重难点03 轨迹问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

重难点03 轨迹问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识确定正确答案. 【详解】由于动圆经过定点，且与轴相切， 所以到定点的距离，等于到轴的距离， 根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线. 故选：D 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】设出点坐标，结合，将点坐标代入椭圆方程，求出点的轨迹方程即可得. 【详解】设，，则， 由及椭圆对称性，可取、， 故有、， 消去，可得，即， 即，则点为双曲线上一点. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解. 【详解】设线段中点的坐标为，且点， 又由，可得，解得， 又由，可得，即， 故选：A 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 6．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程. 【详解】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系， 设，，， 设M的坐标为，由题意可得， 则，，， 所以，， 由，可得， 整理可得：，所以，， 故动点M的轨迹是双曲线.    故选：D. 7．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程. 【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上． ∵，∴，整理得， ∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上， ∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为， 故选：A． 8．（22-23高二下·上海松江·期末）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题： ①曲线上的点的横坐标的取值范围是； ②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为. 则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为，由关于的方程有解，求的取值范围判断命题①；先判断得直线与曲线必有一个公共点，再将代入曲线得到无非零解方程，求实数的取值范围判断命题②. 【详解】对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为: ， 化简得， 设，则 方程化为 设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0 则需有 由于， ，解得， ①为假命题； 对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点， 将代入曲线方程中得，方程无非零解， 即无实数解，故有， 所以，解得或，故②为真命题. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程，横坐标的取值范围由方程有解判断，直线与曲线的交点问题一般通过联立方程分析判断. 二、多选题 9．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线，以及轨迹方程的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确； 对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线， 所以B不正确； 对于C中，设，由，可得， 整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确； 对于D中，因为，可得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高二下·河南漯河·期末）我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题正确的是（    ） A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是 C．的纵坐标最大值是 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，结合函数思想逐项分析判断即可. 【详解】依题意，，即， 整理得， 对于A，当时，，因此曲线过原点，A正确； 对于B，由，得，整理得， 解得，的横坐标最大值是，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 因此的纵坐标最大值是1，C错误； 对于D，，令， 上述不等式等价于， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，，即成立， 因此，D正确. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于常数的点的轨迹.则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C过坐标原点 C．若点P在曲线C上，则 D．以，为焦点、以为长轴长的椭圆上的点一定不会在曲线C围成的区域的外部 【答案】ACD 【分析】首先求函数的解析式，再代入分析函数的对称性，判断A；代入原点判断B；利用三角形的面积公式，结合轨迹的定义，即可判断C；结合椭圆的定义，以及基本不等式，即可判断D. 【详解】设动点， ，即，（*） 点关于原点的对称点为，代入（*） 得，故A正确； 并且将，代入（*）都满足，所以曲线也关于轴对称， B，原点代入（*），得，，所以曲线不过原点，故B错误； C，若点是曲线上，则， 因为，所以，故C正确. D，由椭圆的定义可知，以，为焦点、以为长轴长的椭圆满足 ； 根据基本不等式可知，， 所以曲线上的点都在椭圆的外部或上面，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题第D选项的关键是理解点在椭圆外，以及和基本不等式比较大小结合在一起的思路. 三、填空题 12．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．则的方程为 ； 【答案】 【分析】设点的坐标，根据已知列方程并整理出的方程. 【详解】点，根据已知列方程得，两边平方并整理得：. 故答案为： 13．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是 （填曲线的类型，填方程不给分）. 【答案】直线 【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由， 得， 所以等式左边表示点到点的距离， 右边表示点到直线的距离，两距离相等， 而点在直线上， 所以点的轨迹是垂直直线于点的直线. 故答案为：直线. 14．（23-24高二上·吉林辽源·期末）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用轨迹的直接法求解. 【详解】由题意得，化简解得，即， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得； （2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程. 【详解】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切， ，且，于是，                             动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆， 故，，椭圆方程为                                 又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去， 故动圆圆心M的轨迹C的方程为； （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又Q为线段AB的中点， 则有，代入即得直线l的斜率为，     直线l的方程为，整理可得直线l的方程为. 16．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，代入化简求解轨迹方程即可； （2）设直线的方程为，设，联立方程组，得到韦达定理形式，最后表达出，求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 17．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过原点的两条直线分别交曲线于点和，且（为坐标原点）.判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，四边形的面积为 【分析】（1）先根据椭圆的定义判断点的轨迹是椭圆，再确定的值，可得曲线的方程. （2）分直线有无斜率分类讨论，当直线有斜率时，设其方程为，代入椭圆方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出，，再用它们表示出四边形的面积，化简整理可得定值. 【详解】（1）由题意知，圆心为，半径为4，且. 如图： 因为， 所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆. 设椭圆方程为，则，解得， 所以，. 所以，曲线的方程为. （2）四边形的面积为定值，理由如下： 如图： 当直线的斜率不存在时，直线轴，此时四边形为矩形，且. 因为，不妨设，则. 取， 则四边形的面积. 当直线的斜率存在时，设，且. 联立直线与椭圆的方程，消去并整理，得. 由，得. 所以. 所以. 所以. 因为，所以，即. 因为， 所以. 因为原点到直线的距离，且四边形为平行四边形， 所以四边形的面积. 所以，四边形的面积为定值. 18．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点 (2) 【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线； （2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设， 联立，消得， ， 则， 所以.    19．（23-24高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，点A是圆上一动点，点B是圆上一动点，当三点共线时，过点B作x轴的垂线，垂足为H，过点A作的垂线，垂足为P. (1)请判断动点的轨迹，并求出其轨迹方程； (2)记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，且. ①当时，求四边形的面积； ②求四边形的面积最大时点M的坐标. 【答案】(1)轨迹为椭圆（去除左、右端点），； (2)①；②. 【分析】（1）利用三角换元分类讨论计算即可； （2）①利用椭圆的对称性转化线段关系，直线的方程与点坐标，利用韦达定理计算参数再根据弦长公式及点到直线的距离公式计算即可；②结合①的结论转化四边形面积为三角形面积，利用弦长公式及点到直线的距离公式及对勾函数的单调性计算即可. 【详解】（1）   动点的轨迹为椭圆（去除左、右端点）. 易知不能在横轴上， 由题意当在原点同侧，可设， ，则， 当在原点异侧，可设， ，则， 整理可得动点的轨迹方程为； （2）   在曲线C的上半部分取两点M，N，且，延长交椭圆C于点G. 设则，显然，. 设直线的方程为， 联立椭圆方程， 所以， ①由，根据椭圆的对称性可得，进一步得. 所以，解之得（负值舍去），则直线GM的方程为， 即. 设点Q到直线的距离为d，则由距离公式得. 又由弦长公式得 ， 将代入上式得. 设四边形的面积为S， 易知， 则四边形的面积为. ②由①可知四边形的面积等价于的面积. 依据题意，点Q到直线的距离为， 结合①可知：， 令，所以， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以当时，即， 即时取得最大值， 此时直线GM的方程为，与椭圆联立可得， 则. 故四边形的面积最大时点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 轨迹问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 3．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 7．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·上海松江·期末）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题： ①曲线上的点的横坐标的取值范围是； ②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为. 则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 二、多选题 9．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 10．（23-24高二下·河南漯河·期末）我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题正确的是（    ） A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是 C．的纵坐标最大值是 D． 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于常数的点的轨迹.则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C过坐标原点 C．若点P在曲线C上，则 D．以，为焦点、以为长轴长的椭圆上的点一定不会在曲线C围成的区域的外部 三、填空题 12．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．则的方程为 ； 13．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是 （填曲线的类型，填方程不给分）. 14．（23-24高二上·吉林辽源·期末）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹方程为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 16．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 17．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过原点的两条直线分别交曲线于点和，且（为坐标原点）.判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由. 18．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 19．（23-24高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，点A是圆上一动点，点B是圆上一动点，当三点共线时，过点B作x轴的垂线，垂足为H，过点A作的垂线，垂足为P. (1)请判断动点的轨迹，并求出其轨迹方程； (2)记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，且. ①当时，求四边形的面积； ②求四边形的面积最大时点M的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$