专题12 圆（十二大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题12 圆 点与圆的位置关系问题 1．（23-24 九年级上·宁夏银川·期末）已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 2．（23-24 九年级上·广东深圳·期末）在中，，，D为的中点．当的半径为6时，D点与位置关系为（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．以上三种都有可能 3．（23-24 九年级上·浙江温州·期末）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 弧、弦、角的关系 4．（23-24 九年级上·浙江温州·期末）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 5．（2023-24·九年级上 黑龙江大庆·期末）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 6．（23-24 九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 7．（23-24 九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 8．（23-24 九年级上·北京房山·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 9．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．    (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点N，使得． 垂径定理 10．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 12．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    13．（23-24 九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 14．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 15．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦于点，连接，    (1)求证：． (2)作于点，若的半径为，，求的长． 外接圆问题 16．（2023-24·九年级上 四川成都·期末）如图所示，是的外接圆，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24 九年级上·河北邢台·期末）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、O均在格点上，若是的外接圆，则的值是（    ）    A． B． C． D．2 19．（23-24 九年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，，为的外接圆，求的半径． 20．（23-24 九年级上·江西上饶·期末）如图，是的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长． 圆周角定理的有关计算 21．（23-24 九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，为直径，点C，D是圆上的点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24 九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 23．（23-24 九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，为的直径， 内接于，，交于点E．    (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 24．（23-24 九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 圆周角定理的有关证明 25．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．（23-24 九年级上·北京·期末）已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 直线与圆的位置关系 29．（23-24 九年级上·河南新乡·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 30．（23-24 九年级上·重庆巴南·期末）已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 31．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 32．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（23-24 九年级上·广东广州·期末）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 34．（23-24 九年级上·江苏淮安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 切线长定理 35．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 36．（23-24 九年级上·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 37．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（23-24 九年级上·北京朝阳·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 39．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）已知圆外切等腰梯形的中位线是，求梯形的腰长． 切线的判定与性质 40．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 41．（23-24 九年级上·北京东城·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 43．（23-24 九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 44．（23-24 九年级上·吉林·期末）已知内接于，过点作直线． （1）如图1所示，若为的直径，要使成为的切线，还需要添加的一个条件是________________． （2）如图2所示，如果是不过圆心的弦，且，那么是的切线吗？试证明你的判断． 45．（23-24 九年级上·北京海淀·期末）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 46．（23-24 九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 47．（23-24 九年级上·云南·期末）如图所示，是的直径，切于，交于点，连接，若，求的度数． 正多边形与圆 48．（23-24 九年级上·湖北随州·期末）已知正十边形内切圆的半径是4，那么这个正十边形的面积是（   ） A． B． C． D． 49．（23-24 九年级上·河北邯郸·期末）如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．18 B． C．9 D． 50．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）圆的内接正六边形的边长为，则它的边心距等于 ． 51．（23-24 九年级上·云南红河·期末）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 52．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 扇形的弧长和面积公式 53．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 54．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 55．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 56．（2016·福建漳州·一模）已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 57．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形的边长，．把绕B逆时针旋转，使C恰好落在上的点E处，线段扫过部分为扇形．则扇形的面积是 ． 58．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 圆锥问题的相关计算 59．（23-24 九年级上·云南保山·期末）若一个圆锥的主视图是等边三角形，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 61．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ． 62．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 63．（23-24 九年级上·四川广安·期末） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24 九年级上·山东德州·期末）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 4．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24 九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论： ①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④． 其中正确的结论是（    ）    A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 8．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 9．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 10．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 11．（23-24 九年级·重庆武隆·期末）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 12．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 三、解答题 13．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 14．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 15．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 16．（23-24 九年级上·广西南宁·期末）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 17．（23-24 九年级上·浙江台州·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 18．（23-24 九年级上·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 圆 点与圆的位置关系问题 1．（23-24 九年级上·宁夏银川·期末）已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 【答案】B 【详解】解：∵圆的半径为5，线段的长为4，且， ∴点在圆内， 故选：B． 2．（23-24 九年级上·广东深圳·期末）在中，，，D为的中点．当的半径为6时，D点与位置关系为（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．以上三种都有可能 【答案】B 【详解】如图，连接， ∵在中，D为的中点． ∴， ∵的半径为，而， ∴点D在内． 故选：B 3．（23-24 九年级上·浙江温州·期末）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 弧、弦、角的关系 4．（23-24 九年级上·浙江温州·期末）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 5．（2023-24·九年级上 黑龙江大庆·期末）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24 九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 7．（23-24 九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 8．（23-24 九年级上·北京房山·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 9．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．    (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图①，点M即为所求．    证明：作、的垂直平分线，以两垂直平分线交点为圆心，这一点到A的距离为半径作的外接圆，与交点M，连接，，与所对应的弧都是相同，根据同弧所对的圆周角相等，得出． （2）如图②，点N即为所求．      以B点为圆心，以为半径画圆弧，交延长线于点E，则，作外接圆，该圆与交点N ．连接，，所对应的弧是，所对应的弧是；由于，故，根据同弧所对的圆周角相等，得出． 垂径定理 10．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接， ， ， 的直径为， ， 在中，， ， ， 水的最大深度为． 故选：B． 11．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 当的值最小时，的值最大， ∴当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为1， 故选：D． 12．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【答案】 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．（23-24 九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 15．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦于点，连接，    (1)求证：． (2)作于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，∵是直径，    ∴， ∴； （2）解：如图，连接．    在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 外接圆问题 16．（2023-24·九年级上 四川成都·期末）如图所示，是的外接圆，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 17．（23-24 九年级上·河北邢台·期末）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是四边形ABCD的外接圆， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选： 18．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、O均在格点上，若是的外接圆，则的值是（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图：作直径，连接，    由勾股定理得，， 在中，， 同弧所对的圆周角相等得， ， ； 故选：B． 19．（23-24 九年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，，为的外接圆，求的半径． 【答案】⊙O的半径是 【详解】连接，， ， ， 在中， ，，， ， ， （舍负）， 的半径是． 20．（23-24 九年级上·江西上饶·期末）如图，是的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：是的直径，， ， ； （2）解：根据题意，如图所示： 是的直径，， 点为的中点， 点是的中点， 是的中位线，即， ， ． 圆周角定理的有关计算 21．（23-24 九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，为直径，点C，D是圆上的点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 22．（23-24 九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ， 又， ， 故选：D． 23．（23-24 九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，为的直径， 内接于，，交于点E．    (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：设， ∵点E为中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴的长为． 24．（23-24 九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 圆周角定理的有关证明 25．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，由（1）可知， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 26．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵， ∴． 27．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵， ∴ ∴； （2）∵，， ∴ ∵，解得 ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和锐角三角函数． 28．（23-24 九年级上·北京·期末）已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接，交于点F． 是的直径， ，即， A为弧中点，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于以为直径的， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ，即； ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线判定，圆内接四边形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 直线与圆的位置关系 29．（23-24 九年级上·河南新乡·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：C． 30．（23-24 九年级上·重庆巴南·期末）已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 31．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过C作于D， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与直线相交， ∴半径r的值或取值范围为， 故选：C． 32．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 33．（23-24 九年级上·广东广州·期末）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，在中， 根据勾股定理，， 分两种情况： 圆与斜边相切时， 连接圆心与切点， 根据切线的性质可知：， ， ， 即； 点在圆内部、点在圆上或圆外时， 此时， 即， ， 此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 34．（23-24 九年级上·江苏淮安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接，，   平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：设，交于，   ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故直径的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键． 切线长定理 35．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 36．（23-24 九年级上·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 37．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵与三边分别切于三点， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 38．（23-24 九年级上·北京朝阳·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 【答案】 【详解】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 39．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）已知圆外切等腰梯形的中位线是，求梯形的腰长． 【答案】 【详解】解：如图，∵圆外切等腰梯形的中位线是， ∴， ∵等腰梯形是的外切等腰梯形， ∴， ∴， 即梯形的腰长为． 切线的判定与性质 40．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 【答案】D 【详解】解：如图， 过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中， 能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键. 41．（23-24 九年级上·北京东城·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 42．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， 的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 43．（23-24 九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 44．（23-24 九年级上·吉林·期末）已知内接于，过点作直线． （1）如图1所示，若为的直径，要使成为的切线，还需要添加的一个条件是________________． （2）如图2所示，如果是不过圆心的弦，且，那么是的切线吗？试证明你的判断． 【答案】（1）或 或等；（2）是，证明见解析． 【详解】（1）或 或等(其他填法正确也可) （2）是； 作直径，连 则， 为直径 是的切线． 【点睛】此题主要考查圆的性质和切线的性质和判定，熟练掌握，即可解题. 45．（23-24 九年级上·北京海淀·期末）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 46．（23-24 九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【详解】（1）如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．（23-24 九年级上·云南·期末）如图所示，是的直径，切于，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：是的直径，切于， ， 在中，，，则， ，是的一个外角， ． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、垂直定义、三角形内角和定理、圆的基本性质、等腰三角形性质、三角形外角性质等知识，熟练掌握相关几何性质灵活运用是解决问题的关键． 正多边形与圆 48．（23-24 九年级上·湖北随州·期末）已知正十边形内切圆的半径是4，那么这个正十边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得图如下：点为切点，连接， ∴正十边形的中心角， ∴，， ∵正十边形内切圆的半径是4， ∴，， ∴， ∴正十边形的面积． 故选：B． 49．（23-24 九年级上·河北邯郸·期末）如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．18 B． C．9 D． 【答案】B 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作，垂足为T， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴， 过点P分别作正六边形的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H， 则点P到这个正六边形六条边的距离之和， 故选：B． 50．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）圆的内接正六边形的边长为，则它的边心距等于 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，，过O作于G， ∵此多边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴边心距 故答案为. 51．（23-24 九年级上·云南红河·期末）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 52．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 扇形的弧长和面积公式 53．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【答案】C 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 54．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 55．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：如图，连接，． 由（1）知，， 是等腰直角三角形（底边上三线合一）， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，同弧所对圆周角相等，掌握相关定义以及定理是解题的关键． 56．（2016·福建漳州·一模）已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 【答案】 【详解】解：设圆的半径为， ， 解得：， 故答案为：． 57．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形的边长，．把绕B逆时针旋转，使C恰好落在上的点E处，线段扫过部分为扇形．则扇形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是， 故答案为：． 58．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 【答案】 16 34.54 【详解】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 圆锥问题的相关计算 59．（23-24 九年级上·云南保山·期末）若一个圆锥的主视图是等边三角形，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆心角的度数为，主视图的等边三角形的边长是，则圆锥底面直径是，底面周长是， ∴， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角的度数为． 故选：D． 60．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意： ， 解得． 故答案为：． 61．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ∴， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 62．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 63．（23-24 九年级上·四川广安·期末） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/厘米 【详解】解：画出圆锥侧面展开图，点A在点处，连接，如图所示： 根据题意得：，点为的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为：， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，交于， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 2．（23-24 九年级上·山东德州·期末）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中， ∴ 即直尺的宽度为． 故选：C． 3．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 4．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：A． 5．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵点为中点，即， ∴， ∴， 故选A． 6．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接， 则为的直径， 是的外接圆，且点H为中点， ，， ， 四边形是内接四边形，且， ， 是等边三角形， ， ， 设的半径为x，则，， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长， 此时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键． 7．（23-24 九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论： ①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④． 其中正确的结论是（    ）    A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵点D是中点，， ∴，， 故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵，，且， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线是的切线 ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ ∴直线是的切线，故③正确； 若，则 ∴ 根据条件无法得出以上结论，故④错误； 故选：C 二、填空题 8．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 10．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．（23-24 九年级·重庆武隆·期末）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 12．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，， ∵， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当D，C，H共线时，最大，如下图所示 ∵，，，， ∴、是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴D、A、C、E四点共圆，故①正确； ∵ ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】此题主要考查旋转的性质综合，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意将线段绕点A逆时针旋转得到线段，找到最大的情况，再进行求解． 三、解答题 13．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 【答案】2 【详解】解：由题意可知．垂直平分，． 点是中点， 又∵是的直径．即点是中点， ∴是的中位线． ∴． 在中， ∵． ∴． ∴． 14．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为．    15．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接，连接交于， 为外心， ， ，， ． ， ， ， ， 为重心． ． ， ． 16．（23-24 九年级上·广西南宁·期末）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 17．（23-24 九年级上·浙江台州·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24 九年级上·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$