专题13 圆的辅助线和隐圆（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题13 圆的辅助线和隐圆 出现弦可连半径 1．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，斜边与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与交于点E，若是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（   ） A． B． C． D．或 2．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（23-24 九年级上·广西南宁·期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是 ． 4．（23-24 九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为 ． 5．（23-24 九年级上·山东滨州·期末）如图，为的直径，内接于，，交于点E． (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 出现弦可作弦心距 6．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）中国的车轮制选，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸．田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设弧所在圆的圆心为．经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，，．设车轮的半径为，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 8．（23-24 九年级上·江西南昌·期末）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，．若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，则 ． 9．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为 ． 10．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是 ． 直径可构造直角 11．（23-24 九年级上·山东临沂·期末）如图，为的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是 ． 14．（23-24 九年级上·山东德州·期末）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，连接，若，则的度数为 ． 15．（2023-24·九年级上 黑龙江鸡西·期末）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ． 证切线(无切点可作垂直) 16．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 17．（23-24 九年级上·广东云浮·期末）如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M，与分别相交于点E、F．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求正方形的边长． 18．（23-24 九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．    (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 证切线(有切点可连半径) 19．（23-24 九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，求的长． 20．（23-24 九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 21．（23-24 九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，则的长为________． 23．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若，，，求的长． 定点定长得圆 24．（23-24 九年级上·陕西·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为 ． 25．（23-24 九年级·云南玉溪·期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，，，若，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围． 直角对边为直径 26．（23-24 九年级上·湖北黄冈·期末）如图，已知正方形的边长为4，E是边上的动点，交于点F，垂足为P，连接，则的最小值为 ． 27．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，且，，连接，，相交于点O，则面积最大值为（   ） A． B． C．3 D． 28．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 29．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，、，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 四点共圆 30．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    31．（23-24 九年级上·黑龙江·期末）如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为 ． 32．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 定弦定角得圆 33．（23-24 九年级上 湖南永州·期末）如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为 ．      34．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为 ． 35．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，是所在平面上的一个动点，且，求面积的最大值． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 2．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形中，，、分别为、上点，交于，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24 九年级上·江苏泰州·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 5．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，点为圆心，为半径作圆．当与边相切时，则半径 ． 6．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，长度的取值范围是 ． 7．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则 ，线段的最小值为 ． 8．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ． 10．（23-24 九年级上·陕西西安·期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°，D是平面内一点且∠ADB＝30°，则线段CD的最小值为 ． 三、解答题 11．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知、、均在上，请用无刻度直尺作图， (1)若，在图1中求作一个的角； (2)，分别是、边中点，在图中求作的内心． 12．（23-24 九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 13．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 14．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，弦所对的圆心角，点在优弧上运动（点不与点、重合），连结、． （1）任点运动过程中，当点在的内部时，的度数是否发生变化？请通过计算说明理由． （2）若，求弦的最大值． 【问题拓展】如图②，在中，，．若、分别是、的中点，则线段的最大值为________． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 圆的辅助线和隐圆 出现弦可连半径 1．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，斜边与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与交于点E，若是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，点O是中点，连接． ∴点D在量角器上对应的度数， ∵当射线将分割出的是等腰三角形时，分两种情况： ①，则：， ∴； ②，则：， ∴； 故选：D． 2．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：的一条弦分圆周长为两部分， 弦所对的圆心角的度数是或， 弦所对的圆周角的度数是或， 故选：B． 3．（23-24 九年级上·广西南宁·期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24 九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ． ∵， ∴， ∴， ∵点B是弧的中点， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 5．（23-24 九年级上·山东滨州·期末）如图，为的直径，内接于，，交于点E． (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：设， ∵点E为中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴的长为． 出现弦可作弦心距 6．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）中国的车轮制选，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸．田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设弧所在圆的圆心为．经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，，．设车轮的半径为，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵过弦的中点作交圆弧于点， ∴点三点共线，， ∴， 设车轮的半径为，则， ∴、由勾股定理得：， ∴，故此选项不符合题意； 、在中，， ∴，故此选项不符合题意； 、在中，， ∴，故此选项不符合题意； 、在中，， ∴，故此选项符合题意； 故选：． 7．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 8．（23-24 九年级上·江西南昌·期末）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，．若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于，连接，， ∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为 ． 【答案】2 【详解】解：设的半径为R，过点作， 连接， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴的半径为2． 故答案为：2． 10．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是 ． 【答案】5 【详解】过O作于M，延长交于N，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：5． 直径可构造直角 11．（23-24 九年级上·山东临沂·期末）如图，为的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解；如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 故选：B． 13．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是 ． 【答案】/28度 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24 九年级上·山东德州·期末）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 是半圆的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，圆内接四边形的性质定理，等式的性质等知识点，熟练掌握直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质定理是解题的关键． 15．（2023-24·九年级上 黑龙江鸡西·期末）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图    ∵是的弦，半径于点， ∴ 在中， 解得 ∵分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵为直径 ∴ 在， 故答案为：． 证切线(无切点可作垂直) 16．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 【答案】见解析 【详解】证明：过点作于，如图， 平分， ， 又，， ， 在与中， ， ， ， 点E在上， 又， 与相切． 17．（23-24 九年级上·广东云浮·期末）如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M，与分别相交于点E、F．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形的边为 【详解】（1）证明：连接，过点O作，垂足为N，    ∵与相切于， ∴， ∵正方形中，平分， 又∵ ∴ ∴与相切． （2）解：设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴正方形的边为． 【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质及判定定理． 18．（23-24 九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．    (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【详解】（1）过点作于，如图所示，    ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点． 证切线(有切点可连半径) 19．（23-24 九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图∶连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵, ， ∴, ∴， ∴, ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得：（舍去）， 故． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．（23-24 九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）证明：由（1）可得：是的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等式的性质，对顶角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 21．（23-24 九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 为半径 是的切线； （2）连接，交于点， 是直径， ， ， 是的中点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 【点睛】本题主要考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，矩形的性质与判定，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键． 22．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径是5， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， 由勾股定理得， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，中位线定理，切线的判定，勾股定理等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)是的切线，见解析 (2) 【详解】（1）解：是的切线；理由如下： 连接，如图1， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线； （2）连接，，如图2， ，， ， ， ， 设，则， ， 由勾股定理得：，， ， ， ． 定点定长得圆 24．（23-24 九年级上·陕西·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点A作AH⊥CD于H， ∵平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠ABC＝60°， ∴CD＝AB＝4，∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠DAH＝30°， ∴DH＝AD＝＝2，AH＝DH＝6， ∵将△ABE沿着AE翻折，得△AFE， ∴AF＝AB＝4， ∴点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， ∴当点F在AH上时，FH有最小值＝AH﹣AF＝2， ∴△CDF面积的最小值＝×4×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够看出来点F的轨迹是圆，然后用求一个定点到圆上一点距离最小值的方法求解． 25．（23-24 九年级·云南玉溪·期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，，，若，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围． 【答案】 【详解】 如图所示，以为圆心，为半径作弧， 当与相切时，最大，即最小，此时， ， ， ， 点在矩形内， ， ． 【点睛】本题考查圆的切线问题，由题作出图形是解题的关键． 直角对边为直径 26．（23-24 九年级上·湖北黄冈·期末）如图，已知正方形的边长为4，E是边上的动点，交于点F，垂足为P，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，取的中点O，连接， 根据题意，P点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧， ∴和的长度是一定的， 因此当O、P、C在同一条直线上时，取最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 27．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，且，，连接，，相交于点O，则面积最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在以为直径的圆上，设圆心为， 当时，的面积最大为：， 此时的面积最大为：． 故选：A． 28．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 29．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，、，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 /90度 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：，． 四点共圆 30．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    【答案】102.5° 【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，    根据旋转的性质得到： AC=AF，，，， ∴点A、N、F、C共圆， ∴， 又∵点A、N、F、C共圆， ∴， ∴（平角的性质）， 故答案为：102.5° 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键； 31．（23-24 九年级上·黑龙江·期末）如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为 ． 【答案】． 【详解】解：点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可知， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， 点运动路径所对的圆心角是， 如图，连接，取的中点，连接，， 在和中，点是斜边的中点， ， 根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上， 又，， ，， 过点作，垂足为点， 由垂径定理得，， 在中，，，则， ， ∵是的外接圆的圆心， 即：点和点重合，如图2 ， 点是以点为圆心为半径， 点运动路径所对的圆心角是， 点运动路径所对的圆心角是， 点运动的路径长为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键． 32．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)4 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 定弦定角得圆 33．（23-24 九年级上 湖南永州·期末）如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为 ．      【答案】2 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴点在以为直径的上， ∴当、、共线时最小， 在中，， ， ， ， ∴最小值为2． 故答案为：2．    34．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹，利用一箭穿心，进行求解． 35．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，是所在平面上的一个动点，且，求面积的最大值． 【答案】 【详解】解：如解图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴点在以为圆心，长为半径的上运动， 延长交于点，当时，的面积最大，最大值为：． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：连接，， 为直径的， ∴ ∴垂直， 点关于点的对称点为点， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 令 则 要求值最大， 越往上越大， 当直线与相切时，最大， 设直线与轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， 为等腰直角三角形， 即 的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数，勾股定理；根据题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 2．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：设与交于点N，连接，如图， ∵，， ∴N是的中点． ∵M是的中点，N是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上． ∵当点M在上时，最小， ∴线段的最小值为． 故选：A． 3．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形中，，、分别为、上点，交于，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 设点为的中点， ∵， ∴点四点共圆，如图所示， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 4．（23-24 九年级上·江苏泰州·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【答案】 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 5．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，点为圆心，为半径作圆．当与边相切时，则半径 ． 【答案】 【详解】解：如图，当与相切时， ∴， ∴， ∴与相切， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， 故答案为：． 6．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，长度的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵中点为，， ∴， ∵，，， ∴， 由旋转可知，， ∵中点为， ∴， ∴点的运动路径是在以点为圆心，心为半径的圆上，根据点与圆的位置关系可得： 的最小值为， 的最大值为， ∴长度的取值范围是：， 故答案为：． 7．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点O作于Q，于J． ∵， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的上， ∴当点P落在线段上时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的性质，垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是确定点的运动轨迹． 8．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于，于．连接，，．设，则． ， ， 解得， ，， ，，， ， ， ，， ， ，，，四点共圆， 当的直径最小时，的长最小， 根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，的最小值为， 此时，， 的最小值为， 故答案为：． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， 如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴在点P的运动过程中，面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切是解题的关键． 10．（23-24 九年级上·陕西西安·期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°，D是平面内一点且∠ADB＝30°，则线段CD的最小值为 ． 【答案】3﹣ 【详解】如图，作AH⊥BC于H， ∵AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°， ∴CH＝AH＝， ∴BH＝， ∴∠ABH＝60°，BC＝CH+BH＝， 在BC上截取BO＝AB＝2，则△OAB为等边三角形， 以O为圆心，2为半径作⊙O， ∵∠ADB＝30°， ∴点D在⊙O上运动， 当DB经过圆心O时，CD最小， 最小值为4﹣（+1）＝3﹣． 故答案为：3﹣． 【点睛】此题考查勾股定理，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动． 三、解答题 11．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知、、均在上，请用无刻度直尺作图， (1)若，在图1中求作一个的角； (2)，分别是、边中点，在图中求作的内心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，为所作； （2）解：如图2，点为所作． 12．（23-24 九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于C， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ， ∴半径的长为． 13．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：是直径，， ， ． （2）解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 14．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，弦所对的圆心角，点在优弧上运动（点不与点、重合），连结、． （1）任点运动过程中，当点在的内部时，的度数是否发生变化？请通过计算说明理由． （2）若，求弦的最大值． 【问题拓展】如图②，在中，，．若、分别是、的中点，则线段的最大值为________． 【答案】[问题原型]（1）（2）的最大值为[问题拓展] 【详解】[问题原型] （1）的度数不发生变化，理由如下： ∵，， ∴； （2）当为的直径时，最大， 在中，， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 即的最大值为； [问题拓展] 如图，画的外接圆，连接，，， 则，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴为直径时，最大，此时， ∴最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识， 明确直径是圆中最大的弦是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$