清单03 位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单03位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 【清单02】轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 【清单03】轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点4:两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 【清单04】坐标与图形变化 【清单05】轴对称-最小值问题 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点题型一】确定位置 【典例1】下列表述中能确定准确位置的是（    ） A．教室从左到右第3列 B．文博演出中心第10排 C．北偏东 D．东经，北纬 【变式1-1】李校长和张校长一起去参加市教育局组织的“学生暑假安全教育主题会”，如果李校长的位置在报告厅的“3排6号”，记作，那么张校长的位置在同一报告厅的“4排7号”，记作（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，这是某书法家关于诗歌《登幽州台歌》的书法展示，若 “来”的位置用有序数对表示，则“涕”的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【考点题型二】判断点所在的象限 【典例2】在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点A在第四象限，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点题型三】已知点所在的象限求参数 【典例3】点在y轴上，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】点在x轴上，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点在x轴上，则点A的坐标为 【考点题型四】求点到坐标轴的距离 【典例4】已知点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是 ． 【变式4-2】若点在第三象限，且到x轴的距离为5，则点M的坐标为 ． 【变式4-3】已知点在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为 ． 【考点题型五】平行与坐标轴点的坐标特征 【典例5】平面直角坐标系中，点，，若直线与y轴平行，则点N的坐标是 ． 【变式5-1】已知所在直线与轴平行，且点A在点的左侧，若点A的坐标为，，则点的坐标是 ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为 ． 【变式5-3】若与两个点的连线与轴平行，则的值为 ． 【考点题型六】坐标与图形 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式6-2】如图1，在平面直角坐标系中，点在在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，轴于点，且，． (1)求点B的坐标； (2)如图2，D点是线段上一动点，交于点E，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G，与交于点H，求的度数； (3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．y轴上是否存在点M，使的面积等于四边形面积的？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位，每一个小方格的顶点叫做格点．已知点，，都在格点上．建立如图所示的平面直角坐标系，请按下述要求画图并解决下列问题：    (1)写出点，，的坐标； (2)连接，过点作，，并写出点的坐标； (3)若连接，，求三角形的面积． 【考点题型七】点坐标规律探索 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 【变式7-1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发沿图中路线依次经过，，，…，按此一直运动下去，则的值为（    ） A．1006 B．1007 C．1509 D．1511 【变式7-3】如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【考点题型八】轴对称图形的判断和对称轴的条数 【典例8】下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　） A． B． C． D． 【变式8-1】下列图形中对称轴最多的是（     ） A．B．  C．   D．   【变式8-2】下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-3】如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    【考点题型九】镜面对称的应用 【典例9】小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ） A． B．C．D． 【变式9-1】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．    【变式9-2】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【变式9-3】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【考点题型十】点坐标的对称 【典例10】点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【考点题型十一】轴对称综合题(几何变换) 【典例11】如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．5 【变式11-1】如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式11-2】如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【变式11-3】如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 【清单02】轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 【清单03】轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点4:两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 【清单04】坐标与图形变化 【清单05】轴对称-最小值问题 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点题型一】确定位置 【典例1】下列表述中能确定准确位置的是（    ） A．教室从左到右第3列 B．文博演出中心第10排 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 【详解】解：A、教室从左到右第3列，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B、文博演出中心第10排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定位置，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】李校长和张校长一起去参加市教育局组织的“学生暑假安全教育主题会”，如果李校长的位置在报告厅的“3排6号”，记作，那么张校长的位置在同一报告厅的“4排7号”，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有序数对，掌握有序数对的意义是解题关键．由题意可知数对中的第一个数字表示排数，后一个数字表示号数，由此即可表示出“4排7号”． 【详解】解：由题意，“4排7号”记为． 故选：A. 【变式1-2】如图，这是某书法家关于诗歌《登幽州台歌》的书法展示，若 “来”的位置用有序数对表示，则“涕”的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用有序数对表示物体位置，解题的关键是正确理解题意，掌握题中表示位置的方式．根据题意可得，诗中每个字的位置先看纵向的数，再看横向的数，即可解答． 【详解】解：“涕”的位置可以表示为， 故选：B． 【变式1-3】如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，可得答案． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 解：A．，原A位置表示错误，故该选项符合题意； B．，B点位置表示正确，故该选项不符合题意； C．，D点位置表示正确，故该选项不符合题意； D．，E点位置表示正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 【考点题型二】判断点所在的象限 【典例2】在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点横坐标和纵坐标特点判定即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵， ∴横坐标为负和纵坐标为正， 根据平面直角坐标系特点，点在第二象限， 故选：． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标规律，准确分析判断是解题的关键．根据坐标系第四象限的特点：分析即可． 【详解】解∵，， ∴点在第四象限； 故选：D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点A在第四象限，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，根据第四象限符号的特点即可求解，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【详解】解：A、在第一象限，不符合题意； B、在第二象限，不符合题意； C、在第三象限，不符合题意； D、在第四象限，符合题意； 故选：D ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了平方数的非负性，坐标系内各象限的坐标特征，掌握平方数的非负性，第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零是解答本题的关键．根据可得，从而得出所在象限． 【详解】解：， ， 位于第四象限， 故选：D． 【考点题型三】已知点所在的象限求参数 【典例3】点在y轴上，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特点， 根据点在y轴上，点A的横坐标为0，可得出，然后可得出纵坐标． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为：， 故选：B． 【变式3-1】点在x轴上，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在轴上，则纵坐标为0，可得出的值，从而得出点的坐标．本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中点在轴上时纵坐标为0，得出的值是解题关键． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标为． 故选：B． 【变式3-2】已知点在x轴上，则点A的坐标为 【答案】 【分析】本题考查点坐标的特点，根据x轴上的点的纵坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【考点题型四】求点到坐标轴的距离 【典例4】已知点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到坐标轴的距离，根据平面直角坐标系内点的坐标含义即可判断，解题的关键是熟知坐标点的含义，平面直角坐标系内一个点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，到轴的距离是其横坐标的绝对值． 【详解】解：设， ∵到轴的距离为， ∴，解得：， ∴的坐标是或， 故选：． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离．根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到x轴距离是2024． 故答案为： 【变式4-2】若点在第三象限，且到x轴的距离为5，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查点的坐标，根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵到x轴的距离为5， ∴． ∵点在第三象限， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】已知点在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查各象限内点的坐标特点，点到坐标轴的距离． 根据点P在第一象限，且到x轴的距离为3，可得，求解得到m的值，从而得到点P的坐标，进而即可解答． 【详解】解：∵点在第一象限，且到x轴的距离为3， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为，到y轴的距离为3． 故答案为：3 【考点题型五】平行与坐标轴点的坐标特征 【典例5】平面直角坐标系中，点，，若直线与y轴平行，则点N的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意得到点坐标的特征，即可求得结果，掌握点坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：∵直线与y轴平行， ∴两个点的横坐标一样， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】已知所在直线与轴平行，且点A在点的左侧，若点A的坐标为，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，根据点的特征求解是解题的关键；由所在直线与轴平行可知，B点的纵坐标与A点纵坐标相同，可求出的纵坐标，由，可求出的横坐标． 【详解】解：所在直线与轴平行，点A的坐标为， ∴B点的纵坐标与A点纵坐标相同，即的纵坐标是2， ，点A在点的左侧， 的横坐标是， 点的坐标是， 故答案为：． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求点的坐标，理解平行于轴的直线上所有点的纵坐标均相同，再分情况讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行， 点的纵坐标与点纵坐标相同， ，分两种情况讨论： ①若在点左侧，相当于将向左数个单位长度，得到； ②若在点右侧，相当于将向右数个单位长度，得到； 故答案为：或． 【变式5-3】若与两个点的连线与轴平行，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标相等的两点的连线平行于轴，纵坐标相等的连点的连线平行于轴．据此解答即可． 【详解】解：∵与两个点的连线与轴平行， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【考点题型六】坐标与图形 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据算术平方根和平方的非负性求出，，然后根据平方根的性质求出； （2）首先求出点M到x轴的距离为，然后根据结合三角形面积公式代入求解即可； （3）首先求出三角形的面积，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M在第四象限，点M的坐标为 ∴点M到x轴的距离为 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴三角形的面积 当点M在第四象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴； 当点M在第一象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算，并数形结合是解题的关键． （1）观察图象可得出点的坐标． （2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图象可得，点的坐标分别为，，，． （2）解：如图：连接，过点作垂直于的延长线于点． 阴影部分的面积为： ． ∴图中阴影部分的面积为． 【变式6-2】如图1，在平面直角坐标系中，点在在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，轴于点，且，． (1)求点B的坐标； (2)如图2，D点是线段上一动点，交于点E，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G，与交于点H，求的度数； (3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．y轴上是否存在点M，使的面积等于四边形面积的？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据非负数求得点A、C坐标，再根据坐标与图形性质和梯形的面积公式求得即可求解； （2）设，，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理和外角性质得到即可； （3）连接，设，，由平移性质得，由三角形的等面积法求得，利用坐标与图形和已知求得，进而求得m值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，，则，， ∵轴，即轴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设，， ∵的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G， ∴，, ∵，轴， ∴，， ∵，， ∴，则， 又∴， ∴； （3）解：存在， 如图，连接，设，， 由平移性质得， ∵， ∴， 解得，则， ∵的面积等于四边形面积的， ∴， 解得， 则， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、坐标与图形、平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质、角平分线的定义、三角形和梯形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式6-3】如图，组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位，每一个小方格的顶点叫做格点．已知点，，都在格点上．建立如图所示的平面直角坐标系，请按下述要求画图并解决下列问题：    (1)写出点，，的坐标； (2)连接，过点作，，并写出点的坐标； (3)若连接，，求三角形的面积． 【答案】(1)，， (2)图见解析，或 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算等知识点，能根据所给图形确定点的坐标是解题的关键． （1）根据所给平面直角坐标系中，，三个点的位置，写出坐标即可； （2）根据题意画出图形并写出点的坐标即可，注意：点的位置有两种可能； （3）利用网格即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：根据所给平面直角坐标系中，，三个点的位置，可知： 点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）解：根据题意画出图形如下：      由图可知，点的坐标为或； （3）解：由图可知，三角形的面积等于一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积， ． 【考点题型七】点坐标规律探索 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题为规律题，考查了平面直角坐标系点的特征，坐标点之间的距离，合理找出运动规律是解题的关键． 根据运动的方式求出运动路线的长度，找出规律即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴从点出发回到点所需要的线长为：， ∴， ∴绕四边形 圈之后余个单位，即向一个单位， ∴细线的另一端所在位置的点的坐标是， 故答案为：． 【变式7-1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：D． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发沿图中路线依次经过，，，…，按此一直运动下去，则的值为（    ） A．1006 B．1007 C．1509 D．1511 【答案】D 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，解题的关键在于能够准确找到相应的规律进行求解．根据题意可得，，，，，，则，，，，，，，，由此可知当n为偶数时；每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从开始递减，而，可得，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，，，， ∴，，，，，，，， 由此可知当n为偶数时 ， ∴，， ∵每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从开始递减， 而， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-3】如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， ∴（为正整数）的坐标可表示为， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【考点题型八】轴对称图形的判断和对称轴的条数 【典例8】下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的概念及对称轴的数量，结合选项根据轴对称图形的概念寻找对称轴的数量，判断选择即可． 【详解】解：A、该图形的对称轴有条； B、该图形的对称轴有条； C、该图形的对称轴有条； D、该图形的对称轴有条． 故选：A． 【变式8-1】下列图形中对称轴最多的是（     ） A．B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴条数，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴对称轴最多的是圆， 故选：D    ． 【变式8-2】下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断． 【详解】解：考虑轴对称图形与颜色（阴影）无关． 则左起第一、第三个图形是轴对称图形且只有一条对称轴； 第二个图形有两条对称轴，第四、第五个图形含有四条对称轴． 故选：D． 【点睛】考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【变式8-3】如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． 【考点题型九】镜面对称的应用 【典例9】小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解． 【详解】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间． 故选C． 【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【变式9-1】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．    【答案】FM5379 【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示，    故该车牌号码为FM5379． 故答案为：FM5379． 【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【变式9-2】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 【变式9-3】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 【考点题型十】点坐标的对称 【典例10】点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用平面直角坐标系内两点关于y轴对称时：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解． 【详解】解：点P关于y轴对称点的坐标是， 故选：A． 【变式10-1】点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为； 故选C． 【变式10-2】点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，比较简单． 根据关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，即可得出答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 【变式10-3】点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．直接利用平面内两点关于轴对称点的性质分析求解,平面内两点关于轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【考点题型十一】轴对称综合题(几何变换) 【典例11】如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，Q与关于对称， 点在上，， ， ， 即， ， ， 的最小值为． 【变式11-1】如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】过 作 于点 ，交 于点 ， 过 点 作 于 ，则 即为 的最小值，再根据三角形的面积公式求出 的长，即为 的最小值； 【详解】过 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，如图：    ∵ 平分 于点 于 ， ∴， ∴ 是 最小值，此时 与 重合， 与 重合， ∵三角形 的面积为 ， ∴， ∴， 即 的最小值为 6 ； 故选：D 【点睛】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解 的长度即为 最小值 【变式11-2】如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∵是是的平分线， ∴在上， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【变式11-3】如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$