重难点05 定点、定值与定直线问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

重难点05 定点、定值与定直线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高三上·云南楚雄·期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内），设M，N分别为与的内心，则（    ） A．点M的横坐标为2 B．当时， C． D．为定值 10．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 11．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 三、填空题 12．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知点在抛物线上，则 ；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为 . 13．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知双曲线，为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，则的斜率为 ． 14．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 16．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 17．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 18．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 19．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 定点、定值与定直线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案. 【详解】由题意知椭圆C：的离心率为， 即， 设，则，又， 故， 又，故， 故选：C 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率. 【详解】则，，设， 则， 设（），则， 直线的方程为，则的坐标为， 直线的方程为，则的坐标为， ∴，解得或． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可. 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出其渐近线方程，设，进而表示出点到双曲线的两条渐近线的距离之积的表达式，结合在双曲线上，化简，即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知， 渐近线方程为，即， 设，由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以． 故选：C． 4．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的的直线方程为，从而得解. 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意可知：可知直线与抛物线必相交， 设，，，， 则， 设的方程为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，即， 同理可得，则， 可得， 设直线为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，所以. 故选：B. 6．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，， 直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， ，故C正确． 故选:C． 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先由题意得到，平方后，利用点在椭圆上，变形得到的值，即可求解. 【详解】因为点，在椭圆上， 所以， 因为直线的斜率之积为，所以， 得到，得， . 故选：C 8．（23-24高三上·云南楚雄·期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案. 【详解】 由题意结合双曲线定义可知，且， 不妨设，则，，， . 在中，，由余弦定理得， 即，即， 解得. 在中，由余弦定理得， 即，即，结合， 即得，故得，即. 又可设，则， 而，故， 故选：A 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解. 二、多选题 9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内），设M，N分别为与的内心，则（    ） A．点M的横坐标为2 B．当时， C． D．为定值 【答案】BCD 【分析】利用双曲线定义及圆切线性质求圆在轴上的切点横坐标即可判断A；根据，结合双曲线定义、勾股定理求判断B；分别联立直线与双曲线，渐近线，表示结合韦达定理整理判断C；由内切圆圆心性质得，结合直角三角形性质有判断D． 【详解】由双曲线方程知：，令圆在轴上的切点横坐标为， 结合双曲线定义及圆切线性质有，即， 所以圆在轴上的切点与右顶点重合，又轴，则的横坐标为1，A错误； 由A推理得：圆在轴上的切点与右顶点也重合，则； 由，分别是，的角平分线，又， 所以，， 在△中，，D正确．    由，则，故， 而，所以，故，得， 所以，B正确； 设直线，渐近线方程为：, ,，，,， 联立与，整理可得， ，可得， 且，，，所以， 由， 得 ， 所以，故C正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由A选项进一步推理得是解决D的关键，注意C选项利用联立计算的方法表示. 10．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 【答案】AD 【分析】有题意列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程，可判定A正确；联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式求得，可判定B错误；取点时，求得点，结合，可判定C错误.设，分别结合直线过点，直线过点，直线过过点，直线过点，列出方程，结合斜率公式，求得的值，可判定D正确； 【详解】对于A中，由椭圆过点，且左焦点为， 可得，解得，所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B中，联立方程组，解得或， 即， 设，可得，所以 可得，所以B错误； 对于C中，当点时，此时在椭圆的外部，且 可得轴，根据椭圆的对称性，可得, 由，因为，可得， 所以的方程为又由的方程为， 联立方程组得，此时，此时直线不过原点，所以C错误. 对于D中，设， 由直线过点，可得，① 由直线过点，可得，② ①②得，③ 同理可得，直线过过点，可得，④ 直线过点，可得，⑤ ③④得，⑥ ③⑥得，所以，所以D正确； 故选：AD. 11．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知点在抛物线上，则 ；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为 . 【答案】 2 【分析】由抛物线过点求出；设直线的方程为：，，联立，得，利用韦达定理，通过，转化求解出直线方程，推出直线经过的定点. 【详解】 因为点在抛物线上，所以，解得； 抛物线，由题意知，直线斜率不存在时，不符合题意， 设直线的方程为：，， 联立，得， 所以， 因为，所以， ，， 所以，即， 所以，即， 验证    ， 所以， 直线经过的定点坐标为， 故答案为：2；. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 13．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知双曲线，为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立后根据韦达定理列出与，然后由直线的斜率之和为0，列出关系后，把与代入整理即可. 【详解】根据题意设直线的方程为，且，， 因为直线的斜率之和为0，所以，如图所示： 联立，得， ，，， 因为，所以， 即：， 所以， 因为点，在直线上，所以，， 所以代入上式得：， 整理得：， 将，代入得： ， 整理得：， 即：， 因为直线点，所以， 所以，即. 故答案为： 14．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据离心率即可求解椭圆方程，即可联立直线与椭圆方程，根据点斜式求解直线方程，即可化简求解. 【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点， 椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在， 设直线，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，， 所以，整理得， 又 ， 所以直线QM的方程为，故直线QM过定点． 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，结合离心率公式即可求解； （2）由题可知，直线的斜率显然存在，设的方程为，，，联立直线与椭圆方程， 由题意得，结合韦达定理整理可得，解出的值，结合题意即可求证. 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 16．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 17．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由左、右顶点为，先求，再设点的坐标，利用斜率公式表示条件，结合点在椭圆上求，由此可得椭圆方程. （2）解法一（非对称韦达）：设点的坐标及直线的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线、的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点的直线的方程，由题意求出的值，然后表示出直线、的斜率，设点，结合椭圆方程化简分析即可. 【详解】（1）如图所示：    根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为. （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示：    设点，可设直线的方程为：， 联立，得， 由根与系数的关系，， 直线的方程：，① 直线的方程：，② ①②得， 因为， 所以，解得， 因此，点在定直线上. 解法二（齐次化）： 由题意如图所示：    设不过点的直线的方程为：， 由于直线过，所以. 设，点. 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即， 即，由根与系数的关系，， 又由题意可得：，所以两式相除得：， 即，解得， 所以点在定直线上. 18．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 19．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及的关系，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为， 所以，解得，则双曲线的标准方程为； （2）证明：设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证； （3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为，则，， 所以， 则都在直线上，故共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$