重难点07 数列的求和-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

重难点07 数列的求和 一、单选题 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（    ） A．2475 B．2500 C．2525 D．5050 4．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 6．（2024·河南·三模）已知等差数列的公差大于0且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 8．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 10．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知定义在R上的函数满足：，若为数列的前n项和，且，（）则下列结论中正确的有（    ） A． B．数列为等比数列 C．为等差数列 D． 11．（23-24高二下·山东日照·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 13．（23-24高二下·河南南阳·期末）我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下： 因为， 则， 两式相减得：， 所以， 类比以上方法求数列的前项和 . 14．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则 . 四、解答题 15．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 16．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 17．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 18．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 19．（23-24高二下·江西赣州·期末）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. (1)求； (2)求的通项公式； (3)证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 数列的求和 一、单选题 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【答案】C 【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案 【详解】∵， ∴，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数列是首项为，公比为的等比数列，然后可算出答案. 【详解】因为，则， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 故选：B 3．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（    ） A．2475 B．2500 C．2525 D．5050 【答案】A 【分析】由题可得，令，将问题转化求，由等差数列的求和公式计算可得. 【详解】由，可得， ， 所以， 令，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 由于， 所以的前100项和为2475， 故选：A 4．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果. 【详解】因为①，当时，②， 所以①②得到， 当，，满足，所以， 得到， 所以， 故选：D. 5．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据对数运算法则可得，再利用等比数列性质和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即. 故选：C 6．（2024·河南·三模）已知等差数列的公差大于0且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，结合分母有理化及数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， ,解得 . 故选：B． 7．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】利用错位相减法求出，然后得出，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 8．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项． 【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确； 由题意 则可得： ，所以选项C正确，D错误； 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 10．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知定义在R上的函数满足：，若为数列的前n项和，且，（）则下列结论中正确的有（    ） A． B．数列为等比数列 C．为等差数列 D． 【答案】CD 【分析】选项A：利用对称性求解，选项B利用退一步相减法结合等差数列的通项公式是伪一次函数的性质求解即可，选项C利用等差数列的性质求解即可，选项D利用利用裂项相减法求解即可. 【详解】因为所以 ， ， 两式相加：所以，故选项A错误. 当时，当时， 所以符合一次函数的形式， 所以数列为等差数列不是等比数列，故选项B错误. 符合一次函数的形式，故为等差数列，故选项C正确. 因为所以 ，所以. 故选：CD. 11．（23-24高二下·山东日照·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为， 所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的递推式的应用，考查裂项相消法，解题的关键是根据题意求得递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题 12．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即， 于是， 所以. 故答案为： 13．（23-24高二下·河南南阳·期末）我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下： 因为， 则， 两式相减得：， 所以， 类比以上方法求数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据错位相减法，结合求的操作步骤类比求即可. 【详解】因为， 则， 两式相减得：， 即 故答案为： 14．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则 . 【答案】2 【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出. 四、解答题 15．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 17．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到. 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 18．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； （2）利用数列的错位相减，可得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 19．（23-24高二下·江西赣州·期末）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. (1)求； (2)求的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可； （2）设出第次构造后得到的数列求出，则得到第次构造后得到的数列求出，可得与关系，再利用构造法求通项即可； （3）利用放缩法求等比数列和可得答案. 【详解】（1）因为第二次得到数列，所以第三次得到数列 所以； （2）设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为 ， 则 ， ，可得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，即； （3）由（2）得， 所以当时，， 当时，所以 ， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$