专题02 有理数及其运算（易错必刷40题12种题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

专题02有理数及其运算（易错必刷40题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数 · 数轴 · 相反数 · 有理数大小比较 · 有理数加法 · 有理数的加减运算 · 有理数的乘法 · 绝对值 · 非负数的性质：绝对值 · 有理数的乘方 · 有理数的混合运算 一．正数和负数（共3小题） 1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（　　） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 【答案】B 【解答】解：由零件标注φ30可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm， ∴最大可以是30+0.03＝30.03（mm）． 故选：B． 2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 【答案】D 【解答】解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 故选：D． 3．在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为86分，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作+12分，若小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为（　　） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 【答案】D 【解答】解：根据题意得：小明98分，应记为+12分；小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为82分． 故选：D． 二．有理数（共1小题） 4．下列说法中正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 【答案】A 【解答】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意； C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意； D．零是有理数，但零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 三．数轴（共8小题） 5．在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（　　） A．2013 B．2014 C．2015 D．2016 【答案】C 【解答】解：2014﹣（﹣1）＝2015，故A，B两点间的距离为2015． 故选：C． 6．点M在数轴上距原点4个单位长度，若将M向右移动2个单位长度至N点，点N表示的数是（　　） A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．6或﹣2 【答案】D 【解答】解：因为点M在数轴上距原点4个单位长度，点M的坐标为±4． （1）点M坐标为4时，N点坐标为4+2＝6； （2）点M坐标为﹣4时，N点坐标为﹣4+2＝﹣2． 所以点N表示的数是6或﹣2． 故选：D． 7．数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．5 C．1或﹣5 D．1或5 【答案】C 【解答】解：如图： 根据数轴可以得到在数轴上与点P距离3个长度单位的点所表示的数是：﹣5或1． 故选：C． 8．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论： 甲：b﹣a＜0 乙：a+b＞0 丙：|a|＜|b| 丁： 其中正确的是（　　） A．甲乙 B．丙丁 C．甲丙 D．乙丁 【答案】C 【解答】解：由图可知：b＜0＜a，|a|＜|b|， ∴b﹣a＜0，a+b＜0，， 综上可知，乙丁错误，甲丙是正确的，故C正确． 故选：C． 9．有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（　　） A．4a+b﹣5 B．4a﹣b﹣5 C．b+5 D．﹣b﹣5 【答案】C 【解答】解：由题意可得，﹣2＜b＜﹣1＜1＜a＜2， ∴|2a|﹣|b|+|2a﹣5| ＝2a﹣（﹣b）+[﹣（2a﹣5）] ＝2a+b﹣2a+5 ＝b+5， 故选：C． 10．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动， 则圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2，2，6...﹣2+4n， 圆周上数字1所对应的点与数轴上的数﹣1，3，7...﹣1+4n， 圆周上数字2所对应的点与数轴上的数0，4，8...4n， 圆周上数字3所对应的点与数轴上的数1，5，9...1+4n， ∵2021＝1+4×505， ∴数轴上的数2021与圆周上数字3重合， 故选：D． 11．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是　﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点A表示的数是x． 依题意，有x+7﹣4＝0， 解得x＝﹣3． 故答案为：﹣3 12．如图，有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示， 则下列结论：①a+b﹣c＞0；②b﹣a＜0；③bc﹣a＜0；④﹣+＝1，其中正确的是　②③　． 【答案】②③． 【解答】解：根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置可知： ①因为a+b﹣c＜0，所以①错误； ②因为b﹣a＜0，所以②正确； ③因为bc﹣a＜0，所以③正确； ④因为﹣+＝﹣+＝1+1+1＝3，所以④错误． 所以其中正确的是②③． 故答案为：②③． 四．相反数（共1小题） 13．已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程3x+2＝﹣4， 解得：x＝﹣2， 因为x、y互为相反数， 所以y＝2， 把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1， 解得：m＝2． 五．绝对值（共10小题） 14．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 【答案】C 【解答】解：∵|a|＝a， ∴a为绝对值等于本身的数， ∴a≥0， 故选：C． 15．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（　　） A．x＝4或x＝﹣3 B．x＝4 C．x＝3或x＝﹣4 D．x＝﹣3 【答案】A 【解答】解：∵|2x﹣1|＝7， ∴2x﹣1＝±7， ∴x＝4或x＝﹣3． 故选：A． 16．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．5 【答案】A 【解答】解：|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，|3|＝3，|5|＝5， ∵2＜3＜5， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记为﹣2的工件． 故选：A． 17．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（　　） A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2 【答案】C 【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6， ∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6， ∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10． 故选：C． 18．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 【答案】A 【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17； 第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11； 第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5； 第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1； 第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7； 第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； 第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； … 第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7． 故选：A． 19．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 【答案】D 【解答】解：x的相反数是3，则x＝﹣3， |y|＝5，y＝±5， ∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8． 则x+y的值为﹣8或2． 故选：D． 20．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝　0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b＝0， ∴|a﹣c|﹣|b+c|＝c﹣a﹣c﹣b＝﹣（a+b）＝0． 21．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为　4或0或2　． 【答案】4或0或2． 【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0， ∴a、b、c三个数中必定是一正两负， ∴当a＜0，b＜0，c＞0时，ab＞0，此时 ＝﹣1+2+3＝4； 当a＜0，b＞0，c＜0时，ab＜0，此时 ＝﹣1﹣2+3＝0 当a＞0，b＜0，c＜0时，ab＜0，此时 ＝1﹣2+3＝2 故答案为：4或0或2． 22．绝对值大于3而不大于7的所有整数是　﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7．　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：绝对值大于3且不大于7的所有整数是﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7． 故答案为：﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7． 23．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　7　， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　|x﹣2|　． （3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是　﹣3、﹣2、﹣1、0、1　． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，故答案为：7； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|； （3）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5， 解得：x＝7或x＝﹣3， 故答案为：7或﹣3； （4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|＝4， ∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当3≤x≤6时，有最小值是3． 六．非负数的性质：绝对值（共1小题） 24．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3． 故选：A． 七．有理数大小比较（共1小题） 25．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（　　） A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 【答案】B 【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴﹣a＜0，﹣a＞b，﹣b＞0，﹣b＞a， 即b＜﹣a＜a＜﹣b， 故选：B． 八．有理数的加法（共2小题） 26．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　﹣3或﹣6　． 【答案】﹣3或﹣6． 【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，解得b＝﹣5， 6+4﹣5+x＝2，解得x＝﹣3， 则a＝2，y＝﹣1或a＝﹣1，y＝2， 当a＝2时， a+b＝2+（﹣5）＝﹣3； 当a＝﹣1时， a+b＝﹣1+（﹣5）＝﹣6， 故答案为：﹣3或﹣6． 27．某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行汽车出租，到晚上6时，一天行驶记录如下：（向东记为正，向西记为负，单位：千米）+10、﹣3、+4、+2、+8、+5、﹣2、﹣8、+12、﹣5、﹣7 （1）到晚上6时，出租车在什么位置． （2）若汽车每千米耗油0.2升，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少升？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（+10）+（﹣3）+（+4）+（+2）+（+8）+（+5）+（﹣2）+（﹣8）+（+12）+（﹣5）+（﹣7） ＝10﹣3+4+2+8+5﹣2﹣8+12﹣5﹣7 ＝41﹣25 ＝16（千米）． ∴到晚上6时，出租车在停车场东边16千米； （2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|﹣2|+|﹣8|+|+12|+|﹣5|+|﹣7| ＝10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 ＝66（千米）， 0.2×66＝13.2（升）． 九．有理数的加减混合运算（共2小题） 28．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 【答案】C 【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7． 故选：C． 29．将﹣2﹣（+5）﹣（﹣7）+（﹣9）写成省略括号的和的形式是（　　） A．﹣2+5﹣7﹣9 B．﹣2﹣5+7+9 C．﹣2﹣5﹣7﹣9 D．﹣2﹣5+7﹣9 【答案】D 【解答】解：﹣2﹣（+5）﹣（﹣7）+（﹣9）＝﹣2﹣5+7﹣9． 故选：D． 一十．有理数的乘法（共2小题） 30．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　±2　． 【答案】±2． 【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝6， ∴x＝±8，y＝±6． ∵xy＞0， ∴x、y同号． ∴当x＝8时，y＝6，x﹣y＝8﹣6＝2．当x＝﹣8时，y＝﹣6，x﹣y＝﹣8﹣（﹣6）＝﹣2． 故答案为：±2． 31．若x＝5，|y|＝3，且xy＜0，则代数式x﹣2y＝　11　． 【答案】11． 【解答】解：∵|y|＝3， ∴y＝±3， ∵xy＜0， ∴x，y异号， ∵x＝5， ∴y＝﹣3， ∴x﹣2y＝5﹣2×（﹣3）＝5+6＝11， 故答案为：11． 一十一．有理数的乘方（共4小题） 32．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【答案】C 【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误； B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确； D、＝，＝，≠，故本选项错误． 故选：C． 33．一根长为2020厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2019次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为　1　厘米． 【答案】1厘米． 【解答】解：2020×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣） ＝2020×××…× ＝1（厘米）． 答：剩下的塑料管长为1厘米． 故答案为：1． 34．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　127　条． 【答案】127． 【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1； 第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1； 第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1； 第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1； ……， ∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127， 故答案为：127． 35．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得： 2S﹣S＝22014﹣1，即S＝22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013＝22014﹣1 请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵设S＝1+3+32+33+…+32014，则3S＝3+32+33+…+32014+32015， ∴2S＝32015﹣1， ∴． 一十二．有理数的混合运算（共5小题） 36．日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【答案】D 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 37．2020年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯300盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：盏） +4 ﹣6 ﹣3 +10 ﹣5 +11 ﹣2 （1）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？ （2）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元．若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励15元，少生产一盏扣20，那么该灯具厂工人上周的工资总额是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4﹣6﹣3+10﹣5+11﹣2＝9（盏）， 300×7+9＝2109（盏）， 答：该该灯具厂上周实际生产景观灯2109盏； （2）根据题意，4+10+11＝25（盏）， 6+3+5+2＝16（盏）， 2109×50+25×15﹣16×20＝105505（元）， 答：该灯具厂工人上周的工资总额是105505元． 38．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表： 与标准重量的差值（单位：千克） ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.25 0.3 0.5 箱数 1 2 4 6 n 2 （1）求n的值及这20箱樱桃的总重量； （2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元； （3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱）， 10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2 ＝203（千克）； 答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克； （2）25×203﹣200×20 ＝1075（元）； 答：全部售出可获利1075元； （3）25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20 ＝466（元）． 答：是盈利的，盈利466元． 39．计算： （1）32×（﹣）+8÷（﹣2）2． （2）（﹣﹣）×（﹣36） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）32×（﹣）+8÷（﹣2）2． ＝9×（﹣）+8÷4， ＝﹣3+2， ＝﹣1； （2）（﹣﹣）×（﹣36）， ＝﹣36×+36×+36×， ＝﹣18+30+21， ＝﹣18+51， ＝33． 40．小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元．月末结算时，每周每天以50碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）： 周次 一 二 三 四 销售量 38 26 10 ﹣4 （1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？ （2）这四周总销售额是多少？ （3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元． 若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出？ 【答案】（1）第二周收益最多，为1010.8元； （2）这四周总销售额是9674元． （3）小刘更希望以方案二卖出． 【解答】解：（1）先算出每一周每天的平均收益： 第一周每天的平均收益：（4.5﹣3.1）×（38+50）＝123.2（元）； 第二周每天的平均收益：（5﹣3.1）×（26+50）＝144.4（元）； 第三周每天的平均收益：（5.5﹣3.1）×（10+50）＝144（元）； 第四周每天的平均收益：（6﹣3.1）×（50﹣4）＝133.4（元）． ∵123.2＜133.4＜144＜144.4， ∴第二周每天的平均收益最多，一周的总收益为144.4×7＝1010.8（元）． （2）这四周总销售额是： 7×[（38+50）×4.5+（26+50）×5+（10+50）×5.5+（50﹣4）×6]＝9674（元）； 答：这四周总销售额是9674元． （3） 小刘一次卖出4碗的收益有如下两种方案： 方案一：4×（6﹣3.1﹣0.7）＝8.8（元）； 方案二：4×（6﹣3.1）﹣2＝9.6（元）； ∵9.6＞8.8， ∴方案二收益最多， ∴小刘更希望以方案二卖出． $$专题02有理数及其运算（易错必刷40题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数 · 数轴 · 相反数 · 有理数大小比较 · 有理数加法 · 有理数的加减运算 · 有理数的乘法 · 绝对值 · 非负数的性质：绝对值 · 有理数的乘方 · 有理数的混合运算 一．正数和负数（共3小题） 1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（　　） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 3．在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为86分，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作+12分，若小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为（　　） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 二．有理数（共1小题） 4．下列说法中正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 三．数轴（共8小题） 5．在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（　　） A．2013 B．2014 C．2015 D．2016 6．点M在数轴上距原点4个单位长度，若将M向右移动2个单位长度至N点，点N表示的数是（　　） A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．6或﹣2 7．数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．5 C．1或﹣5 D．1或5 8．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论： 甲：b﹣a＜0 乙：a+b＞0 丙：|a|＜|b| 丁： 其中正确的是（　　） A．甲乙 B．丙丁 C．甲丙 D．乙丁 9．有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（　　） A．4a+b﹣5 B．4a﹣b﹣5 C．b+5 D．﹣b﹣5 10．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是　 　． 12．如图，有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示， 则下列结论：①a+b﹣c＞0；②b﹣a＜0；③bc﹣a＜0；④﹣+＝1，其中正确的是　 　． 四．相反数（共1小题） 13．已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值． 五．绝对值（共10小题） 14．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 15．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（　　） A．x＝4或x＝﹣3 B．x＝4 C．x＝3或x＝﹣4 D．x＝﹣3 16．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．5 17．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（　　） A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2 18．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 19．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 20．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝　 　． 21．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为　 　． 22．绝对值大于3而不大于7的所有整数是　 　． 23．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　 　， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　 　． （3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　 　． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是　 　． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 六．非负数的性质：绝对值（共1小题） 24．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 七．有理数大小比较（共1小题） 25．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（　　） A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 八．有理数的加法（共2小题） 26．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　 　． 27．某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行汽车出租，到晚上6时，一天行驶记录如下：（向东记为正，向西记为负，单位：千米）+10、﹣3、+4、+2、+8、+5、﹣2、﹣8、+12、﹣5、﹣7 （1）到晚上6时，出租车在什么位置． （2）若汽车每千米耗油0.2升，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少升？ 九．有理数的加减混合运算（共2小题） 28．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 29．将﹣2﹣（+5）﹣（﹣7）+（﹣9）写成省略括号的和的形式是（　　） A．﹣2+5﹣7﹣9 B．﹣2﹣5+7+9 C．﹣2﹣5﹣7﹣9 D．﹣2﹣5+7﹣9 一十．有理数的乘法（共2小题） 30．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　 　． 31．若x＝5，|y|＝3，且xy＜0，则代数式x﹣2y＝　 　． 一十一．有理数的乘方（共4小题） 32．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 33．一根长为2020厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2019次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为　 　厘米． 34．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　 　条． 35． 阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得： 2S﹣S＝22014﹣1，即S＝22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013＝22014﹣1 请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值． 一十二．有理数的混合运算（共5小题） 36．日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 37．2020年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯300盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：盏） +4 ﹣6 ﹣3 +10 ﹣5 +11 ﹣2 （1）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？ （2）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元．若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励15元，少生产一盏扣20，那么该灯具厂工人上周的工资总额是多少元？ 38．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表： 与标准重量的差值（单位：千克） ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.25 0.3 0.5 箱数 1 2 4 6 n 2 （1）求n的值及这20箱樱桃的总重量； （2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元； （3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元 39．计算： （1）32×（﹣）+8÷（﹣2）2． （2）（﹣﹣）×（﹣36） 40．小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元．月末结算时，每周每天以50碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）： 周次 一 二 三 四 销售量 38 26 10 ﹣4 （1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？ （2）这四周总销售额是多少？ （3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元． 若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出 $$