清单02 整式的乘除（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单02整式的乘除（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单02】幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【清单03】积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【清单04】幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单05】科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【清单06】单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【清单07】单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【清单08】多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【清单09】平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 【清单10】完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【清单11】单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【清单12】多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【清单13】因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【清单14】公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【清单15】提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【清单16】公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【清单17】十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) 【考点题型一】幂运算 【典例1】若，，则等于（   ） A．7 B．1 C． D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键．根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；     故选：C． 【变式1-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1-3】若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方运算进行化简，然后根据指数的大小即可判断． 【详解】解：∵, , , ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-4】计算（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方公式的逆用，掌握将指数化为相同再运用公式是解题关键． 通过积的乘方公式的逆用，将指数变成相同，再进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【变式1-5】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则，成为解答本题的关键． （1）根据同底数幂相乘，合并同类项，计算即可． （2）根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项运算法则计算即可． 【详解】（1）． （2）． 【变式1-6】若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出的值，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【考点题型二】整式的乘法 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果； （2）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用多项式乘多项式、单项式乘多项式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法，整式中不含某项的计算，掌握多项式乘以多项的计算法则，不含某项则该项系数为0的知识是解题的关键． 根据整式的乘法运算法则展开，再将含的一次项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， ∵不含的一次项， ∴， 解得，， 故选：C ． 【变式2-3】化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方．利用单项式乘多项式，积的乘方计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【变式2-4】计算： (1)． (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可； （2）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【考点题型三】整式的乘法的实际应用 【典例3】如图1，东莞市某学校的责任广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一个底座边长为米的正方形雕像，上面刻有校训“对自己负责，对他人负责，对国家负责”地块的空余部分（阴影部分）种植了绿化，其俯视图如图2所示．请回答以下问题： (1)绿化的面积S是多少？ (2)当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)52平方米 【分析】本题考查了整式乘法的应用，熟练掌握运算法则及长方形、正方形的面积公式是解题关键． （1）用长方形地块的面积减去中间正方形地块的面积，计算即可； （2）把，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， 答：绿化的面积是平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：当，时的绿化面积为52平方米． 【变式3-1】如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)平方米． 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则． （1）利用长方形面积公式直接计算即可； （2）利用长方形面积公式直接计算即可； （3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解． 【详解】（1）∵平方米， ∴长方形地块的面积为平方米； （2）∵平方米， ∴修建雕像的小长方形地块的面积为平方米； （3）∵绿化部分的面积为平方米； ∴当时， （平方米）， ∴绿化部分的面积为平方米． 【变式3-2】如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若，剩余草坪的面积是216平方米，求出通道的宽度． 【答案】(1) (2)2米 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键． （1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式求得剩余草坪的面积， （2）根据，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可． 【详解】（1） ； （2）∵，剩余草坪的面积是216平方米， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， 即通道的宽度是2米． 【变式3-3】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 ，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 【考点题型四】平方差及几何意义 【典例4】从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个） A．，B．，C．． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式，是解题的关键： （1）用两种方式表示剩余的面积，即可得出结论； （2）利用（1）种结论，进行计算即可； （3）先利用（1）种结论进行化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以， 故选：C； （2），且， ； （3） ． ． 【变式4-1】在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）用代数式，分表表示图1，图2中的面积，即可求解， （2）①用代数式，分表表示图3，图4中的面积，即可求解，②将，代入求出，根据长方形周长公式，即可求解， 本题考查了平方差公式，解题的关键是：用代数式表示出图形中的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， 由图2得：， 根据面积相等，得到：， （2）解：①由图3得：， 由图4得：， 根据面积相等，得到：， ②∵，， ∴，解得：， 所以小长方形的周长为：． 【变式4-2】乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1)D (2)2 (3)①1；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 【变式4-3】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 【考点题型五】完全平方及几何意义 【典例5】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①的值为；② 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用； （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； （2）解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：； （3）解：，，， ， ，即的值为； 令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． ． 【变式5-1】在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________________． (2)如图1中，，满足，，求的值． (3)如图2，点在线段上，以，为边向两边作正方形，，两正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)51 (3)39 【分析】（1）阴影部分的面积可以表示为：①大正方形面积空白面积；②两个阴影正方形面积之和； （2）根据（1）中得出的结论，代入求值，即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式转换，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形面积空白面积两个阴影正方形面积之和， 即． （2）解：根据（1）中的式子，代入求值，可得：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ，， ，， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练完全平方公式转换是解题的关键． 【变式5-2】【探究】 若满足，求的值． 设，，则， ∴． 【应用】 请仿照上述方法解决下面的问题： （1）若满足，则的值为______； （2）若满足，求的值； 【拓展】 （3）已知正方形的边长为（），、分别是边、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形和正方形． ①______，______；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）8；（3）①；②12 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设， 则， ； 解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）①∵四边形是长方形，，四边形是正方形， ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是 8 ， ， 阴影部分面积， 设， 则，     ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 12 ． 【变式5-3】【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________； 【类比探究】 （2）若，则的值为_________； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】（1）；（2）88；（3）种草区域面积为11． 【分析】本题考查了图形面积与完全平方公式，完全平方公式的变形应用． （1）根据图形知，等号左边正方形面积等于右边两个正方形面积和加上两个相同长方形面积，即可完成； （2）由完全平方公式变形即可求解； （3）设，则，，由完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：（1）由图形知，； 故答案为：； （2）∵， ∴； 故答案为：88． （3）设， ∵种花区域的面积为，， ∴， 即； ∵， ∴； ∴． 即种草区域面积为11． 【考点题型六】整式的混合运算 【典例6】计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式运算，直接利用整式的混合运算法则计算得出答案． （1）利用整式的除法运算法则计算得出答案． （2）利用完全平方公式、平方差进行分解合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相应的运算法则、运算顺序和公式是解题的关键． （1）根据积和乘方和幂的乘方将原式化简，再根据单项式的乘除进行运算即可； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式将原式展开，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【考点题型七】整式的化简求值 【典例7】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算的化简求值，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可解题． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式7-1】先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，根据乘法公式去小括号，合并同类项，再根据整式的除法运算化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，然后运算除法，得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 把，代入， ∴． 【变式7-3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】根据去括号，合并同类项，整式的乘除，进行化简，然后代入求值计算即可． 本题考查了整式的乘除，整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【考点题型八】公因式 【典例8】把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．据此求解即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：B． 【变式8-1】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式8-2】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 【变式8-3】整式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可． 【详解】解：各项的公因式是． 故答案为：． 【变式8-4】将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 【考点题型九】因式分解 【典例9】把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的知识，注意提取公因式和公式法的综合运用， （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式9-1】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式和利用乘法公式进行因式分解的技巧是本题的解题关键． （1）提取公因式即可因式分解． （2）用平方差公式进行因式分解即可． （3）用完全平方公式进行因式分解即可． （4）提取公因式即可因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． （4）解： ． 【变式9-2】把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，注意因式分解的步骤为先提公因式，再用公式法，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）提公因式，再用平方差公式继续分解； （2）将看成一个整体，提公因式直接分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-3】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解； （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 【变式9-4】把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． （2）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式9-5】分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十】因式分解的应用 【典例10】我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 【变式10-1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；2； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键． （1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可； （2）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 故答案为：5；2；； （2）解：，理由如下： 由题意得， ， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 【变式10-2】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 例如．求代数式的最小值． 原式 ． 可知当时，有最小值，最小值是-8． (1)分解因式： ． (2)已知的三边长a、b、c都是整数，且满足，求边长c的最小值； (3)当x，y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)当时，代数式有最大值，最大值为16 【分析】本题考查非负数的性质，因式分解的理用，解答本的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． （1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解； （2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后根据非负数的性质即可得到a，b的值，根据三角形三边关系求出c的取值，即可得出边长c的最小值； （3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到最大值 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∵a、b、c都是整数， ∴边长c的最小值为5； （3）解：∵ = = = = ∵ ∴ ∴当时，代数式有最大值，最大值为16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02整式的乘除（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单02】幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【清单03】积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【清单04】幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单05】科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【清单06】单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【清单07】单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【清单08】多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【清单09】平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 【清单10】完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【清单11】单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【清单12】多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【清单13】因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【清单14】公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【清单15】提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【清单16】公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【清单17】十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) 【考点题型一】幂运算 【典例1】若，，则等于（   ） A．7 B．1 C． D．12 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】计算（   ） A．3 B． C． D． 【变式1-5】计算 (1) (2) 【变式1-6】若，求的值． 【考点题型二】整式的乘法 【典例2】计算： (1) (2) 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】化简： 【变式2-4】计算： (1) ． (2) (3)． 【考点题型三】整式的乘法的实际应用 【典例3】如图1，东莞市某学校的责任广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一个底座边长为米的正方形雕像，上面刻有校训“对自己负责，对他人负责，对国家负责”地块的空余部分（阴影部分）种植了绿化，其俯视图如图2所示．请回答以下问题： (1)绿化的面积S是多少？ (2)当，时的绿化面积． 【变式3-1】如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【变式3-2】如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若，剩余草坪的面积是216平方米，求出通道的宽度． 【变式3-3】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 ，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【考点题型四】平方差及几何意义 【典例4】从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个） A．，B．，C．． (2)若，求的值； (3)计算：． 【变式4-1】在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 【变式4-2】乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【变式4-3】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【考点题型五】完全平方及几何意义 【典例5】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【变式5-1】在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________________． (2)如图1中，，满足，，求的值． (3)如图2，点在线段上，以，为边向两边作正方形，，两正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分面积． 【变式5-2】【探究】 若满足，求的值． 设，，则， ∴． 【应用】 请仿照上述方法解决下面的问题： （1）若满足，则的值为______； （2）若满足，求的值； 【拓展】 （3）已知正方形的边长为（），、分别是边、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形和正方形． ①______，______；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【变式5-3】【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________； 【类比探究】 （2）若，则的值为_________； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【考点题型六】整式的混合运算 【典例6】计算． (1)； (2)． 【变式6-1】计算 (1)； (2)． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【考点题型七】整式的化简求值 【典例7】先化简，再求值：，其中，． 【变式7-1】先化简再求值：，其中． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中，． 【变式7-3】先化简，再求值：，其中，． 【考点题型八】公因式 【典例8】把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】整式各项的公因式是 ． 【变式8-4】将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【考点题型九】因式分解 【典例9】把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式9-1】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-2】把下列各式因式分解： (1) (2) 【变式9-3】分解因式： (1)； (2)． 【变式9-4】把下列各式分解因式： (1) (2) 【变式9-5】分解因式 (1)； (2)． 【考点题型十】因式分解的应用 【典例10】我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【变式10-1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 【变式10-2】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 例如．求代数式的最小值． 原式 ． 可知当时，有最小值，最小值是-8． (1)分解因式： ． (2)已知的三边长a、b、c都是整数，且满足，求边长c的最小值； (3)当x，y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$