专题02 不等式与复数（7大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

高考二轮数学讲练测 专题02 不等式与复数 目录 01 03 05 02 04 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 知识梳理·方法技巧 真题研析·精准预测 核心精讲·题型突破（6大题型，1个重难点） 2 考点要求 目标要求 考题统计 基本不等式 掌握基本不等式的应用 2024年北京卷第9题，5分 2023年上海卷第6题，4分 2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 复数的四则运算 熟练掌握并灵活应用复数四则运算法则 2024年新高考甲卷第1题，5分 2023年新高考I卷第2题，5分 2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分 考情透视·目标导航 3 考点要求 目标要求 考题统计 复数的几何意义 理解复数的几何意义，能直观应用 2023年新高考II卷第1题，5分 2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分 考情分析与命题预测 预测2025年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2025年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！ 考情透视·目标导航 4 知识导图·思维引航 5 知识梳理一 几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式： 如果，则（当且仅当“”时取“=”）． 特例：（同号）． 知识梳理·方法技巧 知识梳理一 几个重要的不等式 （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识梳理·方法技巧 知识梳理二 均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）． 即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）． 即积为定值，和有最小值”． 知识梳理·方法技巧 知识梳理三 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：， 当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：， 当且仅当时等号成立． 知识梳理·方法技巧 知识梳理四 对复数几何意义的理解及应用 （1）复数，复平面上的点及向量相互联系， 即； （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系， 因此可把复数、向量与解析几何联系在一起， 解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 知识梳理·方法技巧 真题研析 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 对于选项D： 例如 对于选项C： 例如， 特殊值法 设 ， ， ，故B正确，A错误； 真题研析·精准预测 真题研析 2．（2024年北京高考数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 由题意得.故选：C. 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 由，则. 故选：A 真题研析·精准预测 真题研析 4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 若，则.故选C. 5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． ∵，∴.故选：C. 真题研析·精准预测 真题研析 6．（2024年上海市1月春考数学试题）已知，的最小值为 ． , 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 12 7．（2024年天津真题）是虚数单位，复数 ． . 真题研析·精准预测 柯西不等式二元式 题型三 核心精讲·题型突破 和式与积式 题型二 基本不等式二元式 题型一 齐次化与不等式最值 题型四 复数的四则运算 题型五 复数的几何意义 题型六 不等式与复数新定义问题 重难点突破 题型一：基本不等式二元式 【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 是的一个根且， ，当且仅当时取等号.∴的最小值为.故选：A. 核心精讲·题型突破 题型突破 题型一：基本不等式二元式 【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 当且仅当即，时等号成立. ，因，则， 若，当且仅当时，等号成立． 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 当且仅当时取等号 核心精讲·题型突破 【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． ， 当且仅当时， 即当时，等号成立 ，此时，，则， 当时，，， 此时，； 当时，，， 此时，. ∴对任意的，，合乎题意， 核心精讲·题型突破 ∵，∴， ∴，D选项正确. 1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ， ∵，∴，， ∴，∴，C选项正确； 命题预测 真题研析·精准预测 整理，得，∴ 2．（多选题）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ∵，∴ ∵ 命题预测 核心精讲·题型突破 题型二：和式与积式 ∵，，则，∴． 又， 即，即，解得， ∴，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 核心精讲·题型突破 题型突破 题型二：和式与积式 已知式 目标式 方法选取 和式 积式 基本不等式 积式 和式 基本不等式 和式 和式 柯西不等式 积式 积式 柯西不等式 ∴ 【典例2-2】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 核心精讲·题型突破 题型突破 ， ， ， 当且仅当时等号成立， ∴的最小值为. 【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D．9 核心精讲·题型突破 【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 核心精讲·题型突破 1．（多选题）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 ,则 ，解得 命题预测 核心精讲·题型突破 题型三：柯西不等式二元式 【典例3-2】（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． ， 即当时，，，解得， 可能的取值为. 【解题技巧】 设，，，， 当且仅当时等号成立． 核心精讲·题型突破 题型突破 由柯西不等式可知 由能成立. 【变式3-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 3. 核心精讲·题型突破 2．[新考法]设角、均为锐角，则的范围是 ． 令，，， 命题预测 核心精讲·题型突破 3．已知正实数满足，则的最小值为 ． 命题预测 核心精讲·题型突破 题型四：齐次化与不等式最值 设，则即 若，则，而， ∴，显然与矛盾，∴， 由上 ∴ 【典例4-1】[新考法]若正实数，满足，则的最小值是 . 4 核心精讲·题型突破 题型突破 题型四：齐次化与不等式最值 【解题技巧】关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。 令，又，，, 在上单调递减，时， 的最大值为. 【典例4-2】设，则的最大值为 . 核心精讲·题型突破 题型突破 则 令 ， 原式， 当且仅当，即取等号，故的最小值为. 【变式4-1】已知，，，则的最小值为 . 命题预测 核心精讲·题型突破 ， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， ∴，故有最小值. 2．[新考法]已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 命题预测 核心精讲·题型突破 题型五：复数的四则运算 【典例5-1】若复数满足，则（   ） A．5 B．25 C．125 D．625 ∵，∴， ∴，即， ∴. 故选：B 核心精讲·题型突破 题型突破 题型五：复数的四则运算 【典例5-2】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 若复数满足， 则 故选：D. 核心精讲·题型突破 题型突破 1、复数运算 （1） （2） ， 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 方法技巧 题型五：复数的四则运算 核心精讲·题型突破 题型突破 ∵，∴，故， ∵，∴， 【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 核心精讲·题型突破 设的辐角为，，表示将复数在复平面内逆时针旋转， 与在复平面内应关于轴对称，则解得：或或或， 易知：时，，舍去，故，故有两个不同的复数满足题意. 故选：B. 【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（    ）个. A． B． C． D． 核心精讲·题型突破 ∵，故，∵为虚数，故，故A正确； 由可得，故，故B正确； 当时，，此时成立，故C正确； ，∵，， 故，故D错误. 2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 命题预测 真题研析·精准预测 ∵，， ∴，① ∵，∴，， ∴化简①可得， ∴虚部为. 4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 命题预测 核心精讲·题型突破 题型六：复数的几何意义 设， ∵，∴， 其几何意义为任意一点到点于的距离和为， 又点和之间的距离小于，符合椭圆定义， ∴复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆. 【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 核心精讲·题型突破 题型突破 题型六：复数的几何意义 ，∴在复平面内对应点的坐标为. 【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 方法技巧 核心精讲·题型突破 题型突破 复数，其中且， 复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离，最小值为. 【变式6-1】已知复数，其中且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 核心精讲·题型突破 3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（    ） A．若，则点Z在圆上 B．若，则点Z在椭圆上 C．若，则点Z在双曲线上 D．若，则点Z在抛物线上 表示点与之间的距离， 表示点与之间的距离，记，， 点在线段的中垂线上或点在 ，这不符合双曲线定义 ，整理得 ，这符合椭圆定义 命题预测 核心精讲·题型突破 重难点突破：不等式与复数新定义问题 由已知可得，即. ∵，∴，则 【典例7-1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．9 核心精讲·题型突破 题型突破 重难点突破：不等式与复数新定义问题 【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 过点作以 为圆心，为半径的圆的切线，设切点为，设，则或， 所以，所以，所以C错误. 核心精讲·题型突破 题型突破 面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。 复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。 重难点突破：不等式与复数新定义问题 方法技巧 核心精讲·题型突破 题型突破 因为，又， 所以，当且仅当，即时取等号，故选：C 【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 核心精讲·题型突破 3．（多选题）（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 因为当且仅当时等号成立 命题预测 核心精讲·题型突破 感 谢 观 看 THANK YOU $$