九年级数学期末模拟卷（苏科版江苏专用，测试范围：苏科版九年级上册+下册全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 D A B C D C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7． 8．20 9．或 10．11 11．89 12． 13． 14． 15． 16．或或 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题8分） 【详解】（1）解：，，， ， ……………………1分 方程有两个不相等的实数根， ……………………2分 ， ，．……………………4分 （2）解： ， ，……………………6分 或，……………………7分 解得，．……………………8分 18．（本小题8分） 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为……………………1分 将点代入得， 解得：，……………………3分 ∴抛物线的解析式为；……………………4分 （2）解：当时，，……………………6分 ∴点不在这条抛物线的图象上．……………………8分 19．（本小题6分） 【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张， 所以，抽中B的概率是． 故答案为：；……………………2分 （2）画树状图如下： ……………………5分 一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是．……………………6分 20．（本小题8分） 【详解】（1）解：∵， ∴学生代表成绩比较整齐的是七年级． 故答案为：七．……………………2分 （2）解：∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， ∴2分和3分的人数分别有1人和4人，……………………4分 补全条形统计图如下： ……………………6分 （3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有（人）， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人．……………………8分 21．（本小题8分） 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴．……………………4分 （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴．……………………8分 22．（本小题8分） 【详解】解：设这种商品的售价为x元，依题意得……………………1分 ，……………………4分 解得：，，……………………6分 因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去， ∴．……………………7分 答：这种商品的销售单价应定为55元．……………………8分 23．（本小题8分） 【详解】（1）解：如图， 为线段的另一个三等分点；……………………4分 （2）证明：由题意得 ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， P是的三等分点．……………………8分 24．（本小题8分） 【详解】（1）解：当时，， ∴无论为何值， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数（是常数）的图象与轴有两个交点；……………………4分 （2）点在二次函数的图象上， ，整理得， 解得或 ∵点在第四象限， ， 点坐标为，二次函数表达式为， 当时， ∴点坐标为 ∴点与点之间的距离为．……………………8分 25．（本小题8分） 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似；……………………3分 （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ；……………………6分 （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ．……………………8分 26．（本小题9分） 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为．……………………2分 （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为．……………………5分 （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或．……………………9分 27．（本小题9分） 【详解】解：（1）是比例三角形，且，， ①当时，得， 解得， ， （不符合题意，舍去）；……………………1分 ②当时，得， 解得. ， （不符合题意，舍去）；……………………2分 ③当时，得， 解得（负值已舍去）， 当时，是比例三角形，……………………3分 （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ；……………………4分 ②证明：由①，知， ，即. ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形；……………………6分 （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ，……………………7分 ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ．……………………9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册+下册。 5．难度系数：0.75。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ． 8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 9．已知O为的外心，，则 ． 10．已知是方程的两根，则代数式的值是 ． 11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是 分． 12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ． 15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是 ． 16．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 17．（本小题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)判断点是否在这条抛物线的图像上． 19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ． (2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 请根据以上信息，详解下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 21．（本小题8分）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点． (1)请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点； (2)请你证明：P是的三等分点． 24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）． (1)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点； (2)若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离． 25．（本小题8分）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 26．（本小题9分）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 27．（本小题9分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册+下册。 5．难度系数：0.75。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ． 8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 9．已知O为的外心，，则 ． 10．已知是方程的两根，则代数式的值是 ． 11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是 分． 12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ． 15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是 ． 16．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 17．（本小题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)判断点是否在这条抛物线的图像上． 19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ． (2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 请根据以上信息，详解下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 21．（本小题8分）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点． (1)请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点； (2)请你证明：P是的三等分点． 24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）． (1)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点； (2)若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离． 25．（本小题8分）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 26．（本小题9分）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 27．（本小题9分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册+下册。 5．难度系数：0.75。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由得， ∴或， 解得，， 故选：D． 2．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：A． 3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 【答案】B 【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：B． 4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， 由圆周角定理可得：， ∴， 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，即， ∵， ∴， A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意； B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意； C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意； D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 【答案】C 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，则， ，之间的距离为， 故答案为：． 8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 【答案】20 【详解】解：， ∴当时间为时，滑行了， ∴飞机滑行了停下， 故答案为： ． 9．已知O为的外心，，则 ． 【答案】或 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 10．已知是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，， 即 ∴ ， 故答案为：． 11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是 分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键．利用加权平均数公式求解即可． 【详解】解：小亮同学的最终得分是：（分）． 故答案为：． 12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理知：， ∴当时，线段最短， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ． 【答案】或或 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 17．（本小题8分）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：，，， ， ……………………1分 方程有两个不相等的实数根， ……………………2分 ， ，．……………………4分 （2）解： ， ，……………………6分 或，……………………7分 解得，．……………………8分 18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)判断点是否在这条抛物线的图像上． 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为……………………1分 将点代入得， 解得：，……………………3分 ∴抛物线的解析式为；……………………4分 （2）解：当时，，……………………6分 ∴点不在这条抛物线的图象上．……………………8分 19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ． (2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张， 所以，抽中B的概率是． 故答案为：；……………………2分 （2）画树状图如下： ……………………5分 一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是．……………………6分 20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 请根据以上信息，详解下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【详解】（1）解：∵， ∴学生代表成绩比较整齐的是七年级． 故答案为：七．……………………2分 （2）解：∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， ∴2分和3分的人数分别有1人和4人，……………………4分 补全条形统计图如下： ……………………6分 （3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有（人）， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人．……………………8分 21．（本小题8分）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴．……………………4分 （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴．……………………8分 22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 【详解】解：设这种商品的售价为x元，依题意得……………………1分 ，……………………4分 解得：，，……………………6分 因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去， ∴．……………………7分 答：这种商品的销售单价应定为55元．……………………8分 23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点． (1)请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点； (2)请你证明：P是的三等分点． 【详解】（1）解：如图， 为线段的另一个三等分点；……………………4分 （2）证明：由题意得 ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， P是的三等分点．……………………8分 24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）． (1)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点； (2)若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离． 【详解】（1）解：当时，， ∴无论为何值， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数（是常数）的图象与轴有两个交点；……………………4分 （2）点在二次函数的图象上， ，整理得， 解得或 ∵点在第四象限， ， 点坐标为，二次函数表达式为， 当时， ∴点坐标为 ∴点与点之间的距离为．……………………8分 25．（本小题8分）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似；……………………3分 （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ；……………………6分 （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ．……………………8分 26．（本小题9分）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为．……………………2分 （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为．……………………5分 （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或．……………………9分 27．（本小题9分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【详解】解：（1）是比例三角形，且，， ①当时，得， 解得， ， （不符合题意，舍去）；……………………1分 ②当时，得， 解得. ， （不符合题意，舍去）；……………………2分 ③当时，得， 解得（负值已舍去）， 当时，是比例三角形，……………………3分 （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ；……………………4分 ②证明：由①，知， ，即. ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形；……………………6分 （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ，……………………7分 ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ．……………………9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学期末模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7 ． ______ __ 8 ． ________ 9 ． _________ 1 0 ． _________ 11 ． _________ 12 ． ________ 13 ． ________ 14 ． _________ 15 ． ________ 16 ． _________ 三 、解答题：本题共 1 1 小题，共 88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ． （本小题 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） （1） （2） 19 ． （ 6 分） （1） ； （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 8 分） （1） ； 2 1 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 8 分） 2 3 ． （ 8 分） 24．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 8 分） （1） ； 26 ．（ 9 分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） （1） （2） 19．（6 分） （1） ； （2） 20．（8 分） （1） ； 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7．________ 8．________9．_________ 10．_________11．_________ 12．________13．________14．_________15．________16．_________ 三、解答题：本题共 11 小题，共 88分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（本小题 8 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8 分） 23．（8 分） 24．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8 分） （1） ； 26．（9 分） 27．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！