专题11 二次函数与几何的综合问题（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题11 二次函数与几何的综合问题 线段之和最值问题 1．（23-24 九年级上·山东东营·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)有最大值为4，此时； (3)． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式， 令，解得：，， ∵点在A点右侧， ∴，， （2）解：令，将其代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得：， ∴． 过点作轴的垂线交直线于点， ∵点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合）， 故设，则， ∴ ∴当时，有最大值为4， 此时． （3）解：由（2）可知： ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴连接，与对称轴的交点即为点Q，此时的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得： ∴， 令，得， ∴． 2．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 3．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)存在， 【详解】（1）解：令，即， 解得或 ∴，， 则， 当时，， ∴，， ∴． （2）存在这样的点，理由如下， 联立， 解得或， ∴， ∵， ∴． 连接、，如图， 则 ∵ ∴． ∴当、、三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 则直线的解析式为：， ∵时，， ∴． 4．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把、、代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 5．（23-24 九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的横坐标为4，当时，有最大值：    (1)求二次函数的表达式； (2)点在对称轴上，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵当时，有最大值： ∴设抛物线为， 把代入可得： ， 解得：， ∴抛物线为：． （2）如图，连接，    由抛物线的对称性可得：， ∴， 当，，共线时，最短， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数，一次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练的利用轴对称的性质求解线段和的最小值是解本题的关键． 线段长最值问题 6．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为4 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得：， ∴直线BC的表达式为； 设点P的坐标为，则点D的坐标为， 则． ∵， ∴当时，有最大值为4． 7．（23-24 九年级上·广西·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过轴上的两点，与轴交于点，直线的解析式为．    (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴于，交于，求最大时，点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为1 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则， ∴； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：点为直线上方的抛物线上的一点，轴， 设， 则， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为1， 此时． 8．（23-24 九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于A，两点，其中A点的坐标为． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点C为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，请求出点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值及点D的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②的最大值， 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，A点的坐标为， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入抛物线的解析式得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）将代入得， 点的坐标为． ． ①点的坐标为， ． 设点的坐标为，则点到的距离为． ， ，即， 解得． 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 点的坐标为或． ②如图所示： 设的解析式为， 将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为． ， 当时，有最大值，的最大值， 此时， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数最值等知识，数形结合是解题的关键． 9．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)该抛物线上有一点不与点、、重合，使得，求点的坐标； (3)点是线段上的动点不与点、点重合，过点作轴交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)， 【详解】（1）抛物线经过点，， 可设抛物线的解析式为， 把代入得， ， 抛物线的解析式为． （2）根据题意得点的纵坐标为， 把代入，得， 解得（舍去）或， 把代入并整理，得， ， 该方程无解． 综上，点的坐标为． （3）解：如图所示，    ∵，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，取得最大值． 此时，即． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式和利用二次函数的图象中几何关系求点坐标，解题的关键是：首先要熟练掌握二次函数解析式的求法，可根据条件选择合适的表达方式进行快速求解，而且要熟知二次函数图象的性质． 面积问题 10．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为线段下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积最大，求此时的面积和点M的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是8，此时点M的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴抛物线的解析式为：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点M作轴交BC于点N，连接，． ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点 设直线的函数解析式为，将点，代入， 得，解得：， ∴直线BC的函数解析式为， 设点M的横坐标为（）， 则点M的坐标为，点N的坐标为， ∴， ， ∴当时，的面积最大，最大值为8． 把代入，得， ∴点M的坐标为． 故面积的最大值是8，此时点M的坐标为． 11．（23-24 九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时的坐标为 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则和的边上的高之和等于， 设点的坐标为，则， 所以， 则的面积， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时， 所以的最大值为，此时的坐标为． 12．（23-24 九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①3；②存在满足条件的点，其坐标为或． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，如图1， 则， ， ； ②设，由①可知， ， ， ， 解得或， 点坐标为或， 即存在满足条件的点，其坐标为或． 13．（23-24 九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，    设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则点的坐标为； 在中，当时， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为． 14．（23-24 九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②在①的条件下，的面积不是最大，理由见解析 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为， （2）①若，则， ∴抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， 设点 设直线BC的解析式为， ∴解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得， ∴， 由，可知 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值 ∵，符合题意，取得最大值时，． ②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下： 由①可知． ∵， ∴当时，的面积最大． 二次函数与等腰三角形的结合 15．（23-24 九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为 【详解】（1）解：， ， 解得，，， ∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； ∵直线过点， ∴直线的解析式为， ∵为等腰直角三角形， ∴或或， 设， ①当时，， 解得，，（舍去）， ∴； ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴； ③当时，可得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为 16．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为：或或或 【详解】（1）解：∵一次函数的表达式为：， ∴当时，，解得：，当时，， ∴，， ∵二次函数称轴为直线， ∴， 设二次函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴二次函数表达式为：， 整理得：． （2）存在 ①当时，如图：此时； ②当时，如图：有两种情况， ∵，， ∴， 令对称轴与x轴交于点Q， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M， ∵对称轴为直线， ∴点P横坐标为，， 设点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用各个相关知识，根据题意进行分类讨论． 17．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入线得： ， 解得， ∴抛物线的函数关系式； （2）解：设直线函数关系式为， 把代入中得：， 解得 ∴直线函数关系式为， ∵点D的横坐标为m， ， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值4， ∴线段长度的最大值为4； （3）解：存在m的值，使是等腰三角形，理由如下： 延长交于G，如图： ∵，， ∴点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ①若，则， 解得（舍去）或， ②当时，如图，过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； ③当时，如图，过点D作 于点K， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，符合题意）或（舍去0）， 综上所述，满足条件的m的值为或4或3． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的定义，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 18．（23-24 九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； (3)存在，或或． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得， 物线的解析式为； （2）解：如图1，过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G， 设直线的解析式为， 直线经过，， ， 解得， 直线的解析式为， 点P是抛物线上的点且在直线上方， 设，则， ， 设面积为， ， ， 当最大值为时，，此时， 当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； （3）解：当时，， ， ， ①当，在点C的上方时， ， 点的坐标为； ②当，在点C的下方时， ， 点的坐标为； ③当时， 设，则， ， 点的坐标为； 综上所述，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 二次函数与直角三角形的结合 19．（23-24 九年级上·广西玉林·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得， ； （2）解：如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3），点在上， 如图2，当时， 过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图3，当时， 过点作轴交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图4，当时， 线段的中点，， 设， ， ， 或， 或； 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 20．（23-24 九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于E点，点P是线段BE上的动点（除B，E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当点P的横坐标为2时，求四边形的面积 (3)如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (4)如图3，点在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)是， (4) 【详解】（1）解：当时，， ，是的两根， ∴，， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）把代入得：， ． 又当时，， ， ∴线段轴． ， ∴顶点， ； （3）是定值，定值是8， 设， 则，， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （4）过点Q作PD延长线的垂线，垂足为G， 设点，则， 则，，，， ， ， ， ， 又， ∴， ， ， ， 经检验是分式方程的解， 点D横坐标为， 点P的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象几何综合题，用到了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一元二次方程、分式方程等知识，数形结合和熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：在中，当时， ， 将点代入拋物线中，得：， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴； ∵点关于轴的对称点为， ∴． ∴， ， 如图知，， 故可知为直角三角形有两种情况： 当，有，即． 解得： 点的坐标为； 当，有，即， 解得：， 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 22．（2018·湖北十堰·三模）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)、、或 【详解】（1）解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 23．（23-24 九年级上·浙江·期末）如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）∵抛物线与轴的一个交点是 ∴ ∴ （2）如图 ∵当时， ∴点B的坐标是 设直线的解析式为 ∵过点， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵当时， ∴点E的坐标是 ∵当时， ∴点P的坐标是 ∴； （3）①当时，直线交轴于，如图， ∵，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，即：， ∴， 设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线解析式为， 联立：，解得：或， ∵ ∴； ②当时，直线交轴于，如图， 同理可得为等腰直角三角形，即：， ∴， 设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线解析式为， 联立：，解得：或， ∵ ∴； ③当时，此时点在上方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即：， ∴， 解得：（负值舍去），（经检验是方程的解）， 则： ， ∴； 当时，此时点在下方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， 同理可证， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即：， ∴， 解得：（正值舍去），（经检验是方程的解）， 则： ， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，等腰三角形的直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，讨论直角的位置，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键． 二次函数与平行四边形的结合 24．（23-24 九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 25．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，将直线沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作轴交于点M，交于点H，过点M作于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，当点P满足（2）问条件时，将绕点C逆时针旋转得到，此时点恰好落到直线上，已知点F是抛物线上的一个动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【详解】（1）解：点，， ， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）由得，， ， 设解析式为，将、代入得：， 解得， 解析式为， 将直线沿轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于、两点， 解析式为， 过点作轴交于点，交于点， ， 、， ，， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， 取最大值即是取最大值， 设，则， ， 当时，最大值为：， 此时， 最大值为，； （3）将绕点逆时针旋转得到，此时点恰好落到直线上， ， 而、， 设，则， 解得或（此时旋转角大于舍去）， ， 点是抛物线上的动点，在直线上，设，， 以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况： ①、为对角线，中点为，中点为， 中点与中点重合， ， 解得（此时与重合舍去）或， ， ②、为对角线，同理可得， 解得或， 或， ③、为对角线，则， 解得：（此时与重合舍去）或， ， 总上所述，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，或，或，或． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，平行四边形性质，旋转的性质求解，求二次函数解析式，函数的平移，坐标与图形，解直角三角形的相关计算等知识，难点较大，设相关点坐标，表示出线段长度，再根据已知列方程是解题的难点． 26．（23-24 九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①最大值为；②存在，点P有或或． 【详解】（1）解：将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； （2）解：①过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， 则， ∴ ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 此时点E的坐标为； ②如图：、， ，对称轴为直线， 设，， a．当为对角线时， 则， 即， ，所以； b．当为对角线时， 则， 即， ，所以； c．当为对角线时， 则， 即 ，所以 所以，符合题意的点P有或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思想． 二次函数与菱形的结合 27．（23-24 九年级上·湖南岳阳·期末）如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 【答案】(1) (2)当时，周长的最大值为， (3)N点坐标为或或或 【详解】（1）解：将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴周长， ∴当时，周长的最大值为， 此时； （3）解：∵， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，， 令，则， 解得或， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的长转化为求的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键． 28．（23-24 九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点的坐标为时，的面积最大，最大值为 (4)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：，， ，， 抛物线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得：，， ，抛物线的对称轴为直线， 点在直线上，点关于直线对称， ，， 如图，当点、、在同一直线上时，的周长，此时最小， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ； （3）解：如图，过点作轴于点，交直线于点， ， 设，则， ， ， 当时，的面积最大， ， 当点的坐标为时，的面积最大，最大值为； （4）解：存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形， ，， ， 当为菱形的边长时，如图所示， ， 则，且， ，，； 当为菱形对角线时，如图， ， 则，， 设， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查饿了二次函数的综合应用、菱形的性质，解题的关键是找特殊点，充分利用对称轴、顶点坐标等知识，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 29．（23-24 九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点D，与直线交于点F，交x轴交于点E．当取得最大值时，求m的值和的最大值； (3)若抛物线的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)或或或 【详解】（1）解：将点和代入得：， 解得， 则抛物线的函数解析式为． （2）解：由题意可知，点的坐标为， 对于二次函数， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点和代入得：，解得， 则直线的解析式为， ， ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为． （3）解：， 则此二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 可设点的坐标为， ，，， ①如图1，当为菱形的对角线，时， ，即， 解得， 或， 由菱形的性质可知，， ， ∴当点的坐标为时，， 当点的坐标为时，； ②如图2，当为菱形的对角线，时， ，即， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ， 设此时点的坐标为， ∵菱形的对角线互相平分， ∴，解， ∴此时点的坐标为； ③如图3，当为菱形的对角线，时， ，即， 解得， ，， 由菱形的性质可知，， ， ，即， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、菱形的性质等知识，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题． 30．（23-24 九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴， 解这个方程组，得 ， ∴抛物线的表达式为； （2）解：延长交x轴于点H， 设直线的表达式为， ∴， 解这个方程组，得， ∴直线的表达式为． ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，，， 抛物线，向右，向下分别平移了2个单位长度， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， 设，， ①若时，则：， 解这个方程，得， ∵四边形CMGN是菱形， ∴， 解这个方程组，得， 故点的坐标为； ②若时，则有， 解这个方程，得或， ∵四边形是菱形， ∴， 解这个方程组，得或， 故点的坐标为或； 综上可得，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数中动点最值问题，菱形的性质等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 二次函数与角度的结合 31．（23-24 九年级上·广东汕尾·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点G为抛物线在第一象限上的一点，且，求点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， ∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：当时，， ∴点，即 ∵点， ∴， ∴， 设直线交y轴于点H，过点H作于点N，      在中，， 即， ∵， 可设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， ∴点． 32．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线在第一象限内的一动点，过P作交x轴于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与y轴交于点N，M是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为8 (3) 【详解】（1）解：，， ， 则， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：过点B作，过点P作，交于点G，连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 当有最大值时，有最大值为， 为定值， 最大时，有最大值， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 当时，的面积最大， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为； （3）解：， 原抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移2个单位，向上平移1个单位， 新抛物线的解析式为， 设交x轴于点Q，过点Q作垂足为H， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的角平分线，即， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ， ，即， ，即， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 解得：或（舍去，不符合题意）， M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与相似三角形综合问题，二次函数的平移问题，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 33．（23-24 九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，垂足为点E，连接，当四边形的面积最大时 ①求证：四边形是平行四边形； ②若点F是的中点，在抛物线上是否存在点Q，使得经过点F、Q的直线与y轴所夹的锐角与相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②存在，或或或 【详解】（1）解：依题意，将、代入得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①在抛物线上，当时， 解得：， ∴， 设直线的解析式为 把、代入 得 解得 ∴直线的解析式为： ∵点在线段上， 设，则 ∴ 故 当时，则， 那么四边形的面积最大，此时， ∵轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②设交x轴于点N， ∵点F是的中点，， ∴点F的坐标是， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，则，    设直线与x轴的负半轴交于点R，则， 则， 则点R即为点B， 设直线的解析式为，把点B和点F的坐标代入得 解得 ∴直线的解析式为：， 联立得到 解得或， ∴此时点Q的坐标为或， 如图，当时， 设直线与x轴的正半轴交于点M， ∵ ∴， ∴，    则， 则， ∴点M的坐标是， 设直线的解析式为，把点B和点F的坐标代入得 解得 ∴直线的解析式为：， 联立得到 解得或， ∴此时点Q的坐标为或， 综上可知，点Q的坐标为或或或 34．（23-24 九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为：或． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； （2）解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； （3）解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 二次函数与相似的结合 35．（23-24 九年级上·云南保山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的解析式为 (3)满足条件的点的坐标为或或或 【详解】（1）解：在中，令得：， 解得， ， ， ， ， ； （2）解：点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为， 由（1）知，， ，， 由以点为顶点的抛物线经过点，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图： 点在抛物线 的对称轴上，即在轴上， ， ，， 要使以点、、为顶点的三角形与相似，只需或， 设点的坐标为， ①当时，， ， ， ，； ②当时，， ， ， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 36．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线过点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴是直线，连接，过A作轴于C． (1)求抛物线的表达式； (2)若M是上的一点，作交于点N，当面积最大时，求点M的坐标； (3)P是x轴上异于C的一点，过P作轴与抛物线交于Q，连接．当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵抛物线过原点，对称轴是直线， ∴点坐标为． 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）设， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 设直线的解析式为， 把代入得 ，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为． 将直线与直线方程联立得， 解得， ∴， ∴， 当时，有最大值3， ∴； （3）设， ∵， 当时，，即， ∴，即， 则得（舍去），，此时点坐标为， 或得（舍去），，此时点坐标为； 当时，，即， ∴，即， 则得（舍去），，点坐标为， 或得（舍去），，此时点与点重合，舍去， 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定及性质，一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键． 37．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则， ， 抛物线经过，两点， 将的坐标代入解析式可得 ， 解得， 抛物线解析式为：； （2）解：令抛物线，可得或， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入直线，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 设P点坐标为（,）， 设直线的解析式为：， 将， ）代入解析式中，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与直线 ， 解得， 如图过点P作轴于点H，作轴于点G ， 又 ， 解得：或， 经检验，，都是方程的根， 当时，； 当时， 故点P的坐标为（，），（，）； （3）解：设P点坐标为， ， ，， ， 轴， ， 又, ， ， ①当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ； ②当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1．（23-24 九年级上·广东湛江·期末）如图，已知直线与抛物线交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：在中，当时，，解得，则， 把，代入中得： ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）记于y轴的交点为， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴交于， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，有最大值， ∴的最大值为：； （3）如图，当在的右边， 记直线交y轴于R，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 2．（23-24 九年级上·广东广州·期末）综合与探究：如图，已知点，，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作轴交线段于点F，连结，若点，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)2 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由得 对称轴为直线 ， ∵点A、B关于直线对称， ∴连接与对称轴为直线的交点就是符合条件的点D ， 设直线的解析式为，则有 得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点D的坐标为； （3）解：如图， ，， 轴，且， 轴交线段于点F且∶， 当时，， ， ， 又， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，平行坐标轴直线特征，线段和最小值问题，面积问题等；掌握待定系数法及“将军饮马”问题的典型解法是解题的关键． 3．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 4．（23-24 九年级上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线与y轴交于点C． (1)如图，当时，点P是抛物线段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当面积最大时，求点P的坐标； (2)在y轴上有一点，当点C在线段上时，直接写出m的取值范围； 【答案】(1)①，，，；② (2)或 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别交于，两点， ，； ， 抛物线的顶点为， 令，则， ， ①当时，，， ∴，，，， ②当时，直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 如图，过点作轴交直线于点， 设点的横坐标为， ，， ， ∴的面积为：， ， 当时，的面积的最大值为3， 此时； （2）解：由（1）可知，，， 轴上有一点，点在线段上， 需要分两种情况： 当时，可得， 当时，可得， 的取值范围为：或． 5．（23-24 九年级上·湖北·期末）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴正半轴交于点C，．直线交抛物线于点D，交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），E是抛物线上一点，点E到的距离为2，连接交于点G，连接，求与的面积比； (3)如图（2），H是抛物线上直线右侧上一点，连接交于点M，直线交于点N，若，求n值． 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵点B在点A的右边 ∴ 把代入 得出 解得 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 设的解析式为 把，代入 得 ∴ ∴直线的解析式为 ∵直线交抛物线于点D，交x轴于点F ∴ ∵点E到的距离为2， ∴的面积， 的面积 ∴； （3）解：设，设直线的表达式为：， 代入点得：， 解得：， ∴直线的表达式为： ∴， ∵，， 同理可求直线表达式为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍）． 6．（23-24 九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，或 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入抛物线得∶，解得：， ∴抛物线的解析式为∶； （2）解：当时，， 解得：， ∴B点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的周长最大， 设D点坐标为， 设直线的解析式为， 代入B点的坐标，得∶，解得， ∴直线的解析式为∶， ∴F点的坐标为 ∴ ∴当时，取最大值为 ∴周长的最大值为， （3）解：根据题意得：， ①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半， ∴， 以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ ， 整理方程，得∶ 即 设，则原方程为∶， 解得，， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 ∴点M的坐标为或； ②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为， 以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ 整理方程，得∶ 设，则原方程为∶，解得， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 综上所述∶点M的坐标为或． 7．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)的最大值为 (3) (4)的值为或 【详解】（1）解：∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）∵轴， ∴， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点P在线段上时，则有， ∴，此方程无实数根， 当点P不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 8．（23-24 九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点和点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式． (2)如图，平移线段，点的对应点落在第一象限的抛物线上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标． (3)如图，在（）的条件下，连接，为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)四边形是平行四边形，； (3)存在，点的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由平移可得，，， ∴四边形是平行四边形， 设，则由平移的性质可得， ∵点落在直线上， ∴， 解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当时，为直角三角形， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的纵坐标等于点的纵坐标， ∴点的纵坐标等于， 把代入得，， 解得（不合，舍去），， ∴； 当时，为直角三角形， 过点作轴于，设直线与轴的交点为点，则， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为，则，， ∴， ∴， 整理得，， 解得（不合，舍去），， ∴，此时点与点重合； 综上，存在点的坐标为或时，以为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平移的性质，平行四边形的判定，二次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 9．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【详解】（1）解：把和代入，得 ，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：， ∵， ∴顶点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴, 当是以为底的等腰三角形时， 则， 又∵点C在抛物线对称轴上， ∴点A、点B关于直线对称， ∴， ∵点A的横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点都在直线上， ∴三点共线， ∴的面积即为的面积， ∴的面积为； （3）解：①当时，则，，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ②当时时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ③当时时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ④当时有时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ⑤当时有时，则-，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ⑥当时有时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； 综上，当或时，抛物线与矩形有3个交点． 10．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 【答案】(1) (2)①存在，P的坐标为，，；②和 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，过点C作直线于E，并延长使，则点与点关于直线对称，过点作， 设，直线的解析式为，则， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， ∴直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②由（1）可得：，， ∴，， ∴， （Ⅰ）如图1，当B为直角顶点时，过B作交x轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即， （Ⅱ）如图2，当为直角顶点时，作，连接， 将与联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 则， 故点坐标为； （Ⅲ）如图3，当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，设 ∵， ∴， ∵， ∴ 得：， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 11．（23-24 九年级上·江苏盐城·期末）已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) (4)存在，或 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，得抛物线对称轴为直线， 设点Q的坐标为，， ①若对角线是， 由平行四边形的性质可得与互相平分， 则，即， 解得， ∴点N的坐标为， ②若对角线是， 由平行四边形的性质可得互相平分， 则，即， 解得， ∴点 N的坐标为， ③若对角线是， 由平行四边形的性质可得互相平分， 则，即， 解得， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或或； （3）解：过点A作，交y轴于点G， 把代入，得， 解得， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，点F的坐标为， ∵点D为直线下方抛物线上一动点， ∴， 由，设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 得， 当时，取得最大值，最大值为； （4）解：①若△ABM∽△ACB， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，（点B的坐标，舍去）， ∴点P的坐标为； ②若， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，（点B的坐标，舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求最值，本题的关键是利用分类讨论思想解题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数与几何的综合问题 线段之和最值问题 1．（23-24 九年级上·山东东营·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． 2．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 4．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 5．（23-24 九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的横坐标为4，当时，有最大值：    (1)求二次函数的表达式； (2)点在对称轴上，当的值最小时，求点的坐标． 线段长最值问题 6．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值． 7．（23-24 九年级上·广西·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过轴上的两点，与轴交于点，直线的解析式为．    (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴于，交于，求最大时，点的坐标及的最大值． 8．（23-24 九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于A，两点，其中A点的坐标为． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点C为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，请求出点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值及点D的坐标． 9．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)该抛物线上有一点不与点、、重合，使得，求点的坐标； (3)点是线段上的动点不与点、点重合，过点作轴交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 面积问题 10．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为线段下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积最大，求此时的面积和点M的坐标． 11．（23-24 九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 12．（23-24 九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24 九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 14．（23-24 九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 二次函数与等腰三角形的结合 15．（23-24 九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 16．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 17．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24 九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 二次函数与直角三角形的结合 19．（23-24 九年级上·广西玉林·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（23-24 九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于E点，点P是线段BE上的动点（除B，E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当点P的横坐标为2时，求四边形的面积 (3)如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (4)如图3，点在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点P的坐标． 21．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标． 22．（2018·湖北十堰·三模）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 23．（23-24 九年级上·浙江·期末）如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 二次函数与平行四边形的结合 24．（23-24 九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 25．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，将直线沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作轴交于点M，交于点H，过点M作于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，当点P满足（2）问条件时，将绕点C逆时针旋转得到，此时点恰好落到直线上，已知点F是抛物线上的一个动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（23-24 九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 二次函数与菱形的结合 27．（23-24 九年级上·湖南岳阳·期末）如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 28．（23-24 九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（23-24 九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点D，与直线交于点F，交x轴交于点E．当取得最大值时，求m的值和的最大值； (3)若抛物线的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标． 30．（23-24 九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 二次函数与角度的结合 31．（23-24 九年级上·广东汕尾·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点G为抛物线在第一象限上的一点，且，求点G的坐标． 32．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线在第一象限内的一动点，过P作交x轴于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与y轴交于点N，M是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 33．（23-24 九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，垂足为点E，连接，当四边形的面积最大时 ①求证：四边形是平行四边形； ②若点F是的中点，在抛物线上是否存在点Q，使得经过点F、Q的直线与y轴所夹的锐角与相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（23-24 九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 二次函数与相似的结合 35．（23-24 九年级上·云南保山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 36．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线过点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴是直线，连接，过A作轴于C． (1)求抛物线的表达式； (2)若M是上的一点，作交于点N，当面积最大时，求点M的坐标； (3)P是x轴上异于C的一点，过P作轴与抛物线交于Q，连接．当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标． 37．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 1．（23-24 九年级上·广东湛江·期末）如图，已知直线与抛物线交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标． 2．（23-24 九年级上·广东广州·期末）综合与探究：如图，已知点，，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作轴交线段于点F，连结，若点，请直接写出的面积． 3．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 4．（23-24 九年级上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线与y轴交于点C． (1)如图，当时，点P是抛物线段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当面积最大时，求点P的坐标； (2)在y轴上有一点，当点C在线段上时，直接写出m的取值范围； 5．（23-24 九年级上·湖北·期末）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴正半轴交于点C，．直线交抛物线于点D，交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），E是抛物线上一点，点E到的距离为2，连接交于点G，连接，求与的面积比； (3)如图（2），H是抛物线上直线右侧上一点，连接交于点M，直线交于点N，若，求n值． 6．（23-24 九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 7．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 8．（23-24 九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点和点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式． (2)如图，平移线段，点的对应点落在第一象限的抛物线上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标． (3)如图，在（）的条件下，连接，为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 10．（23-24 九年级上·河北沧州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 11．（23-24 九年级上·江苏盐城·期末）已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$