专题07 相似50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题07 相似50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例压轴题 题型三 相似多边形压轴题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的应用 题型七 图形的位似压轴 题型八 相似三角形的模型问题 题型九 相似三角形的综合 题型十 相似三角形的新定义问题 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．【问题背景】 年月，第届国际数学教育大会在中国上海召开，其会标（如图）设计的基本思想来自《河图》，会标中蕴含丰富的数学知识，请观察、思考、探究： 【观察】如图，《河图》是中华文明之源，由、、这个自然数排列而成，“十”字形布局中，横向上的个数（、、、、）之和为，纵向上的个数（、、、、）之和为，这两个数字是相邻的斐波那契数（斐波那契数列：、、、、、、、、、），该数列随着项数增大，相邻两数的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列．请直接写出该黄金分割数列中第个数为________． 【思考】会标右下方“”下面的“卦”是中国古代某个数进制（正整数进制且十进制以内）的计数符号表示为，换算成十进制数为，即表示开会年份，请通过计算说明，此“卦”是几进制？（例如：二进制数，逢进，只有和两个数字组成，换算成十进制为：．） 【探究】会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出勾股定理的一个绝妙证明．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，点是的黄金分割点，求正方形与正方形的面积之比． 【答案】【观察】；【思考】八进制；【探究】 【分析】本题考查有理数的混合运算、不同进制转化的方法、黄多分割． 观察：根据数列的规律可得：从第个数开始，每一个数等于它前面两个数之和，是这一列数中的第个数，然后按照规律依次计算得出第个数； 思考：设此“卦”是进制，可以得到：，又因为计数符号表示为中的最大数为，所以，把、分别代入验证即可； 探究：因为点是的黄金分割点，根据黄金分割比的意义可得：，  根据正方形的面积公式和三角形的面积公式可得， 设，即可得，所以，从而可得． 【详解】观察：斐波那契数列：、、、、、、、、、、 根据数列的规律可得：从第个数开始，每一个数等于它前面两个数之和，是这一列数中的第个数， 第个数为、第个数为、第个数为， 故答案为：；     思考：设此“卦”是进制， 可得：， 计数符号表示为， 最大数为， 最少为进制，最大为进制， 且为正整数， 当时，， 当时，， ， 答：此“卦”是八进制．         探究：点是的黄金分割点，，即，     ， ， ， ，， ，     ， ， 设， ，， ． 2．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】(1)黄金分割数为 (2)能，道理见解析 (3) 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【详解】（1）设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． （2）能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3）如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数 (2) 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）解：由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即，的长是的长的一个黄金分割数，即， ……以此类推，， 由（1）可得， ∴． 5．背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    【答案】（1）19；（2）存在，见解析；（3）或 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键： （1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论； （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为， ∴帕特农神庙的高度； 故答案为：19； （2）存在，理由如下： 设，则：， 由折叠可知 ， ∵矩形就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （3）∵，则：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上：矩形的面积为或． 【经典例题二 平行线分线段成比例压轴题】 6．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在中，平分，交于点，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据是的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）作交于点，则，进而证明，即可得出，根据角平分线分线段成比例可得，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （3）解：如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． 平分， ， ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 7．马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究： 如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________； （2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究： （3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用： （4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析；（4）． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例； （1）根据三角形中线的性质即可得出；设，根据三角形中线的性质得出，即可求解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据平行线分线段成比例可得，，等量代换即可证明． （4）根据（3）的结论得出，，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：（1）∵的面积为12，点是边的中点， ∴ 如图所示，连接 设， ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴ ∵是的中点 ∴， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ 由∵ ∴ ∴ ∴ 即 （2）∵的面积为12． 由（1）可得 ∴ 即， 故答案为：． （3）由题意知，，， ∴． （4）如图所示，延长，交于点， 由（3）可得：， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ 8． 如图，在中，， (1)已知平分，求作菱形， 使得分别在边上；(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下， 若，，求的长 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分可作的垂直平分线交于点，交于点，则以四点为顶点的四边形就是所求的菱形； （2）设，则，再根据菱形的性质可得，再根据比例的性质和平行线分线段定理可得、，然后再说明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点，交于点，则以四点为顶点的四边形就是所求的菱形，如图所示： （2）解：设， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：， 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 9．如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题干条件可推出，，再利用特殊角求解即可； （2）过点作交延长线于点，分别证出和，即可将所证线段进行转化； （3）如图，取，作，，证出，转化到，当重合时取最小值，此时， 由可得，则，再由，得到，，，过作于点， ，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，， ， ，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∵，， ∴， ， ， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即． （3）解：如图3，取，作，． ， ， ，， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， 如图4，当，重合时，取最小值， 此时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 过作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形和直角三角形三边比时解题的关键． 10．定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由底不等高相等的三角形可得，作于点E，于点F，由角平分线性质得到，由三角形面积公式可得，即可得到结论； （2）①连接，求出，证明平分，由（1）的结论可知，，代入数值即可得到答案；②推导出，四边形是矩形，则，，求出，得到，由勾股定理求出，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：显然， 作于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 即平分， 由（1）的结论可知，， ∴， 解得 ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，，垂直平分， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 解得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【经典例题三 相似多边形压轴题】 11．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，    四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分，    小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 12．数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)， 【分析】（1）证明，从而得出； （2）由得出，进而证明，从而得出； （3）由（2）得，从而得出，，进一步求得位置关系． 【详解】（1）解：∵菱形相似于菱形， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： 由（1）得：，，， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长，，交于点H，如图， 由（2）得：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了菱形和正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 13．如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 【答案】（1）答案见解析，（2）是，理由见解析；（3），，，，，． 【分析】（1）根据矩形黄金线的定义可算出AM=和，从而可画出已知矩形的黄金线； （2）连结，设，，由折叠得，由△CGE的面积两种求法列出方程，求得，从而求得，即是正方形的黄金线； （3）分类讨论，根据点E的不同位置，不同边的比得到不同a的值． 【详解】（1）∵ ∴, 如图所示， 此时， （2）折痕是正方形的黄金线．理由如下： 如图，连结，设，，由折叠得， 在中，， ， 又，∴．解得：． 即．∴． ∴是正方形的黄金线． （3）①当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ②当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ③当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ④当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，， 解得，； ⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，解得，； ⑥当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得，； ⑦当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，， ，解得，； ⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得， 故答案为：，，，，， 【点睛】本题考查了矩形的黄金分割线，黄金矩形的定义，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论；②根据①中的结果求出模型中小直角三角形的面积，再根据模型和实际的比例关系进行求解即可； （2）设矩形的长为，宽为．根据矩形矩形相似，相似比为，得到矩形的长为，宽为，列出方程进行求解即可得到结论． 【详解】（1）①小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ，即： ②由①知：，， ∴小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为． （2）解：设矩形的长为，宽为． 矩形矩形相似，相似比为， 矩形的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 15．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形” 问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）； 问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______； （2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”． 问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）； 问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______； 问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示） 问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示） （3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数） 问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示） 【答案】（1）否，，；（2）否；2；； 或；（3） 【分析】（1）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形；设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y，列出方程组求解即可； （2）根据“减半矩形”和“加倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可； （3）根据“k倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）问题1：不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在． 问题2：设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y．则：，解得（舍去）． 故答案为：，； （2）问题3：设“减半矩形”的长和宽分别为m，c．则：，消元并化简得，； ∵， ∴方程没有实数根，故不存在； 故答案为：否； 问题4：设“减半矩形”的长和宽分别为a，b．则：， 解得，或（舍去）； 故答案为：2； 问题5：设“加倍矩形”的长和宽分别为d，e．则：，解得或（舍去）； 故答案为：； 问题6：设“减半矩形”的长和宽分别为f，g．则：，消元并化简得，； ∵， 解得， 或 故答案为： 或； （3）问题7：设“k倍矩形”的长和宽分别为t，s．则：，消元并化简得，； ∵， 解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程的解法和根的判别式，相似图形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练解一元二次方程和运用一元二次方程的根的判别式进行求解． 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 16．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】 （3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点． ①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；② 【分析】（1）利用边角边证，得到，进而根据全等三角形的性质以及已知条件得出．； （2）构造一线三垂直全等，过作交延长线于点，先证（），得到，，在证出，进而得到，再通过（）即可得解； （3）①过点作 于点， 于点，先证，得到，再证，得出，利用建立方程即可得解； ②根据前述思路构造旋转相似，所以作交于点，先证，，进而得出，，在中利用勾股定理将、、转化在一起即可得解． 【详解】（1）证明：，， 又， ．          ，，        ，       ， ， ．                   （2）如图，过作交延长线于点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：；      （3）①方法一： 解：过点作于点，于点， ． ， ．            ． ，， ． ，， ， ， ． ．              设， ，， ，，． ． ， ．                   ，．      方法二： 解：过点作于点，过点作交于点． ， ， ． ．            ，． ． ，， ． ， ． ． ． ．         ，， ． ，， ，，． ，                   ②如图，作交于点，则， ， ， 根据四边形内角和可得出， ， ， ， 在中，， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．如图1，已知在中，，已知，．是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至． (1)若时． ①求证：； ②求折痕的长． (2)如图2，若时，以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，求此时的坐标． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由，得，根据以为对称轴将翻折至，知，，，故，，从而；②设交于，利用勾股定理解得的值，易得的值，证明，由相似三角形的性质可得，的值，进而求得，从而然后利用勾股定理求解即可； （2）设于，由，可得，设，则，，根据勾股定理解出的值，即可求出和，从而得到答案． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵以为对称轴将翻折至， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②解：设交于，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （2）解：设于，如图， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则，， ∵以为对称轴将翻折至， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴，， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及勾股定理及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质． 18．【问题提出】 （1）如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）如图③，在菱形中，，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，交于点，绕点顺时针旋转得到，连接，，，当时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了四边形的综合，矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是本题的解题关键． （1）先根据勾股定理求得的长度，进而证明，求得的长度，进而求解； （2）延长交于，由折叠得，点与点关于对称，得出，再证明，得出； （3）连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，证明出，得到，，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问； 【详解】（1）解：正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， 理由如下：如图所示，延长交于， 由折叠可得：点与点关于对称； ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ，即 (3)如图3，连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于， 由旋转得，，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， , ，即， ， ， ； 19．综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且． 【问题探究】 如图1，若，点在线段上，点在线段上， (1)判断与的数量关系是 ． (2)求证：； 【拓展延伸】 (3)若，，连接，当时，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)的长为或． 【分析】（1）连接，利用全等三角形判定定理证明，即可得出结论； （2）由（1）中的结论得，得到，再结合是等腰直角三角形得到，通过等量代换即可完成证明； （3）由点在直线上且，故需要分情况①点在线段上；②点在延长线上，2种情况的辅助线和解题思路基本一致：过点D作交于P，交于Q，先利用平行线分线段成比例的性质证得P、Q分别为、的中点，再利用四边形是矩形得到和的长度，再通过证明，并利用对应边成比例的性质得到的长度，最后在中运用勾股定理即可求解的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 是等腰直角三角形，， 又为的中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）证明：由（1）中的结论得，， ， ， ， ， 即， ． （3）由点在直线上且，故需要分2种情况讨论： ①若点在线段上，如图，过点D作交于P，交于Q， ， ， ， ， 为的中点， ， ，即P为的中点， 同理可得，，即Q为的中点， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 在中，， ； ②若点在延长线上，如图，同①中辅助线， 由①中结论得，P为的中点，Q为的中点，四边形是矩形， ，， ， ，， 同理可证得：， ，即， ， ， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线判定全等三角形，学会作垂线构造直角三角形运用勾股定理，学会判定相似三角形，并利用对应边成比例的性质计算线段的长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 20．综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． (1)请在上述两个方案中任选一个加以证明； (2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选择方案一：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明得，可得结论； 选择方案二：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点，证明四边形和四边形都是矩形，得，，，证明．得，可得结论； （2）如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明，由相似三角形的性质可得结论。 【详解】（1）选择方案一： 证明：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； 选择方案二： 证明：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴； （2）解：如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点。通过作辅助线构造相似三角形和全等三角形的是解题的关键。 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 21．如图1，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点E以每1个单位的速度从点A出发沿x轴正方向运动，连接，作交y轴于点P，连接交射线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时， _____， _____； (2)当点P在原点上方，且时，求t的值和点P坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6，4 (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，再解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键． （1）根据题意即可知的值，再求出为等腰直角三角形，则，然后求出是等腰直角三角形，因此； （2）首先证明，，可知，即可求出t的值，再证明 ，根据，可求出，进而即可求出答案； （3）分情况讨论，当P在y轴正半轴时和当P在y轴负半轴时，根据表示出，，再分类讨论，若和，分别求出t的值，再求出的长，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：6，4； （2）当点P在原点上方， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故点P的坐标为； （3）存在，理由如下： 当P在y轴正半轴时，由（2）可知，，， 若， ， ， 无解； 若， ， ， 即， 解得（舍去）， ， 点P的坐标为； 当P在y轴负半轴时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 若， ， ， 即 解得（舍去）， ， 点P的坐标为； 若， ， ， 无解； 综上所述：点P的坐标为或 ． 22．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒． (1)当时，t的值为______； (2)连接，当时，求出t的值； (3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的时间t为或或或． 【分析】（1）判断出得出比例式建立方程即可得出结论； （2）先判断出得出比例式求出，，再判断出，得出比例式建立方程即可得出结论； （3）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， 根据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点Q在线段上时， 由（1）（2）得， ∴， Ⅰ、若， ∴， ∴， Ⅱ、若时，如图1，作于N， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， Ⅲ、若时，如图1，作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点M在线段上时，如图2，是钝角， 由（1）（2）得， ∴， ∴只可能， ∴， ∴， 即：满足条件的时间t为或或或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是表示出，，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题． 23．如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒． (1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕； (2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长； (3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，作出的垂直平分线，即可求解； （2）先证明，得出得出四边形是平行四边形，根据垂直平分，即可证明四边形是菱形，进而在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得周长，即可求解； （3）分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 设， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得：，即 ∴四边形的周长为 （3）解：如图所示，当在上 ∵， ∴， 又∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴，， 依题意，， ∴，， ∴， 如图所示，当在上， 同理可得，则， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，作垂线，垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (2)或3或或秒时，是等腰三角形 (3)的值为， 【分析】（1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系； （2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题． （3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到． 【详解】（1）解：如图1中，    在中，，， ． 、分别是、的中点． ∴，，且， ①时， ，， ∴， ∴， 由题意得：，， 即， 解得； ②如图2中，当时，，   ， ， ， 当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （2）解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，． 如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得． 如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G， ∴，， ∴，即， 解得． 如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M， ∴，， ∴，即， 解得． 综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形．    （3）解：假设存在时刻，使， 则此时，如图，作于．    ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ， 即， 解得，（舍去）． 当时， ，， ，， ． ， ． 此时的值为，． 【点睛】本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 25．如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； (2)当为何值时，为以为腰的等腰三角形； (3)连接，，若，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，分、两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解； （2）根据是以为腰的等腰三角形分，两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）如图：过P作于点M，交于点N，则，可证，根据相似三角形的性质可得，，再根据得出，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 与相似，且， 当时，， ， ， 当时，， ， ； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； （2）①当时如图1，过点P作于E， ， ， ∴= 解得：． ②当时，如图2，过Q作于G， ， ， ，解得： 综上所述：当或时，是等腰三角形； （3）过点P作于点M，，交于点N，如图3所示： ， ． ， ， ，， ，， ， ， ， ，    ， ． 【经典例题六 相似三角形的应用】 26．综合与实践 背景 晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，，是广场上的两根电线杆，小明站在点E处，在两盏路灯B，D的照射下，地面上形成了他的两个影子，．    素材1 两盏路灯B，D的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 A，C，E，G，H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为0），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 任务1 计算 （1）如图（b），当小明影子长为时，此时小明到电线杆的距离为多少？ 任务2 说理 （2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长度发生变化，请说明理由． 任务3 拓展 （3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 【答案】（1）；（2）的长不变，；（3）头顶距离地面的最大高度为 【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明，得出，根据，证明，得出，求出，得出，即可求出结果； （3）由，得出，得出，即，根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：， ， ， ， ∴， 解得： ∴ ∴此时小明到电线杆的距离为； （2）的长不变，连接，如图所示：    根据题意可知：，， ， ∴， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）同（2）可得， ∴， ∴， 即，    ∵， ∴， 解得：， ∴此时小明头顶离地面的最大高度． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，比的基本性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式求解是解题的关键． 27．图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． (1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； (2)如图3，若物距，焦距时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜同侧，此时虚像长度为，蜡烛的长为，求此时像距的长； (3)若蜡烛的长为5cm，物距，焦距，求像距和像的长． 【答案】(1)理由见详解 (2) (3)像距，像 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，可证，得到，则有，所以与没有交点，此时“不成像”即可求解； （2）根据题意可证，结合相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意可证，可得，再证，结合相似三角形的性质即可求解 ． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与没有交点，此时“不成像”； （2）解：已知虚像与物在凸透镜同侧，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴像距； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴像距，像 ． 28．项目化学习 项目主题：跟着悟空游山西，测量“无边寺白塔”的大致高度． 项目背景：《黑神话：悟空》的上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．“无边寺白塔”位于山西省太谷县无边寺内（图①），白塔外有七层，为八角形砖木混构，内有九层，设木板楼层，有木构楼梯供攀登．某校学习小组以测量“无边寺白塔”的高度为主题展开项目学习． 问题驱动：能利用哪些数学知识来测量“无边寺白塔”的高度？ 研究步骤： （1）如图②，把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； （2）将标杆沿着水平线的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 问题解决：请根据此项目实施的相关信息求“无边寺白塔”的大致高度． 【答案】44米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明，得到对应边成比例，列方程解决即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∵， ∴，解得， ∴“无边寺白塔”的大致高度为44米． 29．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； (3)如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1)11.3 (2)11.2 (3)旗杆的高度约为11.4米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质， （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过点D作，垂足为点H，交于点G，可知四边形，四边形和四边形都是矩形，求得对应边长，进一步证明，结合可求得，即有． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； （2）解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 30．综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与应用． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得； （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【详解】（1）解：由反射特点可知，． ， ， ， ， ∴， ， 即大楼的高为； （2）解：由反射特点可知，． ， ∴， ． ， ， ， ， 解得， ， 解得． 答：大楼的高度为． 【经典例题七 图形的位似压轴】 31．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)Ⅰ．见解析；Ⅱ．． 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【详解】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 32．如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）． AI   (1)求线段的长度； (2)当点E落在的中位线上时，求出t的值： (3)连接，则线段的最小值是______． (4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)15 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）运用勾股定理求解即可； （2）如图，以点B为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，向右向上为正方向，以的长为1个单位长度，建立平面直角坐标系．可得，，，，，过点E作轴于点N，证明，得到，，从而．分别取各边的中点，得到的中位线，进而求得各中位线的解析式，把点E坐标代入中位线解析式中，求解即可； （3）根据两点间的距离公式得到，再根据二次函数的性质即可求解； （4）根据题意得到与的相似比为，从而有，进而用待定系数法求出直线的解析式中k的值，再分别求出直线，直线，直线的解析式中k的值，根据两条直线平行，直线解析式中k的值相等，即可求解． 【详解】（1）∵在中．，， ∴； （2）如图，以点B为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，向右向上为正方向，以的长为1个单位长度，建立平面直角坐标系．    ∵，， ∴ ∵，， 当点F运动t秒时，，， ∴，，，，， 过点E作轴于点N，则 ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ①如图，取的中点H，的中点G，则是的中位线，    ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则，即， 该不等式组无解， ∴点E不在中位线上； ②如图，取的中点G，的中点I，则是的中位线，    ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则，即， ∴当时，点E在中位线上； ③如图，取的中点H，的中点I，则是的中位线，    ∵，，， ∴，， 设线段的解析式为， ∴，解得， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则， 解得， ∴当时，点E在中位线上； 综上所述，当或时，点E落在的中位线上． （3）∵，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，为． 故答案为： （4）∵缩小后得到，且， ∴与的相似比为， ∵， ∴， 设经过点，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． ①若，则，即， 解得， 经检验，是方程的解，且满足题意． ②若，则，即， 解得， 经检验，是方程的解， ∵， ∴． ③若，则，即， 解得或， 经检验，或是方程的解， ∵， ∴， 此时点F，位于点B，点E，在上，和在同一直线上． 综上所述，当或时，与的某条边平行． 【点睛】本题考查勾股定理，几何图形与函数，方程的应用，位似，综合运用相关知识，根据题意建立平面直角坐标系，运用函数的知识是解题的关键． 33．【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 【答案】解决问题：（1）图2的正方形边长更大，理由见详解；（2）见详解；学以致用：见详解 【分析】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N，设正方形边长为x，证明，根据相似三角形性质解得；过B作，交于K，交于H，设正方形边长为，证明，根据相似三角形性质解得．即可判断图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，再以为边作正方形即可； 学以致用：先画正方形，点、在、上，再作正方形以点为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径、和弧上即可． 【详解】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N， ， ， 设正方形边长为x， 是正方形， ， ， ， ， 解得：； 过B作，交于K，交于H， 设正方形边长为， 是正方形， ， ， ．得． ∴图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，然后过作的垂线，然后以为圆心，以为半径画圆交垂线于，然后过作的垂线交于点，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，再以为边作正方形即可； 如图，正方形即为所求． 学以致用： 以为圆心，以任意长度为半径画圆交、于，过作的垂线，以为圆心，以长度为半径画圆交垂线于，过作的垂线，然后过作的垂线，交于点，即可画出正方形，然后连接分别弧交于点，连接，分别过作的垂线交、于点，连接，即可作出正方形以点为位似中心的位似图形，它的四个顶点落在扇形半径、和弧上． 如图，正方形即为所求． 【点睛】该题主要考查了位似图形，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作图，等知识点，解题的关键是正确做出辅助线以及图象． 34．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【答案】(1)①②； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似． （2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果． （3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【详解】（1）解：如图1，    故答案为：①② （2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，    是公共角，， ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 将代入得 ， 解得． （3）证明：如图4，    延长，交于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 35．如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8） 【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可； （2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解； （5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可； （6）由可由（5）得：的最小值为26； （7）由可由（4）得的最小值为； （8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为 同理可证为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为； （2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵∠ACB=30°， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴∠AEC=90°，∠ACE=60°， ∴∠CAE=30°， ∴ ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， 过点C作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵∠ACB=30°， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴∠AEC=90°，∠ACE=3°， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接 由旋转的性质得，，，， ∴，，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当，，，共线时最小，最小为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到， 同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为， ∵，在中，， ， 最小为； （6）∵ ∴由（5）得：的最小值为26； （7）∵ ∴由（4）得的最小值为； （8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到， 同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小． 在中，，， 过点作交BC延长线于E， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小． 【经典例题八 相似三角形的模型问题】 36．如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：； (2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】首先根据勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明； 取中点，连接，可证是等边三角形，根据，可证，根据平分，可知，又因为，，三点共线，可知，，所以可证； 取的中点，连接，，构造，利用相似三角形的性质可得，，设，交于点，的中点为，则点是线段上的动点．，当时，最小，利用勾股定理可以求出，根据点是的中点，可得，所以可得：，从而求出，所以可得的最小值为． 【详解】（1）证明：在中，，，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：取中点，连接， 则， 是等边三角形， ． 由知， ，， 平分， ， ，，三点共线， ， ． ， ， 又， ， 取的中点，连接，， 点是的中点， ， ， ， ， 设，的延长线交于点，的中点为． 则点是线段上的动点， 当时，最小， 此时，，， 则此时， 在中，，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， 是的中点， ， 则， 故， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是证明相似三角形，利用相似三角形对应边成比例找线段之间的关系． 37．如图1，四边形中，，点E在上． (1)当，求证：． (2)如图2，延长及相交于点F，延长及相交于点G，的周长为2． ①求的值． ②连接，取的中点M，连接，作，连接，求与的数量关系． 【答案】(1)证明见解答； (2)①； ② 【分析】对于（1），如图，连接交于P，先根据题意可知是等腰直角三角形，则，再由等腰三角形的三线合一的性质得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质得，结合“三线合一”的性质得，进而得出，最后根据即可解答； 对于（2）①，如图，作，交的延长线于H，延长至O，使，连接，证明四边形是正方形，可得再根据“边角边”证明，根据的周长为2，得，最后证明和，即可解答； 对于②，如图，作，交的延长线于Q，证明，得，由勾股定理求出的长，可得，由三角形的面积计算，证明，则，根据勾股定理可以解答． 【详解】（1）证明：如图，连接交于P， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：①如图2，过点C作，交的延长线于H，延长至O，使，连接， ∴， ∴四边形是矩形. ∵， ∴矩形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵的周长为2， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图3，过点G作，交的延长线于Q， 由①知：， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 由勾股定理得：， ∵M是的中点， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判判定，正方形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 38．探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形得，，，再根据等腰直角三角形的性质得，，由此可证，再根据即可得出结论； （2）设，则， ， ，根据（1）的结论得，则，故得，则点F为的中点，再根据，得，则由此可得的值； （3）过点D作交延长线于点K，则，进而得，再求出，证明，根据相似三角形性质得则，然后证明即可求出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，为对角线， ， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F为的中点， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交延长线于点K，则， ∵四边形为菱形，， ∴， 设， ∴， 在中，则，由勾股定理得：， ∵点F是中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 39．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． (1)【感知】 如图，在绕点旋转过程中，若连接，，求的值． (2)【探究】 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)【拓展】在绕点旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．    【答案】(1)2 (2)2 (3)能，或 【分析】（1）连接，，由含角的直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，进而得到，再利用相似三角形的性质求解； （2）因为，根据含角的直角三角形的性质得到，当点恰好落在的中线上时，点与重合，利用垂直平分线的性质求解； （3）存在两种情况，当点与在中点重合时，点在的延长线上，分别来求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，，    ∵，， ∴． 由旋转得，，， ， ∴， ， ∴的值是2． （2）解：如图2，∵， ∴． ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴当点恰好落在的中线上时，点与重合． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的长是2．    （3）解：与能相似， 当点与在中点重合时，如图2， 则，，， ， ∴． ∵，，， ∴． 点在的延长线上，连接，如图3，      ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ， ∴， ∴三点在同一条直线上． ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与能相似，此时的面积为或． 【点睛】本题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，理解相关知识是解答关键． 40．已知：在正方形中，M在上，点N在上，把正方形沿翻折，使点B落在边上的点E处，点C的对应点为P，交于F． (1)连，求证：平分； (2)过点B作交于点G，连接交与点H． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）正方形的性质，推出，对称性得到，进而得到，即可得证； （2）①过点B作交于点Q，则，证明，得到，再证明，得到，进而推出，根据对称，得到，进而求出即可；②证明，得到，证明，得到，过点作，交于点，证明，得到，推出，设，则，，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：正方形中， ∴ 由对称性得 ∴ ∴平分 （2）①如图1，过点B作交于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ②如图2，∵翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 由①可知：， 过点作，交于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键． 【经典例题九 相似三角形的综合】 41．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 42．（23-24·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 43．（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 【答案】（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30° 【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律； （2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题． 【详解】（1）[问题发现]如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， 当时，△ABC和△PDC都是等边三角形， ∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝60°， 当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形， 如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝45°， [归纳总结] 由此，可归纳出，＝∠ACB＝； （2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，∠CAE＝60° ∴sin60°＝， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵∠ECF＝∠ACP， ∴△PCA∽△FCE， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝30°． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想． 44．（23-24·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 45．（23-24·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 【经典例题十 相似三角形的新定义问题】 46．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 47．（23-24·广东广州·一模）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 【答案】(1)①；② (2)满足条件的的长为 【分析】（1）①根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的值； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，证明垂直平分，得出，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）若，则，，推出四边形不是等腰直角四边形，不符合条件．若与不垂直，当时，此时四边形是等腰直角四边形，当时，此时四边形是等腰直角四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，； 若时，如图所示： 则四边形和为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，； ∴四边形不可能是等腰直角四边形； 若与不垂直，当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点F不在边上，不符合题意； 若与不垂直，当时，如图所示： 此时四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合，注意分类讨论． 48．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 49．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上． (2)如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结． ①求证：四边形是等补四边形． ②若，求四边形的面积． (3)如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ②1 (3)或 【分析】（1）根据等补四边形的定义，结合勾股定理，画出图形即可； （2）①证明，即可； ②如图2中，过点作于点交的延长线于点．证明，推出，，推出四边形是正方形，可得； （3）如图3中，连接．首先证明四边形是平行四边形，推出，因为四边形是四边形为等补四边形，所以有两种可能：①或．②．分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，四边形即为所求． （2）①证明：如图2中， 四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是等补四边形； ②解：如图2中，过点作于点，交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， ， ，， （）， ，， 四边形是正方形， ； （3）解：如图3中，连接，． ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是四边形为等补四边形， 有两种可能：①或．②． 当或时， ，， ， ，， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图4中，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 设，， 则，，， ， ， ， ， ， ， 整理得， ，， ， ， 综上所述，或． 时，或者 （3）∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 设． ①当时， ②当时，等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） 综上，或 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等补四边形的定义，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 50．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，得出，，根据等腰三角形三线合一得出，，设，得出，求出，，最后得出答案即可； （2）根据含30度直角三角形的性质得出，求出，证明，得出； （3）过点作于点，过点作于点，连接，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∴． （2）解：为等边三角形 ， ， 在中，， ， ， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例压轴题 题型三 相似多边形压轴题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的应用 题型七 图形的位似压轴 题型八 相似三角形的模型问题 题型九 相似三角形的综合 题型十 相似三角形的新定义问题 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．【问题背景】 年月，第届国际数学教育大会在中国上海召开，其会标（如图）设计的基本思想来自《河图》，会标中蕴含丰富的数学知识，请观察、思考、探究： 【观察】如图，《河图》是中华文明之源，由、、这个自然数排列而成，“十”字形布局中，横向上的个数（、、、、）之和为，纵向上的个数（、、、、）之和为，这两个数字是相邻的斐波那契数（斐波那契数列：、、、、、、、、、），该数列随着项数增大，相邻两数的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列．请直接写出该黄金分割数列中第个数为________． 【思考】会标右下方“”下面的“卦”是中国古代某个数进制（正整数进制且十进制以内）的计数符号表示为，换算成十进制数为，即表示开会年份，请通过计算说明，此“卦”是几进制？（例如：二进制数，逢进，只有和两个数字组成，换算成十进制为：．） 【探究】会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出勾股定理的一个绝妙证明．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，点是的黄金分割点，求正方形与正方形的面积之比． 2．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 4．小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 5．背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    【经典例题二 平行线分线段成比例压轴题】 6．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在中，平分，交于点，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．若，，求的长． 7．马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究： 如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________； （2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究： （3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用： （4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 8． 如图，在中，， (1)已知平分，求作菱形， 使得分别在边上；(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下， 若，，求的长 9．如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 10．定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【经典例题三 相似多边形压轴题】 11．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 12．数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 13．如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 14．某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 15．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形” 问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）； 问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______； （2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”． 问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）； 问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______； 问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示） 问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示） （3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数） 问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示） 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 16．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】 （3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点． ①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 17．如图1，已知在中，，已知，．是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至． (1)若时． ①求证：； ②求折痕的长． (2)如图2，若时，以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，求此时的坐标． 18．【问题提出】 （1）如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）如图③，在菱形中，，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，交于点，绕点顺时针旋转得到，连接，，，当时，求四边形的面积． 19．综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且． 【问题探究】 如图1，若，点在线段上，点在线段上， (1)判断与的数量关系是 ． (2)求证：； 【拓展延伸】 (3)若，，连接，当时，求的长． 20．综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． (1)请在上述两个方案中任选一个加以证明； (2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 21．如图1，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点E以每1个单位的速度从点A出发沿x轴正方向运动，连接，作交y轴于点P，连接交射线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时， _____， _____； (2)当点P在原点上方，且时，求t的值和点P坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒． (1)当时，t的值为______； (2)连接，当时，求出t的值； (3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 23．如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒． (1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕； (2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长； (3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 24．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 25．如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； (2)当为何值时，为以为腰的等腰三角形； (3)连接，，若，直接写出的值． 【经典例题六 相似三角形的应用】 26．综合与实践 背景 晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，，是广场上的两根电线杆，小明站在点E处，在两盏路灯B，D的照射下，地面上形成了他的两个影子，．    素材1 两盏路灯B，D的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 A，C，E，G，H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为0），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 任务1 计算 （1）如图（b），当小明影子长为时，此时小明到电线杆的距离为多少？ 任务2 说理 （2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长度发生变化，请说明理由． 任务3 拓展 （3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 27．图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． (1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； (2)如图3，若物距，焦距时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜同侧，此时虚像长度为，蜡烛的长为，求此时像距的长； (3)若蜡烛的长为5cm，物距，焦距，求像距和像的长． 28．项目化学习 项目主题：跟着悟空游山西，测量“无边寺白塔”的大致高度． 项目背景：《黑神话：悟空》的上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．“无边寺白塔”位于山西省太谷县无边寺内（图①），白塔外有七层，为八角形砖木混构，内有九层，设木板楼层，有木构楼梯供攀登．某校学习小组以测量“无边寺白塔”的高度为主题展开项目学习． 问题驱动：能利用哪些数学知识来测量“无边寺白塔”的高度？ 研究步骤： （1）如图②，把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； （2）将标杆沿着水平线的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 问题解决：请根据此项目实施的相关信息求“无边寺白塔”的大致高度． 29．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； (3)如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 30．综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【经典例题七 图形的位似压轴】 31．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 32．如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）． AI   (1)求线段的长度； (2)当点E落在的中位线上时，求出t的值： (3)连接，则线段的最小值是______． (4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值． 33．【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 34．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 35．如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【经典例题八 相似三角形的模型问题】 36．如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：； (2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 37．如图1，四边形中，，点E在上． (1)当，求证：． (2)如图2，延长及相交于点F，延长及相交于点G，的周长为2． ①求的值． ②连接，取的中点M，连接，作，连接，求与的数量关系． 38．探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 39．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． (1)【感知】 如图，在绕点旋转过程中，若连接，，求的值． (2)【探究】 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)【拓展】在绕点旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．    40．已知：在正方形中，M在上，点N在上，把正方形沿翻折，使点B落在边上的点E处，点C的对应点为P，交于F． (1)连，求证：平分； (2)过点B作交于点G，连接交与点H． ①求证：； ②若，求的值． 【经典例题九 相似三角形的综合】 41．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 42．（23-24·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 43．（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 44．（23-24·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 45．（23-24·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【经典例题十 相似三角形的新定义问题】 46．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 47．（23-24·广东广州·一模）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 48．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 49．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上． (2)如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结． ①求证：四边形是等补四边形． ②若，求四边形的面积． (3)如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度． 50．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$