11.3.2多边形的内角和 教学设计 - -2024—2025学年人教版数学八年级上册

课程基本信息 课题 第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和 教材 人教版八年级上册 教学目标 1.理解多边形的定义及其内角、外角和对角线的概念 2.掌握多边形内角和的计算方法和公式 3.了解多边形外角和的不变性质 4.培养学生的几何直观和逻辑推理能力 教学重点 多边形内角和的计算方法，多边形外角和的性质 教学难点 多边形内角和公式的推导和应用，多边形外角和的理解和证明 教学过程 一、创设情境、引入新课 在课堂开始时，首先复习了多边形及其内角、外角、对角线的概念及其计算公式。教师邀请学生回忆并描述多边形的基本定义和特征，学生尝试回答，教师根据学生的回答进行补充和更正，确保学生对多边形有一个清晰的认识。 教师讲解: 教师利用PPT展示多边形的图形，解释多边形的定义，即在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形 教师进一步讲解多边形的内角、外角和对角线的概念，以及它们与多边形边数之间的关系 教师强调，对于任意一个n边形，它有n个顶点，n个内角，2n个外角，并且从一个顶点可以引出(n-3)条对角线 设计意图：通过提问和讨论，引导学生回忆多边形的相关定义，激发学生对多边形特征的思考，为引入多边形内角和定理和外角和性质的学习打下基础 二、探究新知 问题1：如何探究多边形的内角和? 三角形的内角和是180°，引导学生思考四边形内角和 教师讲解：首先，我们回顾三角形的内角和是180°。现在，让我们思考四边形的内角和，我们知道，通过从一个顶点引出对角线，可以将多边形分割成多个三角形。例如，四边形可以被分割成两个三角形，五边形可以被分割成三个角形，以此类推，通过这种方法，我们可以探究多边形的内角和，并尝试找出一个通用的公式 设计意图：通过实际操作和探究活动，让学生直观地理解多边形内角和的计算方法。通过从三角形的内角和出发，引导学生思考如何将多边形转化为若干个三角形的组合，从而推导出多边形内角和的通用公式，这种方法不仅能够培养学生的几何直观和逻辑推理能力，而且有助于学生掌握将未知问题转化为已知问题解决的数学思维。 (一)多边形及其内角和的概念 方法1：已知三角形的内角和是180°，如何利用这一知识来探究四边形甚至更多边形的内角和? 师生互动：教师请学生回忆三角形内角和的知识点，并提出四边形内角和的疑问。 学生尝试回答，教师引导学生思考是否可以将四边形分割成已知的三角形以便利用三角形的内角和来解答 教师讲解： 教师展示四边形ABCD的图形，并说明将通过连接对角线AC来探究四边形的内角和 讲解如何将四边形分割成两个三角形，即通过连接AC形成了∠1、∠2和∠3、∠4两个三角形 利用三角形内角和的知识，推导出四边形内角和的计算方法 设计意图：通过将四边形分割成三角形的方法，让学生理解多边形内角和的计算可以通过转化已知的三角形内角和来实现。培养学生的转化思维，即把复杂的几何问题转化为更简单的已知问题来解决 方法2：如图 师生互动： 教师提出问题，引导学生思考如何通过另外的思路利用已知的三角形内角和来求解四边形的内角和 学生尝试提出自己的解决方案，教师鼓励学生尝试在四边形ABCD中选择个点O并连接到各个顶点，以此来分割四边形 教师讲解： 教师展示方法2的图形，即在四边形ABCD的一边BC上取一个点O，并连接OA、OB、OC 和OD 教师解释通过这些连接，四边形被分割成了三个三角形：△AOB、△BOC和△COD 教师进一步说明，由于三角形内角和为180°，因此三个三角形的内角和即为四边形的内角和，即540°，减去O点的 180°，为360° 设计意图：培养学生的空间想象力和几何直观能力，通过分割图形的方式让学生理解复杂图形可以转化为若干简单图形的组合 方法3：如图 师生互动: 教师提出问题，鼓励学生思考如何利用一个内部点来分割四边形并探究其内角和 学生尝试想象或在练习本上绘制图形，讨论并尝试回答这个问题 教师讲解： 教师展示四边形ABCD，并在内部选择一个点O，然后连接OA、OB、OC和OD，将四边形分割成四个三角形：△OAB、△OBC、△OCD和△ODA 教师解释每个三角形的内角和为180°，因此四个三角形的内角和即为四边形的内角和，即720°。而O点始终是 360° 180°×4-(∠AOB+∠AOD+∠COD+∠COB) =180°×4-360° 设计意图：通过使用内部点分割四边形的方法，让学生理解多边形内角和的计算不依赖于分割的方式，而是由多边形的边数决定 (二)归纳总结多边形内角和的计算特点 教师首先回顾之前通过不同方法探究多边形内角和的过程，强调无论使用哪种方法，多边形的内角和总是可以转化为若干个三角形内角和的总和 教师指出，对于任意一个n边形，从一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线将多边形分割成(n-2)个三角形 利用三角形内角和为180°的性质，教师推导出多边形内角和的公式：(n-2)×180° 教师进一步解释，这个公式表明多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小和形状无关 设计意图：通过归纳前面的方法，让学生理解多边形内角和的计算方法，并能够推广到任意边数的多边形。培养学生的抽象思维能力，从具体的图形操作中抽象出通用的数学公式 三、举例分析 例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系? 教师展示例题1的图形，即四边形ABCD，并指出∠A和∠C是一组对角，同时询问学生如果这对对角的度数之和等于180°，即它们互补，那么另一组对角∠B 和∠D之间会存在什么样的关系 教师引导学生利用己知的四边形内角和公式来进行计算和推理 教师通过在黑板上或PPT上逐步展示计算过程，说明总内角和减去已知互补的对角之后，剩下的两角∠B和∠D 的和也必须等于180°，因此它们也互补 设计意图：通过具体的例题，让学生实践如何应用多边形内角和的公式来解决实际问题，增强学生对公式的理解和应用能力 例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少? 教师展示例题2的图形，即一个六边形，并在每个顶点处标出所取的外角教师解释外角的概念，即多边形的边与它的邻边的延长线所形成的角 教师引导学生思考所有这些外角的和，并提问学生是否能够直接应用己知的内角和公式来求解外角和 教师通过板书或PPT展示，解释外角和与内角和之间的关系，即n边形的外角和等于n个平角的和减去n边形的内角和，即 =n个平角和- n边形的内角和 =n×180°-(n-2)×180° =360° 教师总结：指出无论n边形的形状和大小如何变化，其外角和恒等于360° 四、课堂练习 1.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（） A.9 B.8 C.7 D.6 2.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加（） A.180° B.90° C.360° D.540° 3.在四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比为2:3:4:3，则∠D的外角等于（） A.60° B.75° C.90° D.120° 4.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=135°，∠C=120°，∠ADF=135°，求 ∠B的度数 5. 如图所示，DE⊥AB于E，DF⊥BC于D，∠AFD=155°，∠A=∠C，求∠EDF的度数 设计意图：课堂练习中的习题为了让学生体会无论图形怎样复杂，都能通过内角和基本公式求解，同时题目逐渐增加难度，都为下一个练习做好铺垫，旨在考查学生对本节课概念的理解，图形的辨别方法的掌握及学生的识图能力 五、课堂小结 谈谈本节课的收获，教师引导学生从多边形的内角和定理，以及外角和的性质，这两个角度进行小结 教学反思 在本节课的教学中，我们从学生已经掌握的三角形内角和出发，逐步引导他们探索和理解多边形的内角和定理以及外角和的性质。这种由浅入深的教学设计有效地帮助学生建立起了知识之间的联系，并且促进了他们对数学概念的深入理解。通过提问、讨论和小组合作，学生在课堂上的参与度显著提高，这种互动式学习不仅激发了他们的学习兴趣，也加深了对知识点的掌握，在教学过程中，我特别强调了将复杂问题转化为已知问题来解决的数学思维，学生通过例题分析学会了如何应用这一思维来解决实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$