重难点04 圆锥曲线中的最值与范围问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

重难点04 圆锥曲线中的最值与范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知点，点为椭圆：上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 5．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 10．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 11．（23-24高二下·广东·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 三、填空题 12．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 13．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 14．（23-24高二上·江苏泰州·期末）如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为 ；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 16．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 17．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 18．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 19．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 圆锥曲线中的最值与范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知点，点为椭圆：上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为圆心，为半径做圆，当与椭圆相切时，的值即为所求. 【详解】设：，由消去得：， 整理得：. 由，即为所求的最小值. 故选：C 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求 【详解】由题意，设， 由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点， 所以，又, 令，因为，所以， 所以， 由于对称轴为，所以在单调递减， 所以，又， 即，所以 故选：D    3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点，准线，过作于，则，将问题转化为求，由图可知当三点共线时最小. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 4．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 5．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可. 【详解】因为所求点在抛物线上， 所以设所求点为：， 所以点到直线距离为： ， 当且仅当时，有最小值， 此时， 故选：B. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解. 【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，    因为，则， 由四边形的面积可得， 整理得， 设， 则， 且，可知当时，取到最大值， 当时，取到最大值， 即，则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 即弦长的范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得； 2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围. 7．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【详解】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C 8．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【详解】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是求出点的运动轨迹方程，由此即可顺利得解. 二、多选题 9．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 【答案】AB 【分析】由椭圆方程求得，，的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解. 【详解】由椭圆，得，，， 椭圆的焦距为，故A正确； 又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确； ，故C错误； 当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误． 故选：AB． 10．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求解AB ,根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据两点斜率公式，结合正切的和差角公式，分类讨论，利用导数求解函数的最值，即可求解D. 【详解】由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，过作于点，则，显然当在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为1，所以A正确； 由于，故当三点共线时，即在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为4，所以B正确； 对于C选项， 设，则，当时，取得最小值，最小值为，所以C错误． 对于D选项， 根据抛物线的对称性，不妨设， 若，则，，，所以； 若，则，，，所以； 若且，此时且， ，，所以， 因为，所以，即． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以．此时有最大值为1．而，则． 综上，的最大值为．所以D错误． 故选:AB． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 11．（23-24高二下·广东·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 【答案】ABD 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 三、填空题 12．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 【答案】/ 【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解. 【详解】点P在曲线上，设， 则点P到直线l的距离为， 当时，. 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离可求出的值，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线无公共点可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（23-24高二上·江苏泰州·期末）如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为 ；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为 . 【答案】 【分析】先由题意求出，进而可得离心率，然后将代入圆的方程和椭圆方程可得的坐标，进而可表示出的面积，求导，根据单调性可得取最大值时的值. 【详解】圆A：的圆心为，半径为， 即椭圆的上顶点为，椭圆的短半轴长， 设椭圆方程为， 则， 所以离心率， 所以椭圆方程为， 将代入圆的方程和椭圆方程，不妨取，可得，， 则， 设，则， 令， 则， 设，为锐角， 令，得，， 令，得，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 此时， 则 故答案为：；. 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合，代入点的坐标，列式计算得解. （2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答. 【详解】（1） 椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，，解得：或（舍去）， 得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 16．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用点到直线的距离即可求出p，即得答案； （2）设直线MN方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合导数的几何意义可得切线的方程，求出P点坐标，即可求得参数之间的关系，进而证明结论； （3）结合（2）求出的表达式，利用二次函数性质即可求得答案. 【详解】（1）由题意知， 结合，解得. 故的方程为. （2）证明：根据题意，直线的斜率存在，设其方程为. 联立，得. . 由可得，所以，因此的斜率分别为， 的方程分别为， 整理得， 联立的方程，解得，即. 因为点在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点. （3）由（2）可知与轴的交点横坐标分别为. 因为， 当时取等号， 故的最小值为. 【点睛】易错点点睛：解答此类圆锥曲线问题，要注意解题思路，这并不困难，一般利用联立方程即可求解，容易出错的地方在于计算比较复杂，并且基本都是字母参数的运算，计算量大，很容易出现计算错误. 17．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据双曲线定义求出轨迹方程； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，当斜率不存在时求出，斜率存在时，，得到答案. 【详解】（1）因为， 由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 所以，， 所以动点的轨迹方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：， 此时， 所以； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：， 代入双曲线方程可得：， 可知其有两个不等的正实数根， 解得：， 所以 . 由得， ， 综上所述，的最小值为1. 19．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$