专题01 勾股定理（易错必刷35题6种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题01 勾股定理（易错必刷35题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理 · 勾股定理的证明 · 勾股定理的逆定理 · 勾股数 · 勾股定理的应用 · 平面展开-最短路径问题 一．勾股定理（共14小题） 1．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 2．小明用5张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为36，64，144，则正方形B的面积为（　　） A．172 B．100 C．80 D．44 3．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 5．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，CD为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝64，则S3的值为（　　） A．8 B．12 C．24 D．60 7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　． 8．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD．若CD＝6，则BE的长为 　 　． 9．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　 　，OPn＝　 　（n为自然数，且n＞0） 10．在△ABC中，，AC＝2，∠B＝30°，求BC的长（　　） A．4 B．2 C．4或6 D．2或4 11．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵S正方形ABED＝c2，S△ABC＝　 　， 正方形CFGH边长为 　 　， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即a2+b2＝c2． 【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E． （2）求证：DE＝a，BE＝b； （3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”．若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 12．在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D． （1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数； （2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长． 13．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 14．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　 　； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 　； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 二．勾股定理的证明（共2小题） 15．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 16．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 三．勾股定理的逆定理（共8小题） 17．若△ABC的三边为下列四组数据，则能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10 18．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 19．如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则∠PNM度数是（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 20．如图，若正方形网格中每个小方格的边长为1，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 21．如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 　 　． 22．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41，能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有 　 　个． 23．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）∠BAD是直角吗？为什么？ 24．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 四．勾股数（共2小题） 25．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 26．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　 　． 五．勾股定理的应用（共5小题） 27．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 28．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 29．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12cm，即BD＝12cm，则水深BC的长为 　 　cm． 30．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长a的取值范围是 　 　cm． 31．如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？ 六．平面展开-最短路径问题（共4小题） 32．已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（　　） A．14 B． C．10 D． 33．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　 　米．（精确到0.01米） 34．如图为某教学楼楼梯，测得楼梯的底为5米，高为3米，为使学生在上下楼时有序上下，想在楼梯表面中间贴上隔离条，隔离条的长度至少需要 　 　． 35．一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为20cm，A，B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在点B的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． $$专题01 勾股定理（易错必刷35题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理 · 勾股定理的证明 · 勾股定理的逆定理 · 勾股数 · 勾股定理的应用 · 平面展开-最短路径问题 一．勾股定理（共14小题） 1．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 2．小明用5张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为36，64，144，则正方形B的面积为（　　） A．172 B．100 C．80 D．44 【答案】D 【解答】解：如图： 由题意得：正方形E的面积+正方形C的面积＝正方形D的面积， ∴正方形E的面积＝正方形D的面积﹣正方形C的面积＝144﹣64＝80， 由题意得：正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形E的面积， ∴正方形B的面积＝正方形E的面积﹣正方形A的面积＝80﹣36＝44， 故选：D． 3．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N， 由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG， ∴∠BCP＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB， 又∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴PM＝PN， ∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7， ∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3， ∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3， ∴AC：BC＝2：， ∴＝＝＝， 即S△ACP：S△BCP等于2：． 故选：A． 5．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示，∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE， ∴2S2＝S1． 观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…， ∴Sn＝（）n﹣3． 当n＝2018时，S2018＝（）2018﹣3＝（）2015． 故选：A． 6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，CD为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝64，则S3的值为（　　） A．8 B．12 C．24 D．60 【答案】B 【解答】解：如图，过A作AE∥CD交BC于点E，则∠AEB＝∠DCB， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE＝AD，AE＝CD， ∵∠ABC+∠DCB＝90°， ∴∠AEB+∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝90°， ∴BE2＝AB2+AE2， ∵BC＝2AD， ∴BC＝2BE， ∴BC2＝AB2+CD2，即×64＝4+S3， ∴S3＝12， 故选：B． 7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　34　． 【答案】34． 【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形， ∴BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°， 在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9， 在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25， ∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2， 在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2， ∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 故答案为：34． 8．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD．若CD＝6，则BE的长为 　9.6　． 【答案】9.6． 【解答】解：∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴AC2+BC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵CD＝6， ∴AD＝＝＝10， ∵BE⊥AD， ∴△ABD的面积＝BD•AC＝AD•BE， ∴BD•AC＝AD•BE， ∴12×8＝10BE， 解得：BE＝9.6， 故答案为：9.6． 9．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　　，OPn＝　　（n为自然数，且n＞0） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，OP1＝； OP2＝； OP3＝， … 则OP2018＝，OPn＝， 故答案为：；． 10．在△ABC中，，AC＝2，∠B＝30°，求BC的长（　　） A．4 B．2 C．4或6 D．2或4 【答案】D 【解答】′解：①如图：△ABC为锐角三角形． 过点A作AD⊥BC于点D． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝30°，AB＝2， ∴AD＝． ∴BD＝＝3． ∵AC＝2， ∴CD＝C′D＝＝1． ∴BC＝BD+CD＝3+1＝4． ②如图：△ABC为钝角三角形． 过点A作AD⊥BC于点D． 由①可得：BD＝3，CD＝1． ∴BC＝BD﹣CD＝2． 故选：D． 11．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵S正方形ABED＝c2，S△ABC＝　ab　， 正方形CFGH边长为 　（a﹣b）　， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即a2+b2＝c2． 【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E． （2）求证：DE＝a，BE＝b； （3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”．若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）ab；（a﹣b）；（2）证明见解析；（3）第一种方法：S梯形ACED＝ab++c2；第二种方法：S梯形ACED＝（a+b）2；证明解析；（4）393． 【解答】（1）解：由题意得，S△ABC＝ab． ∵图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形， ∴BF＝AC＝b． ∴正方形CFGH边长为：BC﹣BF＝a﹣b． 故答案为：ab；（a﹣b）． （2）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DBE+∠BDE＝90°． ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∴∠ABC＝∠BDE． 又∠C＝∠BED＝90°，AB＝BD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）． ∴BC＝DE＝a，AC＝BE＝b． （3）证明：由题意，第一种方法：S梯形ACED＝S△ABC+S△ABD+S△BED ＝ab+c2+ab ＝ab++c2． 第二种方法：S梯形ACED＝（AC+DE）（CB+BE） ＝（a+b）（a+b） ＝（a+b）2． ∴（a+b）2＝ab++c2． ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2． ∴a2+b2＝c2． （4）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ∴AD+BD＝108÷4＝27． 又设AD＝x， ∴BD＝27﹣x． 在△BCD中，BC2+CD2＝BD2， ∴a2+（b+x）2＝（27﹣x）2． 将a＝12，b＝9代入可得，（9+x）2+144＝（27﹣x）2， ∴x＝7． 由（1）得小正方形的边长等于a﹣b＝12﹣9＝3， ∴风车的面积为：BC×CD×4+3×3＝×12×（9+7）×4+9＝393． 12．在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D． （1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数； （2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠A＝40°， ∴∠DBC＝70°， 又∵CD⊥AB， ∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°； （2）Rt△BCD中，BD＝＝＝9， 设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣9， ∵Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2， ∴（x﹣9）2+122＝x2， 解得x＝＝12.5， ∴AC＝12.5． 13．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 【答案】BC＝20cm． 【解答】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同， ∴BC＝CA， 设BC＝x cm，则CA＝x cm， ∵OA＝36cm ∴OC＝（36﹣x）cm， ∵∠AOB＝90° ∴OB2+OC2＝BC2， ∴122+（36﹣x）2＝x2， 解得：x＝20， ∴BC＝20cm． 14．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　a2+b2+2m2　； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　　； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　≥m　； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】（1）a2+b2+2m2，，≥m； （2）m的最大值为； （3）栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m＝（取正值）． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴≥m． 故答案为：a2+b2+2m2，，≥m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵≥m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m≤． ∴m的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m． ∵面积为32平方米， ∴xy＝32． 由（1）得：≥， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2×． ∴2x+4y≥32． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 二．勾股定理的证明（共2小题） 15．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵S正方形ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， ∴x2＝， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： S梯形NGFM＝（NG+FM）•FG ＝（EM+MF）•FG ＝FE•FG ＝×（2x）2 ＝2x2 ＝． 故选：B． 16．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 三．勾股定理的逆定理（共8小题） 17．若△ABC的三边为下列四组数据，则能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10 【答案】D 【解答】解：A、∵12+22＝5，22＝4， ∴12+22≠22， ∴不能判断△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵32+22＝13，42＝16， ∴32+22≠42， ∴不能判断△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵62+72＝85，82＝64， ∴62+72≠82， ∴不能判断△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵62+82＝100，102＝100， ∴62+82＝102， ∴能判断△ABC是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 18．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【答案】B 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 ＝AB•BC+AC•CD ＝×9×12+×15×8 ＝54+60 ＝114（m2）， ∴这块菜地的面积为114m2， 故选：B． 19．如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则∠PNM度数是（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：连接PM， 由题意得：PM2＝12+32＝10， PN2＝22+42＝20， NM2＝12+32＝10， ∴PM2+MN2＝PN2， ∴△PMN是直角三角形， ∴∠PMN＝90°， ∵PM＝MN＝， ∴∠MPN＝∠MNP＝45°， 故选：C． 20．如图，若正方形网格中每个小方格的边长为1，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解答】解：BC2＝12+82＝65， AB2＝22+32＝13， AC2＝42+62＝52， ∵13+52＝65， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 故选：A． 21．如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 　24　． 【答案】24． 【解答】解：连接AB， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∵BD＝12，AD＝13， ∴AB2+BD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， ∴阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△ABC的面积 ＝AB•BD﹣AC•BC ＝×5×12﹣×4×3 ＝30﹣6 ＝24， 故答案为：24． 22．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41，能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有 　3　个． 【答案】3． 【解答】解：①∵a2：b2：c2＝1：2：3， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， 故①符合题意； ②∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠A＝90°， 故②不符合题意； ③∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵a＝9，b＝40，c＝41， ∴a2+b2＝92+402＝1681，c2＝412＝1681， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， 故④符合题意； 所以，上列条件中，能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有3个， 故答案为：3． 23．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）∠BAD是直角吗？为什么？ 【答案】（1）四边形ABCD的周长为3++； （2）∠BAD是直角，理由见解答． 【解答】解：（1）由题意得： AB2＝12+22＝5， AD2＝42+22＝20， CD2＝12+52＝26， CB2＝12+42＝17， ∴AB＝，AD＝2，CD＝，BC＝， ∴四边形ABCD的周长 ＝AB+AD+CD+BC ＝+2++ ＝3++， ∴四边形ABCD的周长为3++； （2）∠BAD是直角， 理由：连接BD， 由题意得： BD2＝32+42＝25， ∵AB2+AD2＝5+20＝25， ∴AB2+AD2＝BD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAD是直角． 24．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）是． 理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（18﹣x）2＝x2+36， 解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝36+（18﹣x）2， 解得x＝10， 综上所述，BN＝8或10． 四．勾股数（共2小题） 25．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 26．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　（11，60，61）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 五．勾股定理的应用（共5小题） 27．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 【答案】A 【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：A． 28．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 29．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12cm，即BD＝12cm，则水深BC的长为 　9　cm． 【答案】9． 【解答】解：由题意，设水深为h cm，则荷花的高（h+6）cm，且水平距离为12cm， 由勾股定理，CD2＝BD2+BC2， ∴（h+6）2＝122+h2． ∴h＝9． 答：水深9cm． 故答案为：9． 30．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长a的取值范围是 　15.6≤a≤16.6　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）； 最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）． 杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm）， 故管长a的取值范围是15.6≤a≤16.6． 故答案为：15.6≤a≤16.6． 31．如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AC＝x，则BC＝2.2﹣x， 由题意，∠DAC＝∠EBC＝90°， ∴AC2+AD2＝BC2+BE2， ∴x2+2.42＝（2.2﹣x）2+22， 解得x＝0.7， ∴CD＝2.5， 答：梯长2.5米． 六．平面展开-最短路径问题（共4小题） 32．已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（　　） A．14 B． C．10 D． 【答案】C 【解答】解：分三种情况： ①若蚂蚁沿前面和上面爬行，将前面和上面展平，连接PA，如图， 由题意，可知此时PA为爬行的最短路线，∠B＝90°，AB＝6，PB＝3+5＝8， 由勾股定理，得PA＝＝＝10； ②若蚂蚁沿前面和右面爬行，将前面和右面展平，连接PA，如图， 由题意，可知此时PA为爬行的最短路线，∠B＝90°，AB＝6+3＝9，PB＝5， 由勾股定理，得PA＝＝＝； ③若蚂蚁沿左面和上面爬行，将左面和上面展平，连接PA，如图， 由题意，可知此时PA为爬行的最短路线，∠B＝90°，AB＝3，PB＝5+6＝11， 由勾股定理，得PA＝＝＝． ∵10＜＜， ∴蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为10． 故选：C． 33．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　2.60　米．（精确到0.01米） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2＝2.4米；宽为1米． 于是最短路径为：＝2.60米． 故答案为：2.60． 34．如图为某教学楼楼梯，测得楼梯的底为5米，高为3米，为使学生在上下楼时有序上下，想在楼梯表面中间贴上隔离条，隔离条的长度至少需要 　8米　． 【答案】8米． 【解答】解：∵隔离条铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴隔离条的长度至少是3+5＝8（米）． 故答案为：8米． 35．一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为20cm，A，B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在点B的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【答案】25cm． 【解答】解：把这段树干看成用纸卷成的圆柱，从AB处将它展开如下： 则AB即为所求的最短距离． 其中BC＝15cm，AC＝20cm， 在RT△ACB中，AB＝＝＝25（cm）． 答：螳螂绕行的最短路程是25cm． $$