专题10 二次函数的图象与性质（十一大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题10 二次函数的图象与性质 二次函数的概念 1．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）二次函数的一次项系数是（　　） A．3 B．2 C． D．0 2．（23-24 九年级上·陕西西安·期末）下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 3．（23-24 九年级上·江西·期末）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 九年级上·山西·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 二次函数的对称性和增减性 5．（23-24 九年级上·云南·期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（    ） … … … … A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 6．（23-24 九年级上·广东汕尾·期末）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24 九年级上·陕西安康·期末）已知，抛物线上的两点，关于它的对称轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 9．（23-24 九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若为二次函数图象上三点，则的大小关系为 ． 二次函数的最值问题 10．（23-24 九年级上·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24 九年级上·河北保定·期末）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24 九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 13．（23-24 九年级上·浙江台州·期末）当时，二次函数的最小值是，则 ． 14．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ． 15．（23-24 九年级上·甘肃定西·期末）已知二次函数，求范围内的最小值． 二次函数的图象变换 16．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 ． 17．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 ． 18．（23-24 九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线 ，其中a为常数． (1)求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示） (2)将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值． 19．（23-24 九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)时，x的取值范围是______； (3)若，则y的取值范围是______； (4)把所画的图象如何平移，可以得到函数的图象？请写出一种平移方案． 一次、反比例函数与二次函数图象的判断 20．（23-24 九年级上·重庆开州·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 22．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A． B． C． D． 23．（23-24 九年级上·黑龙江大庆·期末）函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24 九年级上·河南新乡·期末）二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 根据二次函数的图象判断式子符号 25．（23-24 九年级上·江西·期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 26．（2012·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．（23-24 九年级上·广东佛山·期末）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 28．（23-24 九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（23-24 九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二次函数与一元二次方程的关系 30．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（23-24 九年级上·福建厦门·期末）抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 32．（23-24 九年级上·甘肃平凉·期末）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ． 33．（23-24 九年级上·北京丰台·期末）若二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 34．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为 ． 二次函数与不等式 35．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 36．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 37．（23-24 九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 几何图形问题 38．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 40．（23-24 九年级上·山东·期末）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． (1)与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； (2)如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 41．（23-24 九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展〝冬日情暖，喜迎元旦〞活动．小新同学对会场进行装饰，如图1，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示已知墙与等高且之间的水平距离为8m． (1)如图2，两墙的高度 ；抛物线的顶点坐标为 ． (2)为了使彩带的造型美观，小新把彩带从点M处用一根细绳吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 销售利润问题 42．（23-24 九年级上·四川·期末）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50 件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2 件．当每天的销售额最大时，每件商品的售价为 元． 43．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/包） 50 60 80 周销售量y（包） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①这种口罩的进价是________元/包； ②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润． (2)由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包，物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 44．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为 (1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？ (3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围． 45．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价不低于成本价．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件． (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 46．（23-24 九年级上·云南玉溪·期末）某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售． (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 47．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足． (1)今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值； (2)该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 抛物型问题 48．（23-24 九年级上·重庆渝北·期末）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 49．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 50．（23-24 九年级上·广东珠海·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（   ） A． B． C． D． 51．（23-24 九年级上·云南玉溪·期末）如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．求图像的解析式． 52．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 53．（23-24 九年级上·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 54．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，结论错误的是（   ） A． B． C． D．若、、是抛物线上的三点，则 2．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A．n的值为16 B．当时，x的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 3．（23-24 九年级上·广西防城港·期末）已知四点，，，，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二次函数图象的对称轴为（　　） A．x B．x C．x D．x 4．（23-24 九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 5．（23-24 九年级上·福建龙岩·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24 九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24 九年级上·北京·期末）二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为 ． 8．（23-24 九年级上·广西南宁·单元测试）已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为 ． 9．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）抛物线经过点两点，则关于x的一元二次方程的解是 ． 10．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是 11．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题 12．（23-24 九年级上·重庆荣昌·期末）已知一次函数的图像与x轴交于点，与函数的图像交于点． (1)求一次函数的函数表达式，并在图中画出这个一次函数图像； (2)若函数的图像与图像的另一交点为C，求的面积； (3)根据函数图像，直接写出不等式的解集． 13．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．双曲线与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标． (1)当点P的横坐标为2时，求k的值； (2)在（1）的条件下，易求Q点坐标为，请结合图象直接写出不等式的解集________； (3)当时，连接，记的面积为S，若，直接写出k的取值范围． 14．（23-24 九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 15．（23-24 九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 16．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 17．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 18．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表． 飞行水平距离 0 8 12 20 24 飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8 探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题： ①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离； ②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数的图象与性质 二次函数的概念 1．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）二次函数的一次项系数是（　　） A．3 B．2 C． D．0 【答案】C 【详解】因为二次函数的一次项系数是． 故选：C． 2．（23-24 九年级上·陕西西安·期末）下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，是二次函数，符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 3．（23-24 九年级上·江西·期末）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即， 故选：D． 4．（23-24 九年级上·山西·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 二次函数的对称性和增减性 5．（23-24 九年级上·云南·期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（    ） … … … … A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】B 【详解】解：∵当、时的函数值都是， ∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即， 故选． 6．（23-24 九年级上·广东汕尾·期末）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的对称轴为，， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴， ∵，则，， ∴时的函数值与的函数值相等，且， ∴， ∴， 故选：B ． 7．（23-24 九年级上·陕西安康·期末）已知，抛物线上的两点，关于它的对称轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点P的坐标为， 设点， ∴点P和点Q关于直线对称， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为：， 故答案为：． 8．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 9．（23-24 九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若为二次函数图象上三点，则的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线，而到直线的距离最远，到直线的距离最近， ∴， 故答案为： 二次函数的最值问题 10．（23-24 九年级上·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得 ∴， ∴， ∴时，有最小值． 故选：． 11．（23-24 九年级上·河北保定·期末）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 对称轴为直线， ①当时，在处函数有最大值4， 则， 解得：； ②当时，在处函数有最大值4， 则， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③当时，在处函数有最大值4， 则， 解得：，不符合题意，舍去， 综上可知，实数m的值为2或， 故选：C． 12．（23-24 九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符； ②当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ③当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符． 综上，的值为或． 故答案：或． 13．（23-24 九年级上·浙江台州·期末）当时，二次函数的最小值是，则 ． 【答案】1或 【详解】解：的对称轴为直线，，抛物线的开口向上， ①当，即时，则时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， ②当，即时，则时，， ∴； 解得：， ③当，即时，则时，， ∴ ∴， 解得：（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：1或 14．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ． 【答案】或 【详解】解：由， ∴二次函数的对称轴为直线， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得（舍去）， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得或（舍去）， 若，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得或（舍去）， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得（舍去）， 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 15．（23-24 九年级上·甘肃定西·期末）已知二次函数，求范围内的最小值． 【答案】 【详解】解：， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，当时，随的增大而增大， ∴在范围内随的增大而增大， 当时，y取得最小值，此时， 即范围内的最小值为4． 二次函数的图象变换 16．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 ． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的平移规律可得，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 17．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是． 故答案为：． 18．（23-24 九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线 ，其中a为常数． (1)求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示） (2)将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线 向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴， ∵， ∴， 即：平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值为． 19．（23-24 九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)时，x的取值范围是______； (3)若，则y的取值范围是______； (4)把所画的图象如何平移，可以得到函数的图象？请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) (4)向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位单位（方法不唯一） 【详解】（1） 列表：给出x一些值求出对应的y值，增入表中， x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 8 3 0 0 3 8 ……2 描点、连线：以表中每一对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，而后用平滑的曲线把各点顺次连接起来，就得到函数的部分图象； （2）由图知，二次函数图象开口向上，交x轴于点和点， ∴当时，或； 故答案为：或； （3）∵二次函数图象对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点与点对称，时，， ∴当时，， ∴当时，； 故答案为：； （4）∵函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象， ∴函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象（方法不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数与方程与不等式的关系，二次函数图象平移，是解决问题的关键． 一次、反比例函数与二次函数图象的判断 20．（23-24 九年级上·重庆开州·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点及第二、四象限，故可排除D； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为，且开口向上，故可排除A，B； 故选：C． 21．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，，二次函数开口向上，一次函数过二、三、四象限， ②当时，，二次函数开口向下，一次函数过一、二、四象限， 由各选项的图象可以看出，选项正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 22．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； B、根据反比例函数图形可得， ，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； C、根据反比例函数图形可得，，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意； D、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意； 故选：C． 23．（23-24 九年级上·黑龙江大庆·期末）函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为， A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确； B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误； C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； 故选：A． 24．（23-24 九年级上·河南新乡·期末）二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由二次函数图象可知，， 由对称轴，可知， 所以反比例函数的图象在一、三象限， 一次函数经过一、二、四象限． 故选：D． 根据二次函数的图象判断式子符号 25．（23-24 九年级上·江西·期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即，结论②正确； ∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∴，结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数都有， ∴，结论③正确； 由函数图象可知，当时，， 由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，即，结论④错误； 综上，正确的有②③， 故选：B． 26．（2012·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号，即． 故选：B． 27．（23-24 九年级上·广东佛山·期末）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ， 故A正确；不符合题意； B．当时，得到，由图象可知，当时，． 故B正确；不符合题意； C．对称轴为直线， ， ， 故C正确；不符合题意； D．，对称轴为直线， ， ， 故D错误．符合题意． 故选：D． 28．（23-24 九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点， ∴，， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：D． 29．（23-24 九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①由抛物线可知：， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 抛物线过点， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④错误； ⑤当时，y的最小值为， ∴时，， ∴， 即，故⑤错误； 故错误的有：④⑤． 故选：B． 二次函数与一元二次方程的关系 30．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵对任意实数x，抛物线在直线的上方， 即抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程，即没有实数根， 则， 解得， 故选：D 31．（23-24 九年级上·福建厦门·期末）抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴时，， 解得，，． ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的长为：． 故答案为：6． 32．（23-24 九年级上·甘肃平凉·期末）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ． 【答案】且 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：且 ． 33．（23-24 九年级上·北京丰台·期末）若二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ， 解得：， 为二次函数， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 34．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为 ． 【答案】4 【详解】解：当时， ∴， ∴， 解得：，， ∴两个交点的横坐标分别为，； ∴． 故答案是：4． 二次函数与不等式 35．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 36．（23-24 九年级上·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 37．（23-24 九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)或． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 观察函数图象知，当时，的取值范围为或． 几何图形问题 38．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时，， 解得 ∵的长不能超过， ∴， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得： 解得或 ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误； 设矩形菜园的面积为，　　 根据题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确； ∴正确的有１个， 故选：B． 39．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 40．（23-24 九年级上·山东·期末）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． (1)与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； (2)如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1) (2)窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米 【详解】（1）解：根据题意，窗框的高为米，则宽为米， 根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，且最大值为， 即窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米， 答：窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米． 41．（23-24 九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展〝冬日情暖，喜迎元旦〞活动．小新同学对会场进行装饰，如图1，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示已知墙与等高且之间的水平距离为8m． (1)如图2，两墙的高度 ；抛物线的顶点坐标为 ． (2)为了使彩带的造型美观，小新把彩带从点M处用一根细绳吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)3米； (2)米，详见解析 【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点，即（米）， 当时，，即顶点坐标为， 故答案为：3米，； （2）设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． 销售利润问题 42．（23-24 九年级上·四川·期末）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50 件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2 件．当每天的销售额最大时，每件商品的售价为 元． 【答案】30 【详解】解：设商品降价x元，销售额为y元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴每件商品的售价元时，每天的销售额最大， 故答案为：30． 43．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/包） 50 60 80 周销售量y（包） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①这种口罩的进价是________元/包； ②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润． (2)由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包，物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 【答案】(1)①40；②关于的函数解析式为；③当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元 (2) 【详解】（1）解：①该商品进价是； 故答案为：40； ②依题意设， 则有， 解得：， 关于的函数解析式为； ③设每周获得利润 则有， 解得：， ， 当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元； （2）解：根据题意得， ， ，对称轴， 抛物线的开口向下， ， 随的增大而增大， 当时，， 即， 解得：． 44．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为 (1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？ (3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围． 【答案】(1) (2)元 (3) 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，当时，的值随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，， 答：该商场销售这种商品每天获得的最大利润为元； （3）解：∵种商品每天销售量不少于件， ∴， ∴， 又由题意得，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，的值随的增大而增大， ∵返现后发现，该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 45．（23-24 九年级上·云南昭通·期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价不低于成本价．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件． (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，W的值最大，最大值为1250元． 答：当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 46．（23-24 九年级上·云南玉溪·期末）某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售． (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w元最大，最大利润是1200元 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，w随的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值， 答：销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w元最大，最大利润是1200元． 47．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足． (1)今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值； (2)该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 【答案】(1) (2)当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得， 解得， （舍去）， ∴． （2）解：由（1）可得一月份的利润为（万元）． ∴（万元）． 设投入乙商品的成本万元，则投入甲商品的成本万元，二月份获利万元． 由题意得， ∴当时，取得最大值，（万元）． ∴当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元． 抛物型问题 48．（23-24 九年级上·重庆渝北·期末）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 49．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 【答案】C 【详解】解：设解析式为， 将抛物线上点， 带入抛物线解析式中得， 解得， 解析式为． 选项A中，，，水面宽度为故选项A错误，不符合题意； 选项B中，解析式为，故选项B错误，不符合题意； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确，符合题意； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为米，减少为原来的．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 50．（23-24 九年级上·广东珠海·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球落地，即，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻，舍去， ∴， 故选：A． 51．（23-24 九年级上·云南玉溪·期末）如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．求图像的解析式． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设所在直线为x轴，所在直线为y轴，C为坐标系原点， 由题意得，，， 则，，， ∵抛物线过，，三点， ∴可设抛物线解析式为， 将将入得，， 解得：， 图象的解析式为：（答案不唯一）． 52．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)雕塑的高度应小于米 【详解】（1）解：由题意，，． 水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米， 可设． 将，代入上面的解析式可得， ， ． 水流所在抛物线为． 顶点为． 水柱最高点到地面的距离为米． （2）解：雕塑的高度应小于1.25米．理由如下： 当时，． 答：雕塑的高度应小于米． 53．（23-24 九年级上·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 【答案】(1)小明能喷到小亮，理由见解析； (2)小亮能喷到小明，理由见解析． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线， ∵当时，， ∵且小于， ∴小明能喷到小亮； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线 ∵抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线为， 又∵当时，， ∵且小于， ∴小亮能喷到小明． 54．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，结论错误的是（   ） A． B． C． D．若、、是抛物线上的三点，则 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故A正确； ∵抛物线与x轴正半轴的交点为， ∴， ∴， ∴，，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上，， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A．n的值为16 B．当时，x的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 【答案】C 【详解】解：由题意，当点B将暂停时，的面积不变，， ， 故A正确； 由题意，当时，． ∴令，则或（舍去）． 由题意，当时，， ． 当时，F在的中点，又过2秒，F到C点，此时E在的中点， ， ∴当时， ∴此时令 或（舍去） 当继续运动时变小， ∴当时，或，故B正确； 又段的函数解析式为， ∴C说法错误． 由题意，当时，E继续运动2秒即停止， ，故D正确． 故选：C． 3．（23-24 九年级上·广西防城港·期末）已知四点，，，，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二次函数图象的对称轴为（　　） A．x B．x C．x D．x 【答案】A 【详解】解：点，， 设的解析式为 则 ∴ ∴的解析式为 当时，则 ∴在直线上， ∴点，，三点经过 抛物线不会经过、、三点， 根据点的特点，抛物线经过，，三点， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 对称轴． 故选：A． 4．（23-24 九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】A 【详解】解：当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且； 当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且． 故选：． 5．（23-24 九年级上·福建龙岩·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限， ∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数， 即方程有两个不等的负实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴． 故选：A 6．（23-24 九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵抛物线关于y轴对称， ∴设解析式为， 由题知，， 得， 解得， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（23-24 九年级上·北京·期末）二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【详解】二次函数的对称轴是 关于的对称点为 一元二次方程的解为， 故答案为，． 8．（23-24 九年级上·广西南宁·单元测试）已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【详解】∵抛物线 与直线相交于点和点， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 9．（23-24 九年级上·四川绵阳·期末）抛物线经过点两点，则关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【详解】∵抛物线经过点两点， ∴当时，则有的两个根为，， ∵移项得：， ∴的解为：或， 解得：，， 故答案为：，． 10．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是 【答案】 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵，对于，都有， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：函数的图象如图所示： 故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题 12．（23-24 九年级上·重庆荣昌·期末）已知一次函数的图像与x轴交于点，与函数的图像交于点． (1)求一次函数的函数表达式，并在图中画出这个一次函数图像； (2)若函数的图像与图像的另一交点为C，求的面积； (3)根据函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；函数图像见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的函数表达式为； 一次函数图像，如图所示： （2）解：令， 解得：或， 把代入得：， ∴， 过点B作轴于点D，过点C作轴于点E，如图所示： ； （3）解：如图，一次函数图像与二次函数图像的交点坐标为，，根据图像可知：当时，一次函数图像在二次函数图像的上面， ∴的解集为． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合应用，求一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，三角形面积的计算，画一次函数图像，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数图像的性质和二次函数的性质． 13．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．双曲线与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标． (1)当点P的横坐标为2时，求k的值； (2)在（1）的条件下，易求Q点坐标为，请结合图象直接写出不等式的解集________； (3)当时，连接，记的面积为S，若，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)的值为12 (2)或 (3) 【详解】（1）解：点P的横坐标为2， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ，且直线的图象过一，二，三象限，双曲线图象过一，三象限， 当或时，直线的图象在双曲线图象的上方， 的解集为：或； （3）解：， 直线的图象过一，二，三象限，双曲线图象过一，三象限， 点P在第一象限，点Q在第三象限， 设， 直线与y轴交于点A， 令，则， ， ， 的面积为S， ， ， ， ， ， ，即， ， 当时，随m的增大而增大； 当时，k有最小值为：， 当时，k有最大值为：， 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象的性质，如此函数的性质．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 14．（23-24 九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 【答案】(1)甲和乙的说法都不对，理由见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：甲和乙的说法都不对， 理由：当时， ，故甲的说法不对； 令， 解得，，， 故乙的说法不对； （2）证明：抛物线经过，两点， ， ， ， 即． 15．（23-24 九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得， 则一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则点的坐标为， 将点代入得：， 则反比例函数的表达式为． （2）解：∵点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点， ∴，，的边上的高为， ∴， ∴面积为， 由二次函数的性质可知，在内，当时，面积取得最大值，最大值为4， 所以面积的最大值为4． 16．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【答案】米 【详解】解：设大孔对应的抛物线解析式为：，依题意得，， ， 解得：， 即， 当时，， 解得：， ，， 即此时大孔的水面宽度为米 17．（23-24 九年级上·云南昆明·期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； (3)售价应定为每千克25元 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴w与x之间的函数解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为； ∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； （3）解：当时，可得， 解得：， ∵， ∴舍去， ∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元． 18．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表． 飞行水平距离 0 8 12 20 24 飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8 探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题： ①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离； ②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围． 【答案】(1)； (2)①火箭落到地面时飞行的水平距离为40m；②发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于． 【详解】（1）解：由表中数据可知，与成二次函数关系， ∴设，且过三点， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：①当时，， 解得，（舍去），， 所以，火箭落到地面时飞行的水平距离为； ②∵， ∴ 设发射平台相对于安全线的高度为，则飞行高度为， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， ∴，即发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$