5.1 导数的概念及其意义（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1 导数的概念及其意义 【考点1：平均变化率】 【考点2：瞬时变化率的概念及辨析】 【考点3：导数的定义】 【考点4：利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 【考点5：求过一点的切线方程】 知识点1：导数的概念 一般地，我们称为平均变化率，如果时， 存在，称此极限值为函数在处的导数，记作。 导数的变形公式：① ② 【考点1：平均变化率】 【典例1】已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【分析】（1）利用平均变化率的定义求解． （2）由（1）可知，令即可求解结果． 【详解】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 【变式1-1】已知函数，则函数在区间，上的平均变化率各是多少？ 【答案】 【分析】利用平均变化率公式计算即得. 【详解】， ，，， 该函数在区间上的平均变化率为， 在区间上的平均变化率为． 【变式1-2】在一次跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系，根据上述探究，你能求该运动员在，，内的平均速度吗？有什么发现？ 【答案】答案见解析 【详解】当时，； 当时，； 当时，． 虽然运动员在这段时间里的平均速度是，但实际情况是，该运动员仍在运动. 由此，可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态． 【变式1-3】汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案. 【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，， 则，，， 由题中图象知，即． 故选：B. 【考点2：瞬时变化率的概念及辨析】 【典例2】多选题如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】AC 【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可. 【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误； 对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误. 故选：AC 【变式2-1】质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【答案】D 【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合. 【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s. 故选：D. 【变式2-2】2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 【答案】(1)90m/s，70m/s； (2)80m/s； (3)10s 【分析】（1）根据平均速度代入表达式计算； （2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解； （3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值. 【详解】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系， 则火箭在这些时间段内的平均速度为； 火箭在这些时间段内的平均速度为：． （2）由函数，可得，可得， 所以火箭在时的瞬时速度为80m/s． （3）由，令，即，解得， 熄火后10s火箭上升速度为0． 【考点3：导数的定义】 【典例3】设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 【变式3-1】设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可得. 【详解】. 故选：B. 【变式3-2】已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （    ） A．2 B． C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 【变式3-3】若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 知识点2：导函数的几何意义 函数在处导数就是曲线在点P（）处切线的斜率，即 相应的切线方程是。 求某点处切线: （1）求出该点处的导数，即为切线斜率； （2）求出该点坐标 （3）代入点斜式方程； （4）整理式子即可。 注意：在某点处的切线方程与过某点的切线方程是两个不同的概念。 在某点处的切线方程只有一条，过某点的切线方程有可能多条。如图所示： 如上图：点P处的切线（只有一条） 如上图：过P处的切线（2条或更多） 【考点4：利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 【典例4-1】曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求得正确答案. 【详解】设， 故选：C 【典例4-2】曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 【变式4-1】已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为， ， 所以斜率， ． 故选：C 【变式4-2】函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为 ． 【答案】135°/ 【分析】利用导数的极限定义求解 【详解】，即函数的图象在点处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角． 故答案为：135° 【考点5：求过一点的切线方程】 【典例5】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】设切点坐标为，然后对函数求导，则可求出切线的斜率，从而可表示出切线方程，然后将的坐标代入切线方程可求出，从而可求出切线方程. 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【变式5-1】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解. 【详解】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 【变式5-2】过点作曲线的切线方程为 ． 【答案】或 【分析】 由题意可知点不在曲线上，设出切点，由两点求斜率和导数求斜率联立可求出切点，由此即可进一步求解. 【详解】 ， ∵点不在曲线上， ∴点P不是切点．设切点为，则. ∴切线的斜率为. 又∵切线过和两点， 所以. 解得或. ∴过的切线的斜率为或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 【变式5-3】已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】由导数的定义以及几何意义得切线斜率，由此即可得解. 【详解】因为， 又点在曲线上， 所以，∴所求切线的斜率， 故所求切线的方程为，即. 故答案为：. 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在某一点的导数的定义，由此可得结果. 【详解】因为， 则. 故选: B 2．如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以. 故选：D. 3．已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】分别求出和时的函数值，两者作差即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以函数值的改变量为. 故选：B. 4．若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据导数的定义和性质即可求解. 【详解】, 故选：D 5．函数在上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．2.1 C．－0.21 D．-2.1 【答案】D 【分析】根据平均变化率的公式计算即可. 【详解】函数在上的平均变化率. 故选:D 6．设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合导数的定义即得结果. 【详解】由导数定义可知：， 所以. 故选：A. 7．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案. 【详解】由函数的图象可知为单调递增函数， 故函数在每一处的导数值，即得， 设，则连线的斜率为， 由于曲线是上升的，故， 作出曲线在处的切线，设为，连线为， 结合图象可得的斜率满足， 即， 故选：B 三、填空题 8．若，则 ． 【答案】2 【分析】根据导数的概念，求出，又，求出即可得到答案. 【详解】因为， 根据导数的概念可得， ， 即，所以. 又，所以. 故答案为：2. 9．已知，则函数的图像过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，设切点为，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由可得，， 由导数的几何意义可得，切线的斜率， 因为，所以切线方程为， 将点代入，得， 即，得， 解得或， 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即， 所以切线方程为或. 故答案为：或 四、解答题 10．求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】设，根据导数的定义，求出.然后根据导数的几何意义可得切线的斜率，代入点斜式，整理即可得到切线方程. 【详解】设双曲线在点处的切线斜率为. 函数的定义域为. 设，因为 ， 根据导数的定义知， . 根据导数的几何意义，，又切点为， 代入点斜式方程可得，整理可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 导数的概念及其意义 【考点1：平均变化率】 【考点2：瞬时变化率的概念及辨析】 【考点3：导数的定义】 【考点4：利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 【考点5：求过一点的切线方程】 知识点1：导数的概念 一般地，我们称为平均变化率，如果时， 存在，称此极限值为函数在处的导数，记作。 导数的变形公式：① ② 【考点1：平均变化率】 【典例1】已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【变式1-1】已知函数，则函数在区间，上的平均变化率各是多少？ 【变式1-2】在一次跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系，根据上述探究，你能求该运动员在，，内的平均速度吗？有什么发现？ 【变式1-3】汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点2：瞬时变化率的概念及辨析】 【典例2】多选题如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【变式2-1】质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【变式2-2】2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 【考点3：导数的定义】 【典例3】设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式3-1】设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式3-2】已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （    ） A．2 B． C．10 D．5 【变式3-3】若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点2：导函数的几何意义 函数在处导数就是曲线在点P（）处切线的斜率，即 相应的切线方程是。 求某点处切线: （1）求出该点处的导数，即为切线斜率； （2）求出该点坐标 （3）代入点斜式方程； （4）整理式子即可。 注意：在某点处的切线方程与过某点的切线方程是两个不同的概念。 在某点处的切线方程只有一条，过某点的切线方程有可能多条。如图所示： 如上图：点P处的切线（只有一条） 如上图：过P处的切线（2条或更多） 【考点4：利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 【典例4-1】曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【变式4-1】已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为 ． 【考点5：求过一点的切线方程】 【典例5】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【变式5-1】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【变式5-2】过点作曲线的切线方程为 ． 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（    ） A． B． C．1 D． 4．若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 5．函数在上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．2.1 C．－0.21 D．-2.1 6．设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 7．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 8．若，则 ． 9．已知，则函数的图像过点的切线方程为 . 四、解答题 10．求双曲线在点处的切线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$