重难点06 数列的通项公式-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

重难点06 数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 4．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）数列的前n项和满足，若，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．成等差数列，公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．时，的最大值为33 8．（23-24高二下·四川成都·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列 是单调递增数列 D．数列 有最大项 二、多选题 9．（23-24高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 10．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和小于1 11．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知数列满足，（），数列前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 14．（23-24高二下·山东烟台·期末）南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为 ；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为 四、解答题 15．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 16．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 19．（23-24高二下·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】D 【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案. 【详解】根据数列1，，，，3，…， ， 又， ,解得 ， 故选:D. 4．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）数列的前n项和满足，若，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知结合化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，，所以，得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故选：B 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项即可得解. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，即， 所以. 故选：D 7．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．成等差数列，公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．时，的最大值为33 【答案】D 【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以数列是以为公差，32为首项的等差数列， 所以，所以， 所以当时，， 所以， 因为，所以， 对于A，因为， 所以是以为公差的等差数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以， 因为， 所以成等差数列，公差为，所以B错误， 对于C，，对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确， 故选：D 8．（23-24高二下·四川成都·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列 是单调递增数列 D．数列 有最大项 【答案】D 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，从而可得数列 是单调递增数列，则，A、C不符合题意；再利用累加法计算可判断B；借助基本不等式判断D. 【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列，即， 所以，即数列 是单调递增数列， ，则，A、C不符合题意； 所以，将所有上式累加可得 ，所以， 即该数列的第11项为，B不符合题意； 由于， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但由于，即数列 有最小值为， 而当时，单调递增，所以无最大值，D符合题意. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 【答案】BCD 【分析】对A、B：利用与的关系计算后，结合等差数列定义即可得；对C：利用赋值法构造即可得；对D：借助分段函数性质计算即可得. 【详解】对A：，当时，， 则，即， ，则，故不为等差数列，故A错误； 对B：当时，，则， 即，即对任意的，有，此时， 即数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对C：令，则对，有， 故数列是以为公差的等差数列，故C正确； 对D：， 则，故数列是以为公差的等差数列，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和小于1 【答案】AD 【分析】由与的关系结合定义证明为等差数列，从而判断ABC；由裂项相消求和法结合不等式性质判断D. 【详解】对于B：∵，① ∴当时，，解得； 当时，，② 由①②得， 化为， ∵有，∴. 数列是以首项为1，公差为1的等差数列. ∴. ∴，故B错误； 对于AC：，，故A正确，C错误； 对于D： ， 数列的前n项和为， 故D正确； 故选：AD 11．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知数列满足，（），数列前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列的单调性判断A，应用累加法求通项范围判断B,C选项，应用前n项和判断D. 【详解】∵，， 又，可得，∴， ∴，数列单调递减，故选项A正确； 当时，； 当时，，故选项D正确； ∵，∴， ∴，，∴， ∴，，故选项B正确； 又，∴， ∴，，…，，∴， ∴，∴（）；当时，. 综上，.故选项C错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：根据已知化简裂项，结合累加法得出通项公式的不等关系判断选项. 三、填空题 12．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 【答案】 【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2的等差数列，求出，从而可求出，再利用可求得答案. 【详解】因为， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 当时， ， 因为不满足上式， 所以. 故答案为： 13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解. 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 14．（23-24高二下·山东烟台·期末）南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为 ；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为 【答案】 【分析】记第阶科赫曲线为，其三角形边长为，边数，周长为，面积为，由题意可得，边数，可求，进而可得，累加可得，计算可得结论. 【详解】记第阶科赫曲线为，其三角形边长为，边数，周长为，面积为， 若第阶科赫曲线中的三角形的周长为，则，边数， 第阶科赫曲线中的三角形的，边数， 所以第阶科赫曲线中的三角形的边长，边数， 所以以第阶科赫曲线中的三角形的周长； 由图形可知是每条边上生成一个小三角形（去掉底边）， 则，所以 ， ， ， 左右两边分别相加得，又， 因为数列是公比为的等比数列，数列是公比为的等比数列， 所以，又， 所以 ， 当时，，所以， 所以，所以的最小值为. 故答案为：①；②. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法. 四、解答题 15．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，类，当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 16．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 17．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，当时，，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得：， 所以. 18．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项可得，结合等差数列通项公式求得，即可得通项公式； （2）利用累乘法求的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. （2）因为，即， 此时 ， 即， 且满足上式，所以. 可得； 所以. 19．（23-24高二下·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列； （3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到. 【详解】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. （3）由（2）知，即，， 的取值范围为，所以 【点睛】思路点睛：找、与、的关系，结合（1）中、的求解思路，进行次操作后甲口袋中黑球的个数与进行n次操作后甲口袋中黑球的个数的关系，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个、0个黑球3种情况，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个黑球2种情况，利用全概率公式求得、与、的关系，进而由递推公式得到表达式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$