专题09 解直角三角形及三角函数的应用（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题09 解直角三角形及三角函数的应用 利用定义求三角函数值 1．（23-24 九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意； B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意； D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 3．（23-24 九年级上·山西晋城·期末）在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变． 故选：C． 4．（23-24 九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 特殊角三角函数值的计算 5．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：． 故选：C． 6．（23-24 九年级上·山东泰安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 故选：A ． 7．（23-24 九年级上·黑龙江大庆·期末）若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 即 故选：D． 8．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由量角器读数可知， ∴， 故选：． 9．（23-24 九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：其中 【答案】； 【详解】解： ， ∵， 原式． 10．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 由特殊角的三角函数值求角度 11．（23-24 九年级上·上海·期末）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 12．（23-24 九年级上·广东汕头·期末）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：由题意得，，， ，， 即是等边三角形． 故选：C． 13．（23-24 九年级上·宁夏银川·期末）已知，则锐角A满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 14．（23-24 九年级上·山东菏泽·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 15．（23-24 九年级上·山东济南·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）已知是锐角，且，则 °． 【答案】 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： 解直角三角形 17．（23-24 九年级上·湖南岳阳·期末）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 【答案】 / 【详解】解：在中，，， ∴， ∵中，， ∴； 如图：过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 18．（23-24 九年级上·重庆渝中·期末）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/76度 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 【答案】 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， 即，， ∴， ∴， ∴与的周长比为：． 故答案为：． 20．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 21．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形． ∴，， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D．    ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴点A到直线的距离为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 22．（23-24 九年级上·北京·期末）已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： (1)线段的长； (2)的值． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵是边上的高，和是， 在中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 解非直角三角形 23．（23-24 九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 24．（23-24 九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 25．（23-24 九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 26．（23-24 九年级·山东滨州·期末）公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 27．（23-24 九年级上·山东聊城·期末）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 同角三角函数的关系 28．（23-24 九年级上·四川广元·期末）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 29．（23-24 九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【详解】， ∴原式 故答案为：． 30．（23-24 九年级上·四川资阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 互余两角三角函数的关系 31．（23-24 九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ； 故选：B． 32．（23-24 九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 33．（23-24 九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 仰角俯角问题 34．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 【答案】2.5米 【详解】解：延长交于点，设米． 由题意得，，， ，， （米），（米）， （米）． 解得， （米）， （米）． 答：测温门顶部处距地面的高度约为2.5米． 35．（23-24 九年级上·山东东营·期末）地铁以及地下停车场、隧道、下水道组成城市地下防御交通网，足以应对大部分常规战争的威胁．如图，某城市计划在山顶A的正下方沿直线方向开通穿山隧道．在点E处测得山顶A的仰角为，在距E点的C处测得山顶A的仰角为，从与F点相距的D处测得山顶A的仰角为，点C、E、F、D在同一条直线上，求隧道的长度． 【答案】 【详解】如图，过点作于，设． 在中，， ． ， ． 在中，， ． ， ， 在中，， ． ． 隧道的长度为． 36．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 37．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 38．（23-24 九年级上·甘肃白银·期末）某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【答案】楼高约，塔高约 【详解】解：根据题意可知：， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ 即楼高约，塔高约． 方位角问题 39．（23-24 九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 40．（23-24 九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 41．（23-24 九年级上·甘肃酒泉·期末）一艘船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东方向，距离海里的点，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？ 【答案】轮船自处开始至少沿东偏南度方向航行，才能安全通过这一海域． 【详解】解：过作于，则的长是沿方向距离点的最短距离． 在中， ，，海里， 海里海里， 轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险； 为了安全，应改变航行方向，并且保证点到航线的距离不小于暗礁的半径海里， 即这个距离至少为海里， 设安全航向为，作于点， 在中， 海里，海里， ， ， ． 答：轮船自处开始至少沿东偏南度方向航行，才能安全通过这一海域． 42．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【详解】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 坡度坡比问题 43．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵山坡的坡度为，米． ∴解得：(米)， 则小明上升的高度是100米， 故选：A． 44．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：根据题意得： 即 故选：D． 45．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 46．（23-24 九年级上·陕西铜川·期末）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【答案】(1)40米 (2)楼的高度约为80米 【详解】（1）解：由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； （2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·河南商丘·期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，， ∴． 故选:：A． 2．（23-24 九年级上·广东深圳·期末）如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作于．   ，， ∴ ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到是解题的关键． 3．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ， ，， 根据轴对称的性质可知： ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点E是矩形的边的中点，且于点F，则下列结论中错误的是（   ） A．图中与相似的三角形共有4个 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵，矩形， ∴， ∵， ∴， 同理得：，，，， ∴图中与相似的三角形共有5个，选项错误，符合题意； B、过D作交于N， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵点E是矩形的边的中点 ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； D、设，由，有． ∴ ∵，故选项正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 5．（23-24 九年级上·江西·期末）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 6．（23-24 九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， 设米，则米，米， 在中，， 解得：， ∴楼房的高度为米， 故选：C． 二、填空题 7．（23-24 九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 8．（23-24 九年级上·河北石家庄·期末）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为．请你根据图形解决以下问题： （1） ； （2）过点A作轴于点F．已知，，，．则A点坐标为 ． 【答案】 640 【详解】解：（1）将代入双曲线得， ∴， 故答案为：； （2）如图，作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， 当时，，即A点坐标为， 故答案为：． 9．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵平移， ∴， ∴轴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴，， 设， 则：， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，点D、E分别是、边上两点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则 ． 【答案】/ 【详解】解：由图形翻折知，B点与点关于的对称， ∴，，且， 设长为m，过点作边的垂线，垂足为P， ∵点恰好是的中点， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故， ∴， ∵，， 在中，， 即， 解得， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 12．（23-24 九年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为． (1)补全图形，求的度数并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图形见解析；；理由见解析 (2)6 【详解】（1）解：补全的图形如图所示，，理由如下： ， ， 由作图可知，， 四边形为菱形， ， ． （2）四边形为菱形， ， 在中，，， ， ． 13．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)，， (2)的长为3 【详解】（1）解：在中， ， ， ，，； （2），， 在中，， ， ， ， ． 14．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图所示，现有一个“”型的工件（工件厚度忽略不计），其中为，为，，，求该工件如图摆放时的高度（精确到）． 【答案】该工件如图摆放时的高度约为． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 在中，，， ，， ， 在中，，， ， ， 即该工件如图摆放时的高度约为． 15．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解直角三角形及三角函数的应用 利用定义求三角函数值 1．（23-24 九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 3．（23-24 九年级上·山西晋城·期末）在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 4．（23-24 九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 特殊角三角函数值的计算 5．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）的值是（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24 九年级上·山东泰安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24 九年级上·黑龙江大庆·期末）若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24 九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：其中 10．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）计算： 由特殊角的三角函数值求角度 11．（23-24 九年级上·上海·期末）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24 九年级上·广东汕头·期末）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 13．（23-24 九年级上·宁夏银川·期末）已知，则锐角A满足（    ） A． B． C． D． 14．（23-24 九年级上·山东菏泽·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24 九年级上·山东济南·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 16．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）已知是锐角，且，则 °． 解直角三角形 17．（23-24 九年级上·湖南岳阳·期末）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 18．（23-24 九年级上·重庆渝中·期末）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    19．（23-24 九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 20．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 21．（23-24 九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 22．（23-24 九年级上·北京·期末）已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： (1)线段的长； (2)的值． 解非直角三角形 23．（23-24 九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 24．（23-24 九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 25．（23-24 九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 26．（23-24 九年级·山东滨州·期末）公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 27．（23-24 九年级上·山东聊城·期末）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 同角三角函数的关系 28．（23-24 九年级上·四川广元·期末）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 29．（23-24 九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则 ． 30．（23-24 九年级上·四川资阳·期末）已知，则的值为 ． 互余两角三角函数的关系 31．（23-24 九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 32．（23-24 九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24 九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 仰角俯角问题 34．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 35．（23-24 九年级上·山东东营·期末）地铁以及地下停车场、隧道、下水道组成城市地下防御交通网，足以应对大部分常规战争的威胁．如图，某城市计划在山顶A的正下方沿直线方向开通穿山隧道．在点E处测得山顶A的仰角为，在距E点的C处测得山顶A的仰角为，从与F点相距的D处测得山顶A的仰角为，点C、E、F、D在同一条直线上，求隧道的长度． 36．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 37．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 38．（23-24 九年级上·甘肃白银·期末）某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 方位角问题 39．（23-24 九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 40．（23-24 九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 41．（23-24 九年级上·甘肃酒泉·期末）一艘船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东方向，距离海里的点，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？ 42．（23-24 九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 坡度坡比问题 43．（23-24 九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 44．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 45．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ． 46．（23-24 九年级上·陕西铜川·期末）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·河南商丘·期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24 九年级上·广东深圳·期末）如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（    ）      A． B． C． D． 3．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点E是矩形的边的中点，且于点F，则下列结论中错误的是（   ） A．图中与相似的三角形共有4个 B． C． D． 5．（23-24 九年级上·江西·期末）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24 九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24 九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    8．（23-24 九年级上·河北石家庄·期末）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为．请你根据图形解决以下问题： （1） ； （2）过点A作轴于点F．已知，，，．则A点坐标为 ． 9．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为 ． 10．（23-24 九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，点D、E分别是、边上两点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则 ． 三、解答题 11．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 12．（23-24 九年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为． (1)补全图形，求的度数并说明理由； (2)若，，求的长． 13．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 14．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）如图所示，现有一个“”型的工件（工件厚度忽略不计），其中为，为，，，求该工件如图摆放时的高度（精确到）． 15．（23-24 九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$