专题06 相似三角形的经典模型专项训练（13大题型+24道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+24道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 1．如图，在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由，可得，证明，则，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了正方形性质，相似三角形判定与性质等知识点，由正方形面积为24，可得，，又，即可得，故，有，进而即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】正方形面积为24， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 3．如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△ABG∽△CFG， ∴＝ ∵△ABE∽△DFE， ∴＝， ∵AE＝2ED， ∴AB＝2DF， ∴＝， ∴＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题． 1．如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．利用平行线证明三角形相似，得到相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ， 设的三边分别为a、b、c，的三边分别为A、B、C， 则， 与的周长比； 故选：A． 2．如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，关键是根据平行四边形的性质，证明，进而列出比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，则， ∵ ∴， 故答案为：． 3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ； (2)如图2，在矩形中，＝8，，点是上的一点．连接CE，BD， 且，则的值为 ； (3)如图2，在矩形中，若．点是上的一点，连接，，且，点E是否为AD的中点？请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)E为AD的中点,理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质．采用类比的数学思想方法是解题的关键． （1）设与的交点为G，证明，得； （2）利用两个角相等证明，得，得，继而得解； （3）设，则，利用两个角相等证明，得解题即可； 【详解】（1）设与的交点为G，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中 故答案为：1 （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ，即 ， 故答案为：， （3）点E是的中点，理由如下： 设，则 如图3，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴E为AD的中点 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（23-24·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 1．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 2．如图，在矩形纸片的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处，延长，与的平分线相交于点M，交于点N，当时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】过点N作于点G，证明，得到边之间的关系，设，设，可求得，，再由勾股定理，得，可解出，从而可求出答案． 【详解】解：过点N作于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∴ 由折叠的性质可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∵平分，， ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 3．如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据正方形的性质，垂线的定义，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，中点求出的长，相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）知：， ∴，即：， ∴， ∴． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（23-24秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． （1） 解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2） ①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 1．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为(    )   A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到相等的角，再结合BF=EF先证明△NEF≌△DBF，即可得到NE=BD=2，再证明△ANE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】解：∵NE∥BC， ∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF， 又∵BF=EF， ∴△NEF≌△DBF， ∴NE=BD=2． ∵NE∥BC， ∴△ANE∽△ADC， ∴， ∵CE=2AE， ∴， ∴CD=6． 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合思想的应用． 2．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 3．菱形对角线AC与BD交于点O，若，过点A作于点M，交BD于点N． (1)如图1，若，求AN的长度． (2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证：． (3)如图3，若，在线段AB上取一点E，使得，连接CE，在CE上任取一点G，R为线段AC边上动点，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设元计算，找到直角三角形三边勾股关系列方程计算可得． （2）先通过三垂直全等得到关系，转化目标为，再通过截长补短得到及的线段，最后由角度求得线段关系得证． （3）此题须先利用对称找到最值位置，再求出容易计算的，最后求解含有特殊角度的的面积，利用的直角三角形相似及多重设元进行计算求得答案． 【详解】（1）解：过作于 菱形， 平分， 又，， ， 设， ， 与均为等腰直角三角形， ，，， ， ， 得， ； （2）解：在上取连接、， 菱形，， ，，， ，为菱形的对称轴，且； ， ， 又，， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 为菱形的对称轴， ，， ，， ， ， ， ． （3）解：作关于直线的对称线段，则关于直线的对称点在直线上，，当时，最小，即最小值为，与的交点为点． 由，得： ，； ，，， ， 中． 作交于，交于； 则，， ，，， 得，， ； 设， 则，，， ∴， ，， ． 四边形的面积为． 通过相似和设元计算得四边形的面积为． 【点睛】本题考查复杂的四边形证明和计算问题，涉及菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构作适当的辅助线是本题的难点与关键．在复杂计算中利用设元列方程能够有效简化计算，降低计算错误率． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（23-24秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．    （1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ； （2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）根据，判定，根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之比计算即可． （2）设，根据，判定，用x表示，构造面积的二次函数，根据二次函数的最值判定计算即可． 【详解】解：（1）如图，过作于，交于，    ∵正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （2）如图，过作于，交于， ∵矩形， ∴，， ，， ∴， ∴，    设，则， 同理：， ∴，则， 设矩形的面积为y， 则． ∴当时，面积最大，此时，， 故当矩形的面积最大时，这个矩形的边长． 故答案为：， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键． 1．如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故选：D． 2．如图，在中，，于点D，且，矩形的边在边上，顶点P，Q分别在边上．若的面积为3，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得(负值已舍)， 故答案为：3． 3．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（23-24秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ） A. B．2 C. D．2 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＋∠FCB＝180°. 根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3， ∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°， ∠DFE＝∠EFC＝90°， ∴∠FDE＝∠FEC， ∴△DEF∽△ECF， ∴＝， ∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15， ∴EF＝.故选A. 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 设，则，证明，则，即，可求满足要求的解为，则，由，可知上的中线长是． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴上的中线长是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是边上的高，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质． （1）利用直角三角形的性质求得，推出，再证明，即可证明； （2）利用两边对应成比例且夹角相等，推出，得到，再证明，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是边上的高，点E是边的中点， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性质可得∠IAH=∠AID，可证IH=AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解． 【详解】解：如图，连接AI，AC， ∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG， ∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°， 在Rt△AGI和Rt△ADI中， ， ∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL）， ∴∠GAI＝∠DAI， ∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI， ∴∠IAH＝∠AID， ∴IH＝AH， 又∵IH＝HC， ∴IH＝HC＝AH， ∴∠IAC＝90°， ∴∠DAI+∠DAC＝90°， 又∵∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠DAI＝∠DCA， 又∵∠ADI＝∠ADC＝90°， ∴△ADI∽△CDA， ∴， ∴， ∴DI＝1， ∴CI＝ID+CD＝5， ∴IH＝IC＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 1．如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．设交于点，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明，，得到 ，，则，即，再证明，得到，即，再求解即可． 【详解】解：设交于点，如图， ，，， ， ， ， 将绕着边上的点旋转得到， ，，，， ， ，， ，， ，， ， 即， ， ， ， ，即， 解得． 故选：C 2．如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，由旋转可得，，，，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵绕直角边中点旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． (1)【感知】 如图，在绕点旋转过程中，若连接，，求的值． (2)【探究】 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)【拓展】在绕点旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．    【答案】(1)2 (2)2 (3)能，或 【分析】（1）连接，，由含角的直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，进而得到，再利用相似三角形的性质求解； （2）因为，根据含角的直角三角形的性质得到，当点恰好落在的中线上时，点与重合，利用垂直平分线的性质求解； （3）存在两种情况，当点与在中点重合时，点在的延长线上，分别来求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，，    ∵，， ∴． 由旋转得，，， ， ∴， ， ∴的值是2． （2）解：如图2，∵， ∴． ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴当点恰好落在的中线上时，点与重合． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的长是2．    （3）解：与能相似， 当点与在中点重合时，如图2， 则，，， ， ∴． ∵，，， ∴． 点在的延长线上，连接，如图3，      ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ， ∴， ∴三点在同一条直线上． ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与能相似，此时的面积为或． 【点睛】本题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，理解相关知识是解答关键． 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，    ， ， ， ， ， 设，则， 由折叠可知，，，，，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 1．如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．由勾股定理求出得，证明得，代入数值求出，进而可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，交边于点．若，，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等，设，则，利用勾股定理解求出x，再证，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，， ，，，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 3．在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为． 【尝试】 （1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值． 【答案】（1）与始终保持相似关系，理由见详解 （2）存在点，使，此时的长为 （3） 【分析】本题主要考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，理解图示，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，由相似三角形的判定即可求解； （2）根据矩形的性质可得，，由（1）可得，则，得到，根据题意求出，，由折叠的性质可得，在中由勾股定理可得，则，再根据即可求解； （3）根据题意可得，由矩形的性质，折叠的性质，可得，可证，得到，设，则，，在中由勾股定理可得，解得，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴与始终保持相似关系； （2）存在，此时，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）可得，与始终保持相似关系，即， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴存在点，使得，此时； （3）∵，若， ∴， ∵四边形是矩形，折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 1、（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（23-24·内蒙古·二模）如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为 【答案】−8 【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可． 【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝90°， ∵∠DBO＋∠BOD＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∵∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴， ∵OB＝2OA， ∴BD＝2m，OD＝2n， 因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2， ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴B点的坐标是（−2n，2m）， ∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8． 故答案为：−8． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式． 3．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长． 【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题． 1、（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 【答案】A 【详解】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则 因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， 得△ABC △ADE， 得 ， ， 则， . 故选A. 2、（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 3、（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为． 【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论； （2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论； （3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论． 【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P， ∴∠PQB=90°． ∵∠MQN=90°， ∴∠NQP=∠MQB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO， ∴∠DPQ=45°，DQ=PQ， ∴∠DPQ=∠DBC=45°， ∴△QPN∽△QBM， ∴， ∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD， ∴DO=2DQ，DP=DC， ∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC， ∴BQ=3PQ， ∴， ∴NP=BM， ∴DN+BM=BC； （2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H， ∴∠BQH=∠DQH=90°， ∴∠BHQ=45°， ∵∠COB=90°， ∴QH∥OC， ∵Q是OB的中点， ∴BH=CH=BC， ∵∠NQM=90°， ∴∠NQD=∠MQH， ∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°， ∴∠QND=∠QMH， ∴△QHM∽△QDN， ∴， ∴HM=ND， ∵BM-HM=HB， ∴BM−DN=BC． 故答案为：BM−DN=BC； （3）∵MB：MC=3：1，设CM=x， ∴MB=3x， ∴CB=CD=4x， ∴HB=2x， ∴HM=x． ∵HM=ND， ∴ND=3x， ∴CN=7x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ED∥BC， ∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF， ∴， ∴， ∴DE=x， ∴， ∵NQ=9， ∴QM=3， 在Rt△MNQ中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 设EF=a，则FM=7a， ∴， ∴． ∴EF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点Q，设，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出（用k表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点Q，设，    ， ∴可以假设，， 点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 由翻折的性质可知， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，B关于的对称点为，过作于F，连接，若为等腰直角三角形，则的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，易证得四边形和四边形是矩形，进而可证得四边形是正方形，设正方形的边长为，则可得，，根据轴对称的性质可得，，，根据勾股定理可得，即，解方程即可求得正方形的边长，于是可求得，的长，进而可证得，于是可得，即，据此即可求得的长． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，，，， 四边形是矩形，， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是正方形， ， 设正方形的边长为，则： ，， 关于的对称点为， 根据轴对称的性质可得：，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，利用邻补角互补求角度，矩形的判定与性质，两直线平行内错角相等，正方形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，代数式求值，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 2．已知：如图，在中，，点为上一个动点，正方形的顶点E、F都在边上，点在外，若，则正方形边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到，求得得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形边长为． 故答案为：． 3．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为． ①求的长； ②若M、N分别是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②周长最小值为 【分析】（1）结合正方形的性质以及旋转的性质，得到，，，根据“直等补”四边形的定义判断即可； （2）①过C作于点F，先证明四边形是矩形，得到，，再证明，，设，根据勾股定理得到，代入列方程求解即可． ②延长至，使，延长至，使，连接，，，，，过作交直线与，由，得到垂直平分，垂直平分，推出，，即可得到周长，当分别与交于点M、N时，周长最小，最小值为的长，再证明，求出，，最后根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图2， 则， ∵四边形是“直等补”四边形，，，， ∴，， ∴， ∵点B到直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，． ②如图，延长至，使，延长至，使，连接，，，，，过作交直线与，则， ∵， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴，， ∴周长， ∴当分别与交于点M、N时，周长最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，矩形的判定与性质，旋转的性质以及正方形的性质等知识，理解“直等补”的意义，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 【答案】证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G 则（模型结论）． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 1．如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 【答案】D 【分析】此考查了相似三角形的判定和性质．先求出，，再证明得到，,则，，即可求出． 【详解】解：∵与等高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 2．如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 3．如图，中，点E是边的中点，交对角线于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵中，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，在正方形中，M，N是边上的两点，连接，，过点A作的垂线，交于点P．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作，分别证明，，再分别求出，与的关系表达式，进而可求出与的比值． 【详解】解：过点P作于点E， 设，则，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的性质，适当的作出辅助线，灵活运用勾股定理求出对应边的关系式是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 5．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】连接，交于点，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长．本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接，交于点； ，， 在直角三角形中，， ， ， ， ， ， ． ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 6．如图，平行四边形的边长，，平分，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点F作，交于点H，交于点O，根据平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质可得，即，，证得，可得，求得，再根据平行四边形的判定与性质可得，，证得，得，求得，即，证明，可得，求得，即可求解． 【详解】解：过点F作，交于点H，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 8．如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，利用等面积法得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴在中，， ∵以为直角边作等腰，且， ∴， 故答案为：； （2）过点A作于G，如图所示：    ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，推出，再证，则． 【详解】解：点是的中点， ， 是的角平分线， ， 又，即， ， ； ，， ， ， 和的面积比是， 故答案为：． 10．如图，在平行四边形中，平分分别交延长线于点F，G，E，记与的面积分别为，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，推出，设，，则，，，证明，得出，证明，得出，推出，，从而得出，，求出得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键． 11．如图，在中，点F在边上，，直线与对角线相交于点E，交的延长线于点G，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出和的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，再证，，求出的长，然后证，求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 即 解得： 故答案为：3． 12．如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，求出，再证明，，，对应边成比例即可解决问题． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)15 (2) (3)为或 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）由（1）可得，再证明，可得，从而得到，过作交于，可得，同理，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； （3）解：①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ，． ②当时，在上截取，连接， ，； ， ， ，， ， ． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 14．如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)的值是24 (2) (3)当为或时 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，列代数式，解题的关键是用含的代数式表示相关线段的长度，通过列方程解决问题． （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； （2）解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 15．综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且． 【问题探究】 如图1，若，点在线段上，点在线段上， (1)判断与的数量关系是 ． (2)求证：； 【拓展延伸】 (3)若，，连接，当时，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)的长为或． 【分析】（1）连接，利用全等三角形判定定理证明，即可得出结论； （2）由（1）中的结论得，得到，再结合是等腰直角三角形得到，通过等量代换即可完成证明； （3）由点在直线上且，故需要分情况①点在线段上；②点在延长线上，2种情况的辅助线和解题思路基本一致：过点D作交于P，交于Q，先利用平行线分线段成比例的性质证得P、Q分别为、的中点，再利用四边形是矩形得到和的长度，再通过证明，并利用对应边成比例的性质得到的长度，最后在中运用勾股定理即可求解的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 是等腰直角三角形，， 又为的中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）证明：由（1）中的结论得，， ， ， ， ， 即， ． （3）由点在直线上且，故需要分2种情况讨论： ①若点在线段上，如图，过点D作交于P，交于Q， ， ， ， ， 为的中点， ， ，即P为的中点， 同理可得，，即Q为的中点， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 在中，， ； ②若点在延长线上，如图，同①中辅助线， 由①中结论得，P为的中点，Q为的中点，四边形是矩形， ，， ， ，， 同理可证得：， ，即， ， ， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线判定全等三角形，学会作垂线构造直角三角形运用勾股定理，学会判定相似三角形，并利用对应边成比例的性质计算线段的长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 16．综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． (1)请在上述两个方案中任选一个加以证明； (2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选择方案一：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明得，可得结论； 选择方案二：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点，证明四边形和四边形都是矩形，得，，，证明．得，可得结论； （2）如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明，由相似三角形的性质可得结论。 【详解】（1）选择方案一： 证明：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； 选择方案二： 证明：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴； （2）解：如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点。通过作辅助线构造相似三角形和全等三角形的是解题的关键。 17．如图1，四边形和四边形均为正方形，点E，G分别在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想：图1中的值为 ； (2)探究：将正方形绕点A旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由； (3)延伸：若将正方形绕点A旋转到图3位置，其中G，E，B三点在一条直线上，延长交边于点H，若请直接写出正方形与正方形的边长． 【答案】(1)； (2)不变，，详见解析； (3)正方形的边长为6，正方形的边长为，详见解析． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，设，，得出和，则可得出答案； （2）证明，利用比例式计算即可得解； （3）同（2）可得，得出，，证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， 设，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）的值保持不变，理由如下， ∵四边形与四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； （3）同（2）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6，正方形的边长为． 【点晴】本题主考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 18．在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，求证：； (2)如图2，当，且时，求的值； (3)如图3，当时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定即可证得结论； （2）利用折叠性质得出，，进而得出，得出，证明，则，设，可求出，，再证明，进而可求得PB，即可得出结论； （3）证明，得出，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在矩形中，，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）在矩形，， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴，， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识的灵活运用，会利用方程思想解决问题是解答的关键． 19．如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②9 (2) 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；②由，得到，进而求得；利用，相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）连接，利用三角形的三条角平分线相交于一点，可得是的平分线；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，同理可得：；通过证明可得比例式，则可求，，结论可得． 【详解】（1）证明：①平分， ． ， ． ． ； ②∵， ． ， ． ， ． 点为的中点， ． ，， ． ． ． ； （2）解：连接，如图， 平分， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分，平分， 平分． ，． ，， ． ， 又， ． ． ， ． 同理可得：． ， ，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 20．已知，如图，，为射线上一点，，，，射线、相交于； (1)如图，①求证：； ②若，，求的值； (2)如图，若，，直接写出的值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（）①由等腰直角三角形的性质可得，设，，，则，由等腰三角形的性质可得，得到，同理得到，根据可得，即得到，即可求证；②设，可得，由勾股定理得，进而得到，得到，，即得，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）同理（）解答即可求解． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， 设，，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设，由①得， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21．【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程． 【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在从向移动，、、分别是、、的中点，则 ． 【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则 ． 【答案】【定理证明】见解析； 【定理应用】； 【拓展提升】． 【分析】本题考查了相似三角形的判定、三角形中位线定理、直角三角形的性质． 【定理证明】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； 【定理应用】连接，在中求出的长度，再由中位线的性质求出的长度即可； 【拓展提升】在中根据中位线的性质求出的长度，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出的长度，即可求的长度． 【详解】解：【定理证明】 证明：在中，点、分别是与的中点， 且， ， ， ； 【定理应用】如图所示，连接， 四边形是矩形， ，，， 又点是的中点， ， 在中，， 、分别是、的中点， ， 故答案为：； 【拓展提升】如图所示， 点，分别是，的中点， ， 又， 在中点是斜边的中点， ， ， 故答案为： ． 23．在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接． (1)如图①，连接与，交于点． ①求证：； ②求证：； (2)如图②，当时，求证：，，三点在同一条直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． （1）①根据，，可证明结论； ②根据①中相似得，则，，得，从而证明结论； （2）过点作，交延长线于点，连接，，由形相似知，得，得，，证明，得，从而证明结论． 【详解】（1）证明：①四边形为矩形，， ， ，，， ， ∴， ； ②四边形为矩形，， ， ， 由①得， ， 又， ， ， ∴ 又， ， ， ， ∴， ； （2）证明：如图②，过点作，交延长线于点，连接，， 则， 四边形为矩形，，， ，，， ∴， 则， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴； ， ， ， ，，三点在同一条直线上． 24．如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：； (2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】首先根据勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明； 取中点，连接，可证是等边三角形，根据，可证，根据平分，可知，又因为，，三点共线，可知，，所以可证； 取的中点，连接，，构造，利用相似三角形的性质可得，，设，交于点，的中点为，则点是线段上的动点．，当时，最小，利用勾股定理可以求出，根据点是的中点，可得，所以可得：，从而求出，所以可得的最小值为． 【详解】（1）证明：在中，，，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：取中点，连接， 则， 是等边三角形， ． 由知， ，， 平分， ， ，，三点共线， ， ． ， ， 又， ， 取的中点，连接，， 点是的中点， ， ， ， ， 设，的延长线交于点，的中点为． 则点是线段上的动点， 当时，最小， 此时，，， 则此时， 在中，，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， 是的中点， ， 则， 故， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是证明相似三角形，利用相似三角形对应边成比例找线段之间的关系． 25．如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点． 【问题发现】 （1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）； 【类比探究】 （2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长． 【答案】（1）=；（2）不存在，理由见解析；（3） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出，，结合同角的余角相等易证，即得出； （2）由题意可得出，易证，得出，即．又可证，即得出，即； （3）连接，由，可得出．易证，得出，从而可求出．设，则，，分别在中和在中，根据勾股定理列出关于x的等式求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等腰直角三角形． ∵为斜边上的高， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）不存在图甲中的关系，理由： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴，即； （3）解：连接，如图， 由（2）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：（舍），， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用等知识．解本题的关键是熟练掌握全等、相似三角形的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+24道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 1．如图，在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 2．如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 ． 3．如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为 ． 3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ； (2)如图2，在矩形中，＝8，，点是上的一点．连接CE，BD， 且，则的值为 ； (3) 如图2，在矩形中，若．点是上的一点，连接，，且，点E是否为AD的中点？请说明理由． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（23-24·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形纸片的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处，延长，与的平分线相交于点M，交于点N，当时，的值是 ． 3．如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（23-24秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 1．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为(    )   A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 3．菱形对角线AC与BD交于点O，若，过点A作于点M，交BD于点N． (1)如图1，若，求AN的长度． (2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证：． (3)如图3，若，在线段AB上取一点E，使得，连接CE，在CE上任取一点G，R为线段AC边上动点，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（23-24秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．    （1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ； （2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ． 1．如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点D，且，矩形的边在边上，顶点P，Q分别在边上．若的面积为3，则的长为 ． 3．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（23-24秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ） A. B．2 C. D．2 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是边上的高，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 1．如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为 ． 3．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． (1)【感知】 如图，在绕点旋转过程中，若连接，，求的值． (2)【探究】 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)【拓展】在绕点旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．    【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 1．如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 2．如图，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，交边于点．若，，则的值为 ． 3．在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为． 【尝试】 （1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值． 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 1、（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·内蒙古·二模）如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为 3．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 1、（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 2、（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 3、（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    1．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，B关于的对称点为，过作于F，连接，若为等腰直角三角形，则的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 2．已知：如图，在中，，点为上一个动点，正方形的顶点E、F都在边上，点在外，若，则正方形边长为 ． 3．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为． ①求的长； ②若M、N分别是边上的动点，求周长的最小值． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 1．如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 2．如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 3．如图，中，点E是边的中点，交对角线于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，M，N是边上的两点，连接，，过点A作的垂线，交于点P．若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．1 6．如图，平行四边形的边长，，平分，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为 ． 8．如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 9．如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是 ． 10．如图，在平行四边形中，平分分别交延长线于点F，G，E，记与的面积分别为，，若，则的值是 ． 11．如图，在中，点F在边上，，直线与对角线相交于点E，交的延长线于点G，如果，那么的长是 ． 12．如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N．若，，则的长为 ． 13．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 14．如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 15．综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且． 【问题探究】 如图1，若，点在线段上，点在线段上， (1)判断与的数量关系是 ． (2)求证：； 【拓展延伸】 (3)若，，连接，当时，求的长． 16．综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． (1)请在上述两个方案中任选一个加以证明； (2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 17．如图1，四边形和四边形均为正方形，点E，G分别在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想：图1中的值为 ； (2)探究：将正方形绕点A旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由； (3)延伸：若将正方形绕点A旋转到图3位置，其中G，E，B三点在一条直线上，延长交边于点H，若请直接写出正方形与正方形的边长． 18．在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，求证：； (2)如图2，当，且时，求的值； (3)如图3，当时，求的值． 19．如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 20．已知，如图，，为射线上一点，，，，射线、相交于； (1)如图，①求证：； ②若，，求的值； (2)如图，若，，直接写出的值． 21．【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程． 【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在从向移动，、、分别是、、的中点，则 ． 【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则 ． 23．在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接． (1)如图①，连接与，交于点． ①求证：； ②求证：； (2)如图②，当时，求证：，，三点在同一条直线上． 24．如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：； (2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 25．如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点． 【问题发现】 （1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）； 【类比探究】 （2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$