************************* 【3】核对简略答案（5-10分钟，筛选需要仔细研究的题目），详解请看解析版！ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A A B ABC AD 9. 【答案】 10.【答案】3 11.【答案】(1)，最小值为； (2)，最大值为． 12.【答案】(1) (2)时，面积最大 (3)cm2. ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛: ①常用结论 ②比较角度制和弧度制下的弧长与扇形面积公式 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 ③在进行角度与弧度的换算时，π rad＝180°是关键，由它可以得到： 度数×＝弧度数，弧度数×＝度数，即化谁谁在上。 另外：注意两点：(1)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. (2)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数. ④在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 注意两点：(1)角度制与弧度制不能混用； (2)k∈Z切莫遗漏. 个人感悟： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$