（易错讲义）第八单元 垂直与平行线（12个易错点+8个常考点+14个突破点）-2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本（苏教版）

小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本 第八单元 垂直与平行线 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 十二大易错小知识点 3 八大常考易错点 3 易错点1：误认为直线和射线能测量。 3 易错点2：误认为过一点只能画一条射线或直线。 4 易错点3：把该看内圈刻度还是外圈刻度混淆了。 4 易错点4：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 4 易错点5：误认为大于90°的角就是钝角。 5 易错点6：没有理解点到直线的距离就是这一点到直线的垂线。 6 易错点7：对平行线的概念没有掌握,导致判断错误。 6 易错点8：误认为两条直线不相交就是平行。 7 十四大易错突破点 7 突破点一认识线段、直线和射线 7 突破点二点到直线的距离 8 突破点三角的认识 9 突破点四角的分类 10 突破点五角的度量 11 突破点六角的大小比较 13 突破点七认识垂直 14 突破点八认识平行 15 突破点九计算角的度量 16 突破点十用量角器画角 17 突破点十一用三角尺画角 17 突破点十二画平行线 18 突破点十三画垂线 19 突破点十四解决复杂问题 20 易错知识点 十二大易错小知识点 1、线可以向两端无限延伸，射线只能向一端无限延伸，它们的长度都无法测量。 2、数射线的关键是找准端点，如果这个点在一条直线上，那么由这个点能数出2条射线。 3、角的两边是两条射线。 4、量角时，角的一边与内圈的0°刻度线重合，就读内圈刻度；角的一边与外圈的0°刻度线重合，就读外圈刻度。 5、开口向右的角一般要看内圈刻度。 6、并不是所有的角都一定要用量角器去画，有一些角借助三角尺会更简便。 7、平角的两条边在同一条直线上，但平角不是一条直线，周角的两条边重合在一起，但不是一条射线。 8、与测量角时一样，画角也要分清内圈刻度与外圈刻度。 9、画角时一定要标出角的符号。 10、只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。 11、 把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。 12、无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。 易错点剖析 八大常考易错点 易错点1：误认为直线和射线能测量。 判断：小明在纸上画了一条长5厘米的直线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】这句话错在没有理解直线的特征。直线没有端点,可以向两端无限延长,因而无法测量出它的长度,所以这句话是错的。 【正确解答】错误 易错点2：误认为过一点只能画一条射线或直线。 下图中可以找到几条射线? 【错误答案】可以找到2条射线。 【错解分析】错误解答错在认为从一点出发只能画一条射线。为了便于说明,假设两个点分别为A、B。射线只有一个端点,图中以A点为端点可以找到两条射线，一条向左无限延长，一条向右无限延长;同样以B点为端点也可以找到两条射线,所以可以找到四条射线。 【正确解答】可以找到4条射线。 易错点3：把该看内圈刻度还是外圈刻度混淆了。 读出下面角的度数。 【错误答案】60° 【错解分析】错误解答错在没有掌握用量角器量角的正确方法。图中这个角的一条边和量角器的右边0°刻度线重合,所以读数时要看内圈刻度。 【正确解答】120° 易错点4：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 量出下面角的度数。 【错误答案】这个角是70°。 【错解分析】错误解答错在虽然将量角器的中心和角的顶点重合了,但是没有把量角器的0°刻度线和角的一条边重合。量角时应该做到三个重合,即量角器的中心和角的顶点重合,量角器的0°刻度线和角的一条边重合,刻度线与角的另一条边重合。 【正确解答】这个角是40°。 易错点5：误认为大于90°的角就是钝角。 判断：大于90°的角是钝角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对钝角的概念不理解,大于90"的角除了钝角还有其他的角,比如平角、周角,不能说平角是钝角,也不能说周角是钝角。“钝角都大于90°”这是正确的,反过来像上面这句“大于90°的角是钝角”就错了。 【正确解答】错误 易错点6：没有理解点到直线的距离就是这一点到直线的垂线。 画出表示点A到已知直线的距离的线段。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在所画的线段和直线不垂直,没有理解点到直线的距离。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这点到这条直线的距离,就是说所画的线段要和这条直线互相垂直。 【正确解答】 易错点7：对平行线的概念没有掌握,导致判断错误。 判断：不相交的两条线叫作平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对平行线中的“线”认识不清。平行线中的线必须是直线,且必须是在同一平面内的直线。如右图中,AB与CD不相交，但也不平行,因为它们不在同一平面内。应该说“同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线”。 【正确解答】错误 易错点8：误认为两条直线不相交就是平行。 判断:下图中的两条直线互相平行。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错误的原因有两个：一是没有意识到直线是可以无限延长的;二是认为“不相交"就是“互相平行”。这两条直线看上去没有相交,就认为是平行的。直线是可以无限延长的,把这两条直线延长后,它们相交,所以它们不互相平行。 【正确解答】错误 易错题突破 十四大易错突破点 突破点一认识线段、直线和射线 1．过一点可以画( )条直线或射线。 2．下面这把尺子只有1厘米、4厘米和6厘米的刻度，用这把尺子一次可以量出( )条不同长度的线段。 3．下图中哪些是线段？哪些是直线？哪些是射线？ 线段有 ；直线有 ；射线有 。 4．想一想线段、射线和直线有什么不同，填写下表。 图示 名称 不同点 端点 长度 突破点二点到直线的距离 5．小明从家到学校有三条路可走，哪条路最近？为什么？请你帮小明想一想。 小明应该选路线( )。因为 。 6．如图，小兔家到小猴家的最短路线是( )号路线。 7．乐乐和小狗玩掷飞盘游戏，小狗要想最快捡到飞盘，应该选( )号路线，你的理由是( )。 8．从张丽家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是137米、207米、112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 突破点三角的认识 9．图中的角可以记作( )，读作( )。 10．仔细观察，找出规律，完成表格。 …… 射线条数 2 3 4 …… 角的个数 1 ( ) ( ) …… 按照这样的画法，6条射线可以形成( )个角。 11．一个长方形，沿一条直线剪去一个角，可能有( )个角，也可能有( )个角，还可能有( )个角。 突破点四角的分类 12．将一张正方形的纸对折成下面的样子，说说它们各是什么角，再填空。 ∠2＝( )个∠1＝( )°，∠3＝( )个∠1＝( )个∠2＝( )° 13．写出下面各个角的名称，再按要求填空。 ( )角      ( )角          ( )角        ( )角      ( )角 把它们按从小到大的顺序排列是 。 14．下面钟面上的分针从12起各走了多少分钟？形成的角各是什么角？分别是多少度？ 分       分               分           分 角        角               角           角 度        度               度           度 突破点五角的度量 15．李明在托盘中放入一个西瓜，指针正好顺时针旋转了90°，这个西瓜的质量是( )千克。 16．看一看，说一说。 上面用量角器量角方法正确的有( )。 17．先估计，再量一量。 估计 实际 ∠1 （    ）度 （    ）度 ∠2 （    ）度 （    ）度 ∠3 （    ）度 （    ）度 18．看一看量角器上的刻度，把各个角的度数写下来。 ( )  ( )  ( )  ( ) 19．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 我发现： 。 突破点六角的大小比较 20．分类填一填。                                      锐角                    直角                   钝角                   平角 21．图中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 22．8时整，钟面上分针和时针形成的角是( )角，是( )°；4时30分时钟面上分针和时针形成的角是( )°。 突破点七认识垂直 23．小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是( )°；他又将一张正方形纸对折再对折，打开后剪成一个五边形（如图），这个五边形中的∠1是( )°。 24．观察下面的字母。 E  F  H  L  T  Z  K  N (1)有互相垂直的字母是： ； (2)有互相平行的字母是： ； (3)既有互相平行又有互相垂直的字母是： 。 25．在两条平行线之间有5条垂直线段，如下所示。 这5条垂线之间的关系是 。 26．下面图形中有互相平行的线段吗？各有几组？ ( )组      ( )组    ( )组       ( )组 27．下面每个图形中各有几组互相垂直的线段？ ( )组          ( )组          ( )组         ( )组 突破点八认识平行 28．数一数。 有( )组互相平行的线段   有( )组互相平行的线段。 有( )组互相垂直的线段   有( )组互相垂直的线段。 29．肋木架是较为常见的一种户外健身器材，可以用来练习压腿、倒立等。如下图，肋木架的竖杆互相( )，横杆与竖杆互相( )；所有横杆的长度( )（填“相等”或“不相等”）。 突破点九计算角的度量 30．看图，求指定角的度数。 已知∠1＝45°，∠3＝60°，求∠2的度数。 31．分别算一算图中∠1的度数。 （1）    （2） 32．计算下图中∠1和∠2的度数。 突破点十用量角器画角 33．用量角器画55°、120的角各一个。 34．用量角器画一个85°的角，再分别画出这个角两条边的一条垂线。 35．以点A为顶点，以所给射线为角的一条边，画一个145°的角。 突破点十一用三角尺画角 36．数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°   75°   120° 37．用量角器画一个110°的角，再用一副三角尺画出一个75°的角。 38．请用三角尺画出120°和15°的角。（保留作图痕迹） 突破点十二画平行线 39．动手操作。 过点P作OA的平行线，作OB的垂线。 40．分别画出下面直线的平行线。 一条直线的平行线有（    ）条。 41．用画平行线的方法把下面图形画成有两组对边分别平行的四边形。 突破点十三画垂线 42．画出从小房子到河边最近的路线。 43．你能量出点A点到直线的距离吗？ 44．如下图，小华想帮盲人爷爷从点经过斑马线横过马路，怎样走路线最短？请把最短的路线画下来。 突破点十四解决复杂问题 45．下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 46． （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 47．资料卡： 有趣的角度 （1）丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 （2）标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 （3）中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别75°，90°，105°。 （4）体育老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。 请根据以上材料中的信息并结合本单元所学知识解答下列各题。 角在生活中应用广泛，除资料中“有趣的角度”之外，还有许多有趣的角。本单元我们重点研究了角，还研究了线段、直线、射线。 （1）资料中出现的角中，锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （2）请根据资料卡中描述的角度画出标准红领巾。 （3）小小一副三角板，他们组合能画出不少角度哦！请你试着拼出中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角，并画下来。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级上册数学小马虎错题本 第八单元 垂直与平行线 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 十二大易错小知识点 3 八大常考易错点 3 易错点1：误认为直线和射线能测量。 3 易错点2：误认为过一点只能画一条射线或直线。 4 易错点3：把该看内圈刻度还是外圈刻度混淆了。 4 易错点4：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 4 易错点5：误认为大于90°的角就是钝角。 5 易错点6：没有理解点到直线的距离就是这一点到直线的垂线。 6 易错点7：对平行线的概念没有掌握,导致判断错误。 6 易错点8：误认为两条直线不相交就是平行。 7 十四大易错突破点 7 突破点一认识线段、直线和射线 7 突破点二点到直线的距离 10 突破点三角的认识 11 突破点四角的分类 13 突破点五角的度量 15 突破点六角的大小比较 18 突破点七认识垂直 19 突破点八认识平行 22 突破点九计算角的度量 23 突破点十用量角器画角 24 突破点十一用三角尺画角 25 突破点十二画平行线 26 突破点十三画垂线 28 突破点十四解决复杂问题 30 易错知识点 十二大易错小知识点 1、线可以向两端无限延伸，射线只能向一端无限延伸，它们的长度都无法测量。 2、数射线的关键是找准端点，如果这个点在一条直线上，那么由这个点能数出2条射线。 3、角的两边是两条射线。 4、量角时，角的一边与内圈的0°刻度线重合，就读内圈刻度；角的一边与外圈的0°刻度线重合，就读外圈刻度。 5、开口向右的角一般要看内圈刻度。 6、并不是所有的角都一定要用量角器去画，有一些角借助三角尺会更简便。 7、平角的两条边在同一条直线上，但平角不是一条直线，周角的两条边重合在一起，但不是一条射线。 8、与测量角时一样，画角也要分清内圈刻度与外圈刻度。 9、画角时一定要标出角的符号。 10、只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。 11、 把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。 12、无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。 易错点剖析 八大常考易错点 易错点1：误认为直线和射线能测量。 判断：小明在纸上画了一条长5厘米的直线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】这句话错在没有理解直线的特征。直线没有端点,可以向两端无限延长,因而无法测量出它的长度,所以这句话是错的。 【正确解答】错误 易错点2：误认为过一点只能画一条射线或直线。 下图中可以找到几条射线? 【错误答案】可以找到2条射线。 【错解分析】错误解答错在认为从一点出发只能画一条射线。为了便于说明,假设两个点分别为A、B。射线只有一个端点,图中以A点为端点可以找到两条射线，一条向左无限延长，一条向右无限延长;同样以B点为端点也可以找到两条射线,所以可以找到四条射线。 【正确解答】可以找到4条射线。 易错点3：把该看内圈刻度还是外圈刻度混淆了。 读出下面角的度数。 【错误答案】60° 【错解分析】错误解答错在没有掌握用量角器量角的正确方法。图中这个角的一条边和量角器的右边0°刻度线重合,所以读数时要看内圈刻度。 【正确解答】120° 易错点4：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 量出下面角的度数。 【错误答案】这个角是70°。 【错解分析】错误解答错在虽然将量角器的中心和角的顶点重合了,但是没有把量角器的0°刻度线和角的一条边重合。量角时应该做到三个重合,即量角器的中心和角的顶点重合,量角器的0°刻度线和角的一条边重合,刻度线与角的另一条边重合。 【正确解答】这个角是40°。 易错点5：误认为大于90°的角就是钝角。 判断：大于90°的角是钝角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对钝角的概念不理解,大于90"的角除了钝角还有其他的角,比如平角、周角,不能说平角是钝角,也不能说周角是钝角。“钝角都大于90°”这是正确的,反过来像上面这句“大于90°的角是钝角”就错了。 【正确解答】错误 易错点6：没有理解点到直线的距离就是这一点到直线的垂线。 画出表示点A到已知直线的距离的线段。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在所画的线段和直线不垂直,没有理解点到直线的距离。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这点到这条直线的距离,就是说所画的线段要和这条直线互相垂直。 【正确解答】 易错点7：对平行线的概念没有掌握,导致判断错误。 判断：不相交的两条线叫作平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对平行线中的“线”认识不清。平行线中的线必须是直线,且必须是在同一平面内的直线。如右图中,AB与CD不相交，但也不平行,因为它们不在同一平面内。应该说“同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线”。 【正确解答】错误 易错点8：误认为两条直线不相交就是平行。 判断:下图中的两条直线互相平行。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错误的原因有两个：一是没有意识到直线是可以无限延长的;二是认为“不相交"就是“互相平行”。这两条直线看上去没有相交,就认为是平行的。直线是可以无限延长的,把这两条直线延长后,它们相交,所以它们不互相平行。 【正确解答】错误 易错题突破 十四大易错突破点 突破点一认识线段、直线和射线 1．过一点可以画( )条直线或射线。 【解答】如下图，过一点可以画无数条直线或射线。 2．下面这把尺子只有1厘米、4厘米和6厘米的刻度，用这把尺子一次可以量出( )条不同长度的线段。 【分析】根据题意可知，刻度0到刻度1可以量出一条1厘米的线段；刻度0到刻度4可以量出一条4厘米的线段；刻度0到刻度6可以量出一条6厘米的线段；刻度1到刻度4可以量出一条（4－1）厘米的线段；刻度1到刻度6可以量出一条（6－1）厘米的线段；刻度4到刻度6可以量出一条（6－4）厘米的线段，据此填空即可。 【解答】第一条：1厘米 第二条：4厘米 第三条：6厘米 第四条：4－1＝3（厘米） 第五条：6－1＝5（厘米） 第六条：6－5＝2（厘米） 用这把尺子一次可以量出6条不同长度的线段。 3．下图中哪些是线段？哪些是直线？哪些是射线？ 线段有 ；直线有 ；射线有 。 【分析】直线没有端点，射线只有一个端点，线段有两个端点，直线、射线、线段都是直的，据此填空即可。 【解答】 是曲线，既不是线段也不是直线或射线； 直的有两个端点，是线段； 直的没有端点，是直线； 直的没有端点，是直线； 是曲线，既不是线段也不是直线或射线； 是曲线，既不是线段也不是直线或射线； 直的只有一个端点，是射线。 线段有②；直线有③④；射线有⑦。 4．想一想线段、射线和直线有什么不同，填写下表。 图示 名称 不同点 端点 长度 【分析】直线是由无数个点构成，两端都没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度的一条直线。射线指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度（它无限长）。线段是指两端都有端点，不可延伸，有别于直线、射线。根据线段、直线、射线的定义可知，直线没有端点，是可以无限延伸的；线段有2个端点，它是有限长的，两个端点间的距离就是这条线段的长度；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，据此解答即可。 【解答】 图示 名称 不同点 端点 长度 线段 2个 可测量 射线 1个端点 不可测量 直线 没有端点 不可测量 突破点二点到直线的距离 5．小明从家到学校有三条路可走，哪条路最近？为什么？请你帮小明想一想。 小明应该选路线( )。因为 。 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短。 【解答】小明应该选路线②。因为两点之间，线段最短。 6．如图，小兔家到小猴家的最短路线是( )号路线。 【分析】两点之间的距离，线段最短；一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段，线段有两个端点，可以测量出长度；依此即可解答。 【解答】根据分析可知，小兔家到小猴家的最短路线是（③）号路线。 7．乐乐和小狗玩掷飞盘游戏，小狗要想最快捡到飞盘，应该选( )号路线，你的理由是( )。 【分析】两点之间的连线中，线段最短。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。据此解答。 【解答】乐乐和小狗玩掷飞盘游戏，小狗要想最快捡到飞盘，应该选③号路线，理由是：两点之间线段最短。 【点评】理解两点之间线段最短是解题关键。 8．从张丽家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是137米、207米、112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，看那条小路的长度最短，即是垂线段，据此解答。 【解答】207＞137＞112；112米最短； 所以：有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是112米。 【点评】解答本题的关键是了解点到直线的距离垂线段最短。 突破点三角的认识 9．图中的角可以记作( )，读作( )。 【分析】根据角的概念及表示方法，从一点引出的两条射线组成的图形就是角，角用符号“∠”表示，读作“角”；据此解答。 【解答】根据分析可知： 图中的角可以记∠1，读作角一。 10．仔细观察，找出规律，完成表格。 …… 射线条数 2 3 4 …… 角的个数 1 ( ) ( ) …… 按照这样的画法，6条射线可以形成( )个角。 【分析】观察图形可知，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以2条射线组成1个角；3条射线就可以组成2＋1＝3（个）角；4条射线可以组成3＋2＋1＝6（个）角；依此可得6条射线组成角的个数是5＋4＋3＋2＋1＝15（个）角。 【解答】 …… 射线条数 2 3 4 …… 角的个数 1 （   3   ） （   6   ） …… 按照这样的画法，6条射线可以形成：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）角。 【点评】考查了数角的认识和计数，要有总结规律的能力和应用的能力。 11．一个长方形，沿一条直线剪去一个角，可能有( )个角，也可能有( )个角，还可能有( )个角。 【分析】沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个；进而得出结论。 【解答】如图所示： 一张长方形纸板，沿一条直线剪去一个角后，可能有（3）个角，也可能有（4）个角，还可能有（5）个角。 【点评】解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论。 突破点四角的分类 12．将一张正方形的纸对折成下面的样子，说说它们各是什么角，再填空。 ∠2＝( )个∠1＝( )°，∠3＝( )个∠1＝( )个∠2＝( )° 【分析】把1张正方形纸平均折了2折，被平均分成4份，∠1占其中的1份，这4个角的中心点形成周角，等于360°，所以，所以∠1是直角；∠2占其中的2份，所以，所以∠2是平角；∠3＝360°是周角，据此解答即可。 【解答】根据解析可知，∠1＝90°，是直角；∠2＝180°，是平角；∠3＝360°，是周角； ，所以∠2＝2个∠1＝180°； ，，所以∠3＝4个∠1＝2个∠2＝360°。 13．写出下面各个角的名称，再按要求填空。 ( )角      ( )角          ( )角        ( )角      ( )角 把它们按从小到大的顺序排列是 。 【分析】直角等于90°；平角等于180°；周角等于360°；大于0°小于90°的角是锐角；大于90°小于180°的角是钝角。据此解答。 【解答】 把它们按从小到大的顺序排列是锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 14．下面钟面上的分针从12起各走了多少分钟？形成的角各是什么角？分别是多少度？ 分       分               分           分 角        角               角           角 度        度               度           度 【分析】在钟面上分针走一圈是60分，走一小格是1分，一大格是5分，看走几个大格就是几个5分；一圈是一周角360度，共12个大格，每个大格是360÷12＝30度，分别算出几个大格就走几个30度；平角是射线绕着端点旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。平角为180度。周角是射线绕着端点旋转，回到起始位置时，所成的角叫做周角。周角为360度。直角是平角的一半叫做直角。直角为90度。锐角是小于直角的角叫做锐角。锐角小于90度。钝角是大于直角而小于平角的角叫做钝角。钝角小于180度，大于90度。 【解答】2×5＝10（分），3×5＝15（分），4×5＝20（分），12×5＝60（分）； 2×30＝60（度）锐角，3×30＝90（度）直角，4×30＝120（度）钝角，12×30＝360（度）周角； 突破点五角的度量 15．李明在托盘中放入一个西瓜，指针正好顺时针旋转了90°，这个西瓜的质量是( )千克。 【分析】图中一共被平均分成了8个大格，8个大格可看成是一个周角，为360°，因此用360°除以8，即可计算出每个大格的度数，再看90°里面含几个这样的大格，则西瓜的重量就是几千克，依此解答。 【解答】360°÷8＝45° 90°÷45°＝2（个） 指针顺时针旋转2个大格，就指向2千克。因此这个西瓜的质量是2千克。 16．看一看，说一说。 上面用量角器量角方法正确的有( )。 【分析】用量角器量角的步骤是：把量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【解答】A方法，量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，但角的另一边没有对应的量角器上的刻度，量角方法不正确。 B方法，法量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边对应的量角器上的刻度，量角方法正确。 C方法，量角器的中心与角的顶点不重合，量角方法不正确。 D方法，法量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边对应的量角器上的刻度，量角方法正确。 所以用量角器量角方法正确的有B和D。 17．先估计，再量一量。 估计 实际 ∠1 （    ）度 （    ）度 ∠2 （    ）度 （    ）度 ∠3 （    ）度 （    ）度 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。在进行角度测量的时候一条边没有从零刻度线开始，在读数是应该用末端读数减去起始端读数；据此先观察各个角，估测出各个角大约多少度，再用量角器测量出各个角的度数，并完成填空。 【解答】我估测：∠1≈40°，∠2≈120°，∠3≈120°； 测量得：∠1＝35°，∠2＝110°，∠3＝105°。 填空如下： 估计 实际 ∠1 40度 35度 ∠2 120度 110度 ∠3 120度 105度 18．看一看量角器上的刻度，把各个角的度数写下来。 ( )  ( )  ( )  ( ) 【解答】第1个图，角的一边指向外圈的0刻度线，另一边指向120°，即这个角是120°。 第2个图，角的一边指向内圈的0刻度线，另一边指向55°和60°中间的位置，这个角是57.5°。 第3个图，角的一边指向外圈的0刻度线，另一边指向70°，即这个角是70°。 第4个图，角的一边指向内圈的0刻度线，另一边指向95°的位置，这个角是95°。 19．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 我发现： 。 【分析】用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和其中一条边重合，另一条边指向的刻度，就是这些角的度数。根据这些角的度数，找出这些角的关系，据此解答。 【解答】下图中，∠1＝130°，∠2＝50°，∠3＝50°，∠4＝130°。 我发现：∠1＝∠4，∠2＝∠3。 突破点六角的大小比较 20．分类填一填。                                      锐角                    直角                   钝角                   平角 【分析】大于0°小于90°的角是锐角；大于90°小于180°的角是钝角；直角等于90°，平角等于180°。据此解答。 【解答】 21．图中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【分析】锐角大于0°小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°。据此解答即可。 【解答】如下图∠1、∠6和∠7是锐角；∠3、∠4和∠5是直角；∠3和∠7合起来是钝角，∠2是钝角，即图中有3个直角，3个锐角，2个钝角。 22．8时整，钟面上分针和时针形成的角是( )角，是( )°；4时30分时钟面上分针和时针形成的角是( )°。 【分析】锐角是大于0°小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角；时钟上的12个数字，把钟面平均分成了12大格，每一大格是30°；8时整，时针指向8，分针指向12，时针和分针之间有4大格，时针和分针所成的角是4×30°＝120°，是一个钝角；4时30分时，时针指向4和5的中间，分针指向6，时针和分针之间有1大格和1半格，时针和分针所成的角是1×30°＋30°÷2＝45°；据此解答。 【解答】4×30°＝120°，是一个钝角； 1×30°＋30°÷2 ＝30°＋15° ＝45° 所以8时整，钟面上分针和时针形成的角是（钝）角，是（120）°；4时30分时钟面上分针和时针形成的角是（45）°。 突破点七认识垂直 23．小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是( )°；他又将一张正方形纸对折再对折，打开后剪成一个五边形（如图），这个五边形中的∠1是( )°。 【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；把一张圆形纸片连续对折两次，两条折痕把圆平均分成4份，每一份所对的角是360°÷4＝90°，所以折痕互相垂直，再继续对折一次，这时把圆平均分成8份，每一份所对的角是360°÷8＝45°；五边形中的∠1＝90°＋45°；据此解答。 【解答】根据分析：360°÷4＝90°，所以小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相垂直；360°÷8＝45°，再继续对折一次，这时折成的角是45°；90°＋45°＝135°，所以这个五边形中的∠1是135°。 24．观察下面的字母。 E  F  H  L  T  Z  K  N (1)有互相垂直的字母是： ； (2)有互相平行的字母是： ； (3)既有互相平行又有互相垂直的字母是： 。 【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条直线叫做平行线，由此去判断每个字母是有互相垂直还是有互相平行。 【解答】（1）有互相垂直的字母是：E、F、H、L、T、K； （2）有互相平行的字母是：E、F、H、Z、N； （3）既有互相平行又有互相垂直的字母是：E、F、H。 25．在两条平行线之间有5条垂直线段，如下所示。 这5条垂线之间的关系是 。 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，这就说明了两条平行线之间可以作无数条垂直线段，并且这些垂直线段互相平行。 【解答】两条平行线之间有5条垂直线段，这5条垂线之间的关系是平行且相等。 26．下面图形中有互相平行的线段吗？各有几组？ ( )组      ( )组    ( )组       ( )组 【分析】在同一平面内不相交的两条直线互相平行。找互相平行的两条直线，就是找不相交的两条直线。据此分别找出各图形中互相平行的线段。 【解答】中互相平行的线段是：，共2组； 中互相平行的线段是：，共2组； 中互相平行的线段是：，共3组； 中互相平行的线段是：，共1组。 所以，各图平行线段的组数如下： 27．下面每个图形中各有几组互相垂直的线段？ ( )组          ( )组          ( )组         ( )组 【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；据此找出各图形中互相垂直的线段。 【解答】中互相垂直的线段是：，有1组； 中互相垂直的线段是：，有2组； 中互相垂直的线段是：，有4组； 中互相垂直的线段是：，有3组。 所以，各图形中的互相垂直的线段组数为： 突破点八认识平行 28．数一数。 有( )组互相平行的线段   有( )组互相平行的线段。 有( )组互相垂直的线段   有( )组互相垂直的线段。 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。 【解答】 29．肋木架是较为常见的一种户外健身器材，可以用来练习压腿、倒立等。如下图，肋木架的竖杆互相( )，横杆与竖杆互相( )；所有横杆的长度( )（填“相等”或“不相等”）。 【分析】两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等。 【解答】肋木架的竖杆互相平行，横杆与竖杆互相垂直；所有横杆的长度相等。 突破点九计算角的度量 30．看图，求指定角的度数。 已知∠1＝45°，∠3＝60°，求∠2的度数。 【分析】可知∠1，∠2，∠3组成一个平角，即∠1＋∠2＋∠3＝180°，已知∠1，∠3的度数，求∠2，用180°－∠1－∠3即可。 【解答】∠2＝180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 31．分别算一算图中∠1的度数。 （1）    （2） 【分析】（1）∠1、直角和40°的角组成一个平角，所以180°减90°，再减40°等于∠1； （2）∠1、直角和40°的角组成一个平角，所以180°减90°，再减40°等于∠1。 【解答】（1）∠1＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° ∠1的度数是50°。 （2）∠1＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° ∠1的度数是50°。 32．计算下图中∠1和∠2的度数。 【分析】观察图形可知，40°与∠2组成了一个直角，所以∠2＝90°－40°；∠2与∠1也组成了一个直角，所以∠1＝40°。 【解答】∠2＝90°－40°＝50°； ∠1＝40°。 即∠1＝40°，∠2＝50°。 突破点十用量角器画角 33．用量角器画55°、120的角各一个。 【分析】先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器55°、120°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【解答】 （画法不唯一） 34．用量角器画一个85°的角，再分别画出这个角两条边的一条垂线。 【分析】用量角器画角的一般方法：先确定一个端点，引出一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一个点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；把三角板的一条直角边靠紧直线，沿另一条直角边画的直线就是直线的垂线。据此解答。 【解答】 35．以点A为顶点，以所给射线为角的一条边，画一个145°的角。 【分析】利用量角器画角：将量角器的中心与角的顶点A重合，0刻度线与射线重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角；据此作图。 【解答】根据分析如图： 突破点十一用三角尺画角 36．数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°   75°   120° 【分析】一副三角尺分为直角三角尺和等腰直角三角尺。直角三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°，等腰直角三角尺的度数是45°、90°、45°，把它们进行组合可得到：90°－60°＝30°， 45°＋30°＝75°，30°＋90°＝120°，据此画出各角即可。 【解答】 37．用量角器画一个110°的角，再用一副三角尺画出一个75°的角。 【分析】（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；在量角器110°角刻度线的地方点点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成要求的角； （2）先在三角尺上找到45°的角，先画45°角，再找到30°角，接着以45°角的一边为始边，画出30°的角，即可得到一个75°的角。 【解答】据分析作图如下：             38．请用三角尺画出120°和15°的角。（保留作图痕迹） 【分析】120°＝90°＋30°，则用三角尺的90°角和30°角组合在一起，就能拼出120°角。15°＝45°－30°，则用三角尺的45°角和30°角组合在一起，就能拼出15°角。 【解答】 【点评】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握。用一副三角尺可以画出15°、75°、120°、150°的角，需要把一副三角尺中的两个角拼在一起来画。 突破点十二画平行线 39．动手操作。 过点P作OA的平行线，作OB的垂线。 【分析】过点P画已知直线OA的平行线：先把三角板的一条直角边与直线OA重合，并把直尺靠在三角板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与点P重合，最后沿着三角板直角边过点P画直线，即为OA的平行线； 过点P画直线OB的垂线：先将直尺的一边与直线OB重合，把直角三角板的一条直角边靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边与已知点P重合，最后沿着三角板另一条直角边向OB画直线，即为OB的垂线，并标直角符号。 据此画图即可。 【解答】 40．分别画出下面直线的平行线。 一条直线的平行线有（    ）条。 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，移动到一定的距离停住固定不动，最后沿着三角板画出直线就可以了，平行线就画出来了。 在同一平面内，一条直线外的平行线可以在任意位置画出，所以可以画出无数条平行线。 【解答】根据画平行线的方法，下面直线的平行线如图所示： 一条直线的平行线有无数条。 41．用画平行线的方法把下面图形画成有两组对边分别平行的四边形。 【分析】平行线的画法： 首先让直角板的一条边和已知直线重合，让直角板的一条边和直尺的一条边完全重合，这是两个重合。 然后紧贴着直角板平移三角板。在平移的过程当中要注意三角板要和直角和直尺的边始终重合在一起。 当不断向上平移刚才和已知直线重合的那条边通过点小超家的时候，这就是要画的平行线，可以稍微的延长一点。 第一幅图：分两步画，第一步过左边的上端点画下边的平行线，第二步过下边右端点画左边的平行线与刚才所画平行线相交后把线段长出的部分擦去即可。 第一幅图：分两步画，第一步过右边的上端点画下边的平行线，第二步过下边左端点画右边的平行线与刚才所画平行线相交后把线段长出的部分擦去即可。 【解答】 如图： 突破点十三画垂线 42．画出从小房子到河边最近的路线。 【分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，小房子这一点到河岸的垂线段，就是小房子到河边最近的路线。 【解答】 43．你能量出点A点到直线的距离吗？ 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。画出经过点A到已知直线的垂线段，并量出垂线段的长度，就是点A到直线的距离。 【解答】 44．如下图，小华想帮盲人爷爷从点经过斑马线横过马路，怎样走路线最短？请把最短的路线画下来。 【分析】最短的路线为从点P向马路的一边作的垂线段，把直角三角尺一条直角边与图中最下面的线（马路）重合，使得点P在另一条直角边上，沿着这条直角边过点P向图中最下面的线画线段即为所求的垂线段。 【解答】 突破点十四解决复杂问题 45．下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 【分析】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线； （2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。 【解答】根据分析： （1）（2）如图： （3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。 46． （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 【分析】（1）∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，所以∠1＝∠3。因为∠1是∠2的2倍，和÷倍数和＝1倍数，用90°除以（2＋1）倍即可算出∠2的度数，∠2的度数乘2，可以算出∠1的度数，也就是∠3的度数。 （2）用直角三角尺的一条直角边和OB重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点C重合，过C点沿直角边向OB画直线即可。把三角尺的一条直角边和OA重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和OA重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线即可。 （3）连接点到直线的线段中，垂线段最短。据此画出点A到河岸的垂线段即可。 【解答】（1）90°÷（2＋1） ＝90°÷3 ＝30° 30°×2＝60° 上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝60°。 （2） （3） 47．资料卡： 有趣的角度 （1）丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 （2）标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 （3）中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别75°，90°，105°。 （4）体育老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。 请根据以上材料中的信息并结合本单元所学知识解答下列各题。 角在生活中应用广泛，除资料中“有趣的角度”之外，还有许多有趣的角。本单元我们重点研究了角，还研究了线段、直线、射线。 （1）资料中出现的角中，锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （2）请根据资料卡中描述的角度画出标准红领巾。 （3）小小一副三角板，他们组合能画出不少角度哦！请你试着拼出中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角，并画下来。 【分析】（1）根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义进行解答：大于0°小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°小于180°的角叫做钝角；平角等于180°；周角等于360°；据此解答即可； （2）用量角器的圆点和顶点A、B分别重合，0刻度线和AB重合，在量角器30°的刻度上点上点，过A、B两个点和刚作的点画射线，相交于点C就组成了三个角的角度分别是120°、30°、30°三角形； （3）一副三角板有30°、45°、60°、90°的角，所以90°角用三角板直接就可画出，75°的角可以利用45°＋30°＝75°画出；105°的角可以利用45°＋60°＝105°画出；据此解答。 【解答】（1）资料中出现的角中，锐角有3个，钝角有3个。 （2）据分析作图如下： （3）据分析作图如下： 【点评】本题主要考查角的分类、三角板的角的度数、角的拼图等知识点，以及考查了学生利用三角板和量角器画角的能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$