清单01 实数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单01实数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【清单05】二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 【清单06】 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单07】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单08】 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单09】 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】平方根和算术平方根 【典例1】的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根概念，首先根据算术平方根的定义求出的结果，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 【变式1-1】9的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D．81 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解题的关键是正确区别算术平方根与平方根的定义．如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：C． 【变式1-2】（  ） A．81 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据算术平方根的计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【变式1-3】方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查利用平方根的定义解方程．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得或， 故选：C． 【变式1-4】已知是整数，则正整数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据题意可得是一个完全平方数，再结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个完全平方数， ∴正整数n的最小值为6， 故选：C． 【考点题型二】非负数的性质:算术平方根 【典例2】已知x、y为实数，且，则值是（   ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，求出、的值是解题关键．根据算术平方根和平方的非负性，确定、的值，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 【变式2-1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】若实数a、b满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，解得，， ∴． 故答案为：1． 【变式2-3】已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，平方根的定义，根据非负性可以得到，带入求出的结果，从而得出结果． 【详解】解：，，，， ， ， ， 的平方根是． 故答案为：． 【变式2-4】，求的算术平方根 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5； 故答案为5． 【考点题型三】立方根 【典例3】的立方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根，根据立方根定义与求法直接求解即可得到答案，熟记立方根定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：的立方根是， 故选：C． 【变式3-1】如图，该几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根解决问题，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为，则每个小正方体的棱长为， 故选：A． 【变式3-2】的立方根是（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简，然后再计算立方根即可． 【详解】解： 8的立方根是2 故选：A． 【变式3-3】已知，则a的算术平方根为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根与算数平方根，解题关键是牢记立方根与算数平方根的定义． 本题由得出,进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的算术平方根为2， 故选：B ． 【考点题型四】平方根与立方根综合 【典例4-1】已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； ∴； （2）解：，， ， 的立方根是2． 【典例4-2】求下列各式中的实数x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． （1）先移项，再两边都除以4，继而利用平方根的定义求解即可； （2）先两边都除以27，再利用立方根的定义求解，然后解一元一次方程可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 则； （2）解：， ， 则，即， 解得：． 【变式4-1】已知的平方根是的立方根是3． (1)求 的算术平方根： (2)求的相反数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根和相反数： （1）根据立方根和平方根的定义建立关于x、y的方程，求出x、y的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：由（1）得， ∴的相反数为． 【变式4-2】求出下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义． （1）先化简得到，再根据立方根的定义进行解题即可； （2）先化简得到，再根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】（1）解：， ∴， 则， 解得； （2）解：， ， ， 解得，． 【变式4-3】已知的平方根是，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键． （1）根据已知条件，求出、的值，即可解答； （2）把、的值代入，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ， 解得：， 又∵的立方根是， ， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ， ∴的算术平方根． 【考点题型五】无理数 【典例5】在实数，0，，，1.34，0.101001…（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念．根据无理数的概念：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：由无理数的概念：无限不循环小数可知：，，0.101001…（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，共3个； 故选：B． 【变式5-1】下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的概念，求一个数的算术平方根等知识点，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，熟练掌握无理数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、2是整数，是有理数，不合题意； B、是整数，是有理数，不合题意； C、是整数，是有理数，不合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】在0.458，，，，，，1.010010001…（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：由题意得，，，1.010010001…（每两个1之间依次多1个0）是无理数， 故有3个无理数， 故选：B． 【考点题型六】实数和实数的性质 【典例6】的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴ ． 故答案为：，，． 【变式6-1】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是； 的相反数是 故答案为：；． 【变式6-2】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，绝度值的性质，根据立方根的定义求出是解题的关键．先根据立方根的定义求出，再根据相反数定义，绝对值的性质解答． 【详解】 解：，， 所以，相反数是，的绝对值是． 故答案为：，． 【变式6-3】 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【考点题型七】实数与数轴 【典例7】实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据实数，，在数轴上的位置，确定，，和0的大小关系，进而可知，掌握二次根式性质是求解本题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式7-1】实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴ ∴， 故选：C． 【变式7-2】如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【详解】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：B． 【变式7-3】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 【考点题型八】实数大小比较 【典例8】已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， 即，，，中最小的数是， 故选：D． 【变式8-1】在，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】本题主要考查的是实数大小比较． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【分析】解：，， ， ； ， 在，，0，这四个数中，最小的数是． 故选：A． 【变式8-2】比较大小： 2（填“>，<或=”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较．运用作差法比较即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了估算实数的大小；根据，利用算术平方根比较出和大小；即可求解． 【详解】∵ ∴即 ∴ 故答案为： 【考点题型九】与实数运算相关的规律题 【典例9】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 【变式9-1】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 【变式9-2】一列数，其中则，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律题，根据题意，分别计算出的值即可找出规律，由此即可求解． 【详解】解：，，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ， (1)第5个式子为________，第个式子为________． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的条件及对应规律，即可求出5个式子和第个式子； （2）根据第1问的规律，寻找第二问和第一问的关系即可求出的值； （3）先找出分母的规律，寻找此规律是第一问分母规律的，按照第一问的规律即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意知，第5个式子为：， 第个式子为：． 故答案为：；． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键在于通过例子寻找规律公式． 【考点题型十】实数的运算 【典例10】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，立方根等知识点， （1）先进行二次根式的化简，开立方，再算加减法即可； （2）先算平方差，完全平方，再进行加减运算即可． 熟练掌握对相应的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式10-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 【变式10-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）原式利用平方根，立方根进行化简，计算即可解答； （2）原式利用有理数的乘方，平方根，绝对值进行化简，计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十一】程序设计与实数运算 【典例11】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 【变式11-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序，，是有理数，继续运算，符合题意，输出即可． 本题考查了立方根，无理数，求代数式的值，熟练掌握立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是有理数，继续运算，符合题意， 故选：C． 【变式11-2】根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 【变式11-3】有一个数值转换器，原理如图． （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 【答案】 0或1/1或0 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． （1）根据数值转换器，输入，进行计算即可； （2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案． 【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 因此输出结果是； 故答案为：； （2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数， ∴输入的或0始终输不出y值． 故答案为：0或1． 【考点题型十二】新定义下的实数运算 【典例12】规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解运算法则． （1）利用新定义运算进行计算求解即可； （2）利用新定义运算先计算括号里的，再计算括号外的即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-1】用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么x等于（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 根据新规定的运算，列出等式，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 【变式12-2】设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 【变式12-3】定义新运算：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，运用平方根解方程，解题的关键是正确理解题目所给新运算得出方程求解即可． 根据题目所给的运算得出方程，进而运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 解得，． 故答案为：， 【考点题型十三】实数的实际应用 【典例13】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 【变式13-1】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 【变式13-2】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【答案】2块 【分析】利用算术平方根的性质求出矩形的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木条数. 【详解】解：∵， ∴矩形的长为7和宽为4， 剩余的木料的长为3与宽， ∵2＞＞1，4.5＞3＞3 ∴可以截出2块这样的木条. 【点睛】此题主要考查算术平方根的应用，解题的关键是熟知实数的估算. 【变式13-3】某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01实数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【清单05】二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 【清单06】 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单07】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单08】 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单09】 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】平方根和算术平方根 【典例1】的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】9的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D．81 【变式1-2】（  ） A．81 B．3 C． D． 【变式1-3】方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 【变式1-4】已知是整数，则正整数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【考点题型二】非负数的性质:算术平方根 【典例2】已知x、y为实数，且，则值是（   ） A． B．3 C．1 D．5 【变式2-1】若，则 ． 【变式2-2】若实数a、b满足，则 ． 【变式2-3】已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【变式2-4】，求的算术平方根 ． 【考点题型三】立方根 【典例3】的立方根是（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-1】如图，该几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】的立方根是（   ） A．2 B． C．4 D．8 【变式3-3】已知，则a的算术平方根为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【考点题型四】平方根与立方根综合 【典例4-1】已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【典例4-2】求下列各式中的实数x． (1)； (2)． 【变式4-1】已知的平方根是的立方根是3． (1)求 的算术平方根： (2)求的相反数． 【变式4-2】求出下列x的值： (1)； (2)． 【变式4-3】已知的平方根是，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的算术平方根． 【考点题型五】无理数 【典例5】在实数，0，，，1.34，0.101001…（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在0.458，，，，，，1.010010001…（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点题型六】实数和实数的性质 【典例6】的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【变式6-1】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【变式6-2】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【变式6-3】 ， ． 【考点题型七】实数与数轴 【典例7】实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 【变式7-2】如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D．0.5 【变式7-3】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【考点题型八】实数大小比较 【典例8】已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】在，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【变式8-2】比较大小： 2（填“>，<或=”） 【变式8-3】比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【考点题型九】与实数运算相关的规律题 【典例9】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【变式9-1】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【变式9-2】一列数，其中则，则 ． 【变式9-3】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ， (1)第5个式子为________，第个式子为________． (2)计算： (3)计算： 【考点题型十】实数的运算 【典例10】计算： (1)； (2)． 【变式10-1】计算： (1)； (2)． 【变式10-2】计算： (1)； (2)． 【考点题型十一】程序设计与实数运算 【典例11】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【变式11-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【变式11-3】有一个数值转换器，原理如图． （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 【考点题型十二】新定义下的实数运算 【典例12】规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式12-1】用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么x等于（    ） A．15 B． C． D． 【变式12-2】设都是有理数，规定，，则 ． 【变式12-3】定义新运算：，则方程的解为 ． 【考点题型十三】实数的实际应用 【典例13】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【变式13-1】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【变式13-2】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【变式13-3】某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$