精品解析：四川省眉山市东坡区眉山北外附属东坡外国语学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026届高二上半学期期中考试 数学试题 第I卷（选择题） 一､单选题（每小题5分，共计40分） 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 4. 椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 棱长为的正四面体中，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 二､多选题（每小题6分，共计18分） 9. 2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确的是（ ） A. 点在双纽线上 B. 点的轨迹方程为 C. 双纽线关于坐标轴对称 D. 满足的点有1个 第II卷（非选择题） 三､填空题（每小题5分，共计15分） 11. 两平行直线，的距离为__________. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为______. 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 四､解答题（共计77分） 14. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 15. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 16. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 如图，且，，且，且，平面，. （1）设面BCF与面EFG的交线为，求证：； （2）证明: （3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 18. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点在以线段为直径的圆上，求的值； （3）若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二上半学期期中考试 数学试题 第I卷（选择题） 一､单选题（每小题5分，共计40分） 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ，则. 故选：D． 2. 已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 3. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时． 故选：C． 4. 椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出即，再由椭圆定义可得． 【详解】由可知，即， 所以，故不妨设， 因为线段的中点M在轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， 设，将代入椭圆方程，得，得， 所以，∴． 故选：D. 5. 棱长为的正四面体中，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以， 又，，，， 所以． 故选：A． 6. 如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果. 【详解】由，得，所以，. 由题意知，所以，. 因为,所以,所以. 所以，所以， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解． 【详解】取的中点，连接， 四边形为菱形，， 所以， 由于平面平面，且两平面交线为，，平面， 故平面，又四边形为正方形， 故以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2， 则， 故， 则， 故直线，所成角的余弦值． 故选：D． 8. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 二､多选题（每小题6分，共计18分） 9. 2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据图形椭圆长轴长为，利用椭圆几何性质及图形再写出即可求解. 【详解】由题意可知， 所以， 因为，， 所以 故选：BC 10. 瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确的是（ ） A. 点在双纽线上 B. 点的轨迹方程为 C. 双纽线关于坐标轴对称 D. 满足的点有1个 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由双纽线的定义求出其方程，逐一检验各个选项可判断结果. 【详解】由双纽线的定义可得：， 即，化简得：， 则当时，点的轨迹方程为，故B正确； 当时代入方程得，显然不满足方程， 所以点不在双纽线上故A错误； 把x换成，y换成，方程不变，所以双纽线关于坐标轴对称，故C正确； 因为，若满足，则点P在y轴上， 在方程中令，解得， 所以满足的点为，故D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（每小题5分，共计15分） 11. 两平行直线，的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果. 【详解】由于直线与平行，则，整理得，解得. 所以，直线的方程为，直线的方程为，即， 因此，两直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，再结合双曲线定义得出，计算求出，即得双曲线方程. 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四､解答题（共计77分） 14. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： 【小问2详解】 设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 15. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程. 【小问1详解】 的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 16. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）取中点G，连接. ， ，∴四边形为平行四边形 ∵平面平面 四边形为矩形，平面平面 平面 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系 则，，，， ， 设平面的一个法向量为， 不妨设，，则， 又 又平面 平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点G，连接，先证明平面，然后以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，证明垂直平面的一个法向量即可； （2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）， 设平面的一个法向量为， . 不妨设，则，， . 设向量与的夹角为， 则 ∴平面与平面所成二面角的余弦值为 【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 17. 如图，且，，且，且，平面，. （1）设面BCF与面EFG的交线为，求证：； （2）证明: （3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. （2）证明：因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. （3）线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 18. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点在以线段为直径的圆上，求的值； （3）若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，结合椭圆的方程和离心率的公式求解即可； （2）设出直线的方程和的坐标，联立曲线方程，得到韦达定理再结合向量的坐标运算求解即可； （3）结合（2）中所求信息将和的表达式写出，再根据求解范围即可. 【小问1详解】 由椭圆方程可得， 所以椭圆的焦距，离心率； 【小问2详解】 不妨设直线的方程为，， 易知， 联立，消去并整理得， ， 由韦达定理可得， 若点在以线段为直径的圆上， 此时，即， 整理可得，即， 代入韦达定理， 整理得，解得， 因为当时，直线过椭圆的右顶点，不符合题意，舍去， 所以； 【小问3详解】 设， 由（2）得且，， 因为，， 所以， 解得， 则，① 易知， 解得， 则，② 联立①②，可得， 因为且，所以， 所以的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能用韦达定理化简；本题第三问关键是能用向量共线的坐标表示出，再用表示出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $