专题5.2 一元一次方程的解法（六大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版2024新教材）

专题 5.2 一元一次方程的解法（六大考点） 【考点1 解一元一次方程】 【考点2 一元一次方程的整数解问题】 【考点3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【考点4 错解一元一次方程的问题】 【考点5 一元一次方程的解与参数无关】 【考点6一元一次方程的解在新定义中运用】 【考点1 解一元一次方程】 1．解方程 (1) (2) 2.解方程： (1)； (2) 3．解下列方程： (1) (2) 4．解下列一元一次方程． (1)； (2)． 5．解下列方程 (1) (2) 6．解下列方程： (1)； (2)． 【考点2 一元一次方程的整数解问题】 7．方程的整数解有（   ）个 A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（  ） A． B．或 C．或或 D．或或或 9．若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 10．已知方程的解是正数，则的最小整数解是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 12．关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数m的值可能是（   ） A．-1 B．3 C．1 D．2 13．k为整数，当 时，方程有正整数解． 14．若整数使关于的方程有负整数解，且也是条直线在同一平面内交点的个数，则满足条件的所有的和为 ． 15．若关于的方程的解是整数解，则正整数的值为 ． 16．已知关于x的方程有正整数解，则整数k的最大值为 ． 17．已知关于的方程有正整数解，那么满足条件的整数的值是 ． 【考点3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 18．已知关于的方程和的解相同，求的值． 19．方程与方程的解相同，求这个相同的解． 20．如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 21．如果方程与方程的解相同，求的值？ 22．（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 23．张琪准备完成题目：计算．发现题中有一个数字“♥”被墨水污染了．张琪的妈妈看到该题参考答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“♥”． 【考点4 错解一元一次方程的问题】 24．小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并求出方程正确的解． 25．一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，求的值． 【考点5 一元一次方程的解与参数无关】 26．已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 27．定义：若，则称与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于的相关数，，的值与无关，求的值． 28．已知关于的整式，（为常数）． (1)若整式的取值与无关，求的值； (2)若当或1时，与所对应的值分别相等，试求的值． 29．已知：， (1)当且满足时，求x的值； (2)若的值与x的值无关，求y的值． 30．已知代数式，． (1)求； (2)若x是最大的负整数，，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 31．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关． (1)求a的值； (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值． 【考点6一元一次方程的解在新定义中运用】 32．对于任意四个有理数a，b，c，d，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D． 33．定义新运算： ，例如：，那么当时，的值是(  ) A． B． C． D． 34．对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 35．定义新运算符号“★”为，例：；若，则x的值为（    ） A．1 B． C． D． 36．定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 37．一种新定义运算为：对于任意两个数与，，若，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 5.2 一元一次方程的解法（六大考点） 【考点1 解一元一次方程】 【考点2 一元一次方程的整数解问题】 【考点3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【考点4 错解一元一次方程的问题】 【考点5 一元一次方程的解与参数无关】 【考点6一元一次方程的解在新定义中运用】 【考点1 解一元一次方程】 1．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）先去分母，去括号，再移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2.解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．解下列一元一次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)x (2)y 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 5．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）先去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可得出方程的解． （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可得出方程的解． 【详解】（1）解： 去括号： 移项：， 合并同类项得：， 化系数为1： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得： 化系数为1： 6．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程． （2）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程． 【详解】（1）解：， 方程整理，得， 即， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：， 方程化简，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【考点2 一元一次方程的整数解问题】 7．方程的整数解有（   ）个 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，根据可看作数轴上表示x的点到表示的点的距离与表示x的点到表示的点的距离的和，据此可得当时，方程成立，可得，共10个整数解． 【详解】解：， 可看作数轴上表示x的点到表示的点的距离与表示x的点到表示的点的距离的和， 当时，方程成立， ，共10个整数解． 故选：C． 8．已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（  ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解关于的方程得到，然后根据整数的整除性求解． 【详解】解： 为整数，为正整数， ， 故选：A． 9．若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到，再证明，推出，根据方程有正整数解得到是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，，不成立， ∴， ∴， ∵整数a使关于x的一元一次方程有正整数解， ∴是正整数，即是大于2的正整数， ∴时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，不符合题意； ∴符合条件的所有整数a之和为， 故选B． 10．已知方程的解是正数，则的最小整数解是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 方程的解是正数， ， ， 的最小整数解是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 11．若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解，先求出方程的解是，根据方程有整数解和a为整数得出或或1或，求出a的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 关于的方程有整数解，且a为整数， 或或1或， 或或或， 所有符合条件的整数的和为， 故选：D． 12．关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数m的值可能是（   ） A．-1 B．3 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，根据关于x的方程有负整数解可得2与是倍数关系，进而求解即可得． 【详解】解：由可得：， ∵关于x的方程有负整数解，且m为整数， ∴或-2， ∴或-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 13．k为整数，当 时，方程有正整数解． 【答案】8或/或8 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，题目难度不大，比较典型．将方程变形，得出x与k的关系，利用已知条件分析k的取值． 【详解】解：∵， ∴， 当时，无解； 当时，，不合题意； 当时， ， ∵方程有正整数解． 故或， 当或时，或1． 故答案为：8或． 14．若整数使关于的方程有负整数解，且也是条直线在同一平面内交点的个数，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法以及平面内几条直线相交交点个数所呈现的规律是正确解答的关键． 根据一元一次方程的解的定义以及平面内几条直线相交交点个数所呈现的规律进行解答即可． 【详解】解：关于的方程的解为， 又整数使关于的方程有负整数解， 或或，或或或， 即或或或或或， 解得或或或或或， 经检验都是原方程的解， 又也是条直线在同一平面内交点的个数，而条直线最多有个交点， 或或或或或， 满足条件的所有的和为． 故答案为：． 15．若关于的方程的解是整数解，则正整数的值为 ． 【答案】或4/4或2 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．根据题意可得（或）是质数3的因数有，再逐项分析，即可求解． 【详解】解：由题意得： 关于的方程的解是整数解，为正整数， （或）是质数3的因数有， ①当（或）时，； ②当（或）时，； ③当（或）时，； ④当（或）时，； ∵k为正整数， ∴或4 综上所述，或4 故答案为：2或4 16．已知关于x的方程有正整数解，则整数k的最大值为 ． 【答案】8 【分析】先求出方程的解，根据已知得出或3或1，求出即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于x的方程有正整数解，k为整数， ∴或3或1， 解得：或2或0， ∴k的最大值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于k的方程是解此题的关键． 17．已知关于的方程有正整数解，那么满足条件的整数的值是 ． 【答案】， 【分析】先求出方程的解，再根据要求作答即可． 【详解】解：关于的方程的解为， 关于的方程有正整数解， 满足条件的整数的值有：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求方程的正整数解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【考点3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 18．已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 19．方程与方程的解相同，求这个相同的解． 【答案】这个相同的解为 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先分别解两个一元一次方程，再利用解相同，建立一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：方程的解为， 方程的解为． 由于两个方程的解相同， ∴， 解得：， ∴方程为． ∴， 答：这个相同的解为． 20．如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 21．如果方程与方程的解相同，求的值？ 【答案】9 【分析】本题考查了解一元一次方程，代数式求值．熟练掌握解一元一次方程，代数式求值是解题的关键． 解，可得，由方程与方程的解相同，可得，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵方程与方程的解相同， ∴， 解得，， ∴． 22．（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【答案】（1）；（2）m 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【详解】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 23．张琪准备完成题目：计算．发现题中有一个数字“♥”被墨水污染了．张琪的妈妈看到该题参考答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“♥”． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．把看作未知数，先算乘方再移项，然后除以，得，最后移项系数化1，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 则， ∴， ∴． 【考点4 错解一元一次方程的问题】 24．小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．先根据小明去分母的方法求出相应的方程，再将代入可求出a的值，然后按照解一元一次方程的步骤解方程即可得． 【详解】解：由题意，得方程的解为． 把代入，得． 将代入原方程，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 25．一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去分母整理，再将方程的解代入得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】解：， 由题意得：去分母得． 把代入方程， 得， 解得． 故a的值为2． 【考点5 一元一次方程的解与参数无关】 26．已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、解一元一次方程等知识，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将、代入，化简后根据无关项，得到，即可求出p的值； （2）先解一元一次方程，进而得出的值，即可计算求值． 【详解】（1）解：，， ， 的值与x无关， ， ； （2）解：， ， q为整数，是正整数，且， ，或,， 或 27．定义：若，则称与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减无关类型， （1）根据定义列出式子求解即可； （2）根据新定义求得，进而根据题意的值与无关，令含项的系数为即可求解． 【详解】（1）解：与是关于的相关数， 解得； 故答案为：． （2）解：与是关于的相关数，， 的值与无关， ，得， 28．已知关于的整式，（为常数）． (1)若整式的取值与无关，求的值； (2)若当或1时，与所对应的值分别相等，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整式的加减法则进行运算，再结合条件求出的值，再代入运算即可得到答案； （2）把相应的值代入，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵其值与无关， ， 解得：， ； （2）解：当或1时，得：， 解得：． 【点睛】本题考查了整式的加减、解一元一次方程，熟练掌握运算法则与运算方法是解此题的关键． 29．已知：， (1)当且满足时，求x的值； (2)若的值与x的值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，整式加减中的无关型问题． （1）将代入中，得到一元一次方程，进行求解即可； （2）计算出后，含项的系数为0，列出方程求解即可． 掌握整式加减的运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整理，得：， 当时，方程化为：， 解得； （2）解： ； ∵值与的值无关， ∴， ∴． 30．已知代数式，． (1)求； (2)若x是最大的负整数，，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2)或 (3)1 【分析】（1）将代数式A、B代入中，根据整式的加减运算法则化简代数式即可； （2）先得出，，然后分两种情况代入（1）中化简的代数式中求解即可； （3）由得到，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵x是最大的负整数，， ∴，， 当时， ； 当时， ， 综上，的值为或； （3）解：∵，的值与x的取值无关， ∴， ∴，即y的值为1． 【点睛】本题考查整式加减中的化简求值及无关型问题，绝对值意义、解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则并正确求解是解答的关键． 31．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关． (1)求a的值； (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可； （2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求． 【详解】（1）解：∵，N=， ∴2M+N=2（）+（） = =（16a-8）x+6， ∵2M+N的值与x无关， ∴16a-8=0， 解得：a=； （2）解：方程bx-b-3=0， 整理得：x=1+， ∵解是正整数， ∴b=1或3， 当b=1时，=； 当b=3时，． 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键． 【考点6一元一次方程的解在新定义中运用】 32．对于任意四个有理数a，b，c，d，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——合并同类项，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 根据题中的新定义，可得，合并同类项，然后系数化为，即可得出答案． 【详解】解：根据题中的新定义，可得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 故选：． 33．定义新运算： ，例如：，那么当时，的值是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据定义的新运算，表示出的式子，再与成立方程，求出解即可． 【详解】解： ， ∴， 解得， 故选：A． 34．对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： 故选：C． 35．定义新运算符号“★”为，例：；若，则x的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据，解方程即可． 【详解】解：根据新定义得 故选：B 36．定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得． 37．一种新定义运算为：对于任意两个数与，，若，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，先根据新定义运算求出的值，即可解答． 【详解】解：由， 可得， 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$