专题21 数学语言——模型观念四(几何新定义)（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

专题21　 数学语言——模型观念四(几何新定义) 2024达州数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 三角形、四边形与圆的相关性质． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 总目录 2 必备素养 模型观念，运算能力，几何直观；化归思想． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 总目录 3 素养积累 例 1 1.(2023·创编) 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时， 我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个 “奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个 内角的度数为________________________. 三角形中的新定义 素养导向 1 30°，90°或40°，80° 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 由题意，分两种情况： ①当60°的角为“奇妙角”时，有另一个角为30°. ∴第三个内角为180°－60°－30°＝90°； ②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2， 有∠1＋∠2＋60°＝180°，即2∠2＋∠2＝120°.解得∠2＝40°.∴∠1＝80°. 综上所述，这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2．(2022·武侯区)【阅读理解】在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)(其中a＞0，b＞0)，点P为平面内一点，现给出如下定义：将点P先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，得到点P′，点P′关于直线OM的对称点为Q.那么我们称点Q为点P关于点M的“平对点”． 【迁移运用】在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)(其中a＞0，b＞0)，点P为平面内一点，点Q为点P关于点M的“平对点”．完成下列各题： 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)当a＝1，b＝2时， ①如图1，若点P的坐标为(－2，1)，请在图中画出 点Q； [解答] 解：如图1，点Q即为所求． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ②如图2，若点P的坐标为(－2，2)，连接PQ，求PQ的长； [解答] 解：∵P(－2，2)，∴P′(－1，4)． 设Q(m，n)． 由对称轴可知OP′＝OQ，P′M＝QM. ∴ 解得(舍去)或 ∴Q.∴PQ＝. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)当点P在直线OM左侧时，连接PQ，OP，若直线PQ与直线OM相交所形成的锐角为45°，求线段OP的长的最小值(用含a，b的代数式表示). [解答] 解：连接P′M，PQ，PP′，设直线PQ与直线OM的交点为A，P′Q与OM的交点为B.连接P′A. 由对称性可知P′Q⊥OM，P′A＝AQ. ∵∠PAO＝45°，∴∠BAQ＝45°. ∴△P′AQ是等腰直角三角形． 设P(x，y)，则P′(x＋a，y＋b)． ∵M(a，b)，∴PO＝P′M，PP′＝OM. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴四边形OPP′M是平行四边形． ∴PP′∥OM. 当OP⊥OM时，OP的长最小，此时点B与点M 重合．∵PB＝P′A＝PP′＝， ∴OP的最小值为. 备用图 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 变式 1.(2023·创编) 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的 两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知 △ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D，E在边BC上，且BD＝2，E为 BC的中点，过点D的优美线交过点E的优美线于点F，那么线段AF的长 等于___________． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2．(2023·创编) 【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 (1)如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的 顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB， BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等 邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上； 解：由题意知，四边形ABCD是等邻边四边形． 作图如图所示．(答案不唯一) 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，求CD 的长； 解：图2中，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E. ∵AB＝AD＝4，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°. ∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝30°. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵DE⊥BC，∠BED＝∠CED＝90°， ∴DE＝BD＝2. ∴BE＝＝2. ∵BC＝3，∴CE＝BC－BE＝. ∴CD＝＝. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 【拓展提升】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A， C分别在x轴、y轴正半轴上，已知OC＝4，OA＝6，D 是OA的中点．在矩形OABC内或边上，是否存在点E， 使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存 在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解：在矩形OABC边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”． 当CE取得最大值时，四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”． ∵四边形OABC是矩形，OC＝4，OA＝6，D是OA的中点， ∴BC∥OA，C(0，4)，A(6，0)，D(3，0)． 设E(m，4)，则CE＝m. ∵CE＝DE，∴CE2＝DE2. ∴m2＝(m－3)2＋(4－0)2.解得m＝. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴CE＝，E.∴S四边形OCED＝(CE＋OD)·OC ＝×4＝. ∴在矩形OABC边上，存在点E，使四边形OCED为面积 最大的“等邻边四边形”，此时四边形OCED的面积最 大值为，点E的坐标为. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 三角形新定义除了要根据定义将其转化为常规几何问题外，也特别强调迁移应用的能力． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 例 2 1.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“垂等四边形”， 则下列四边形中是“垂等四边形”的是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 [解析] ∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的对角线互相垂直平分， ∴A，B，C选项都不符合题意． ∵正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴D选项符合题意．故选D． 四边形中的新定义 素养导向 2 D 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2．(2022·天府区)给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面 积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形 的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形” 的对角线长为_________． [解析] 设“加倍”矩形的长为x， 则宽为[2×(3＋1)－x]， 依题意，得x[2×(3＋1)－x]＝2×3×1. 整理，得x2－8x＋6＝0. 2 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解得x1＝4＋，x2＝4－. 当x＝4＋时，2×(3＋1)－x＝4－＜4＋，符合题意； 当x＝4－时，2×(3＋1)－x＝4＋＞4－，不符合题意，舍去. ∴“加倍矩形”的对角线长为＝2. 故答案为2. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 3．(2023·创编) 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE 绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在 DA的延长线上，则四边形BEDF_________(填“是” 或“不是”)“直等补”四边形； 是 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于点E. ①过点C作CF⊥BE于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； [解答]证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°. ∴∠D＝90°. ∵BE⊥AD，CF⊥BE， 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°. ∴四边形CDEF是矩形． ∴DE＝CF，EF＝CD＝2. ∵∠ABE＋∠A＝90°，∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠CBF. 又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)． ∴BE＝CF，AE＝BF. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵DE＝CF，∴BE＝DE. ∵AE＝BF，EF＝2，∴AE＝BE－2. 设BE＝x，则AE＝x－2. 在Rt△ABE中，x2＋(x－2)2＝102. 解得x＝8或x＝－6(舍去)． ∴BE的长是8. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． [解答]解：∵△BCM周长为BC＋BM＋CM＝10＋BM＋CM，∴当BM＋CM的值最小时，△BCM的周长最小． 如图2，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD 于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H. ∵∠ADC＝90°， ∴点C与点G关于AD对称． ∴BM＋CM＝BM＋MG≥BG，即BM＋CM≥BM′＋M′C. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴当点M与M′重合时，BM′＋M′C的值最小，即△BCM的周长最小，为10＋BG. 在Rt△ABE中， AE＝＝＝6. ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠GCH＝180°， ∴∠A＝∠GCH. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 又∵∠AEB＝∠H＝90°， ∴△ABE∽△CGH. ∴＝＝＝＝， 即＝＝.∴GH＝，CH＝. ∴BH＝BC＋CH＝10＋＝. ∴BG＝＝＝2. ∴△BCM周长的最小值为2＋10. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 变式 1.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝_________． 3 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2．(2019·达州) 箭头四角形 【模型规律】 如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1＋∠B ＝∠A＋∠C＋∠B.因为凹四边形ABOC形似箭头， 其四角具有“∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C”这个规律， 所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)直接应用： ①如图2，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________； ②如图3，∠ABE，∠ACE的2等分线(即角平分线)BF，CF交于点F，已 知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝_________； 2α 85° 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的 2 019等分线(i＝1，2，3，…，2 017，2 018)． 它们的交点从上到下依次为O1，O2，O3，…， O2 018.已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则 ∠BO1 000C＝_____________________度； 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解：[由题意，知 ∠ABO1 000＝∠ABO， ∠OBO1 000＝∠ABO， ∠ACO1 000＝∠ACO， ∠OCO1 000＝∠ACO. ∴∠BOC＝∠OBO1 000＋∠OCO1 000＋∠BO1 000C＝(∠ABO＋∠ACO)＋∠BO1 000C， 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∠BO1 000C＝∠ABO1 000＋∠ACO1 000＋∠BAC＝ (∠ABO＋∠ACO)＋∠BAC， 则∠ABO＋∠ACO＝(∠BO1 000C－∠BAC)． ∴∠BOC＝(∠BO1 000C－∠BAC)＋ ∠BO1 000C＝∠BO1 000C－∠BAC. ∴∠BO1 000C＝＝∠BOC＋∠BAC. ∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°， ∴∠BO1 000C＝m°＋n°.] 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：四边形OBCD是菱形． 解：证明：图5中，连接OC. ∵OA＝OB＝OD， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA. ∴∠BOD＝∠BAD＋∠OBA＋∠ODA＝2∠BAD. ∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵BC＝CD，OB＝OD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC(SSS)． ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO， ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD. 又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO.∴BO＝BC. 又OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝OD. ∴四边形OBCD是菱形． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 四边形新定义对审题要求较高，对类比转化的能力要求也较高，要具备一定的跨情景迁移能力． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 例 3 1.(2023·创编) 已知定点P(a，b)，且动点Q(x，y)到 点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆 的方程．如图，已知一次函数的y＝－2x＋10的图象交y轴 于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以 OC为半径的⊙C的面积最小时，⊙C的方程为______________________. 圆中的新定义 素养导向 3 (x－4)2＋(y－2)2＝(2)2 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] ∵一次函数y＝－2x＋10的图象交y轴于点A，交x轴于点B， ∴A(0，10)，B(5，0)． ∴OA＝10，OB＝5. ∴AB＝＝＝5. ∵以OC为半径的⊙C的面积最小， ∴OC⊥AB. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵S△ABO＝AB·OC＝OA·OB， ∴OC＝＝＝2. 设C(t，－2t＋10)， 则OC2＝t2＋(－2t＋10)2＝(2)2. 解得t1＝t2＝4.∴C(4，2)． ∴以OC为半径的⊙C的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝(2)2. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，－3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2.开动脑筋想一想，经过点D的“蛋圆”切线 的解析式为(　　) A．y＝－2x－3 B．y＝－x－3 C．y＝－3x－3 D．y＝－x－3 A 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] ∵经过点D的“蛋圆”切线过点D(0，－3)，∴设它的解析式为y＝kx－3. ∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2， ∴A(－1，0)，B(3，0)． ∵抛物线过点A，B， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)． 又∵抛物线过点D(0，－3)， ∴a×1×(－3)＝－3，解得a＝1. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴y＝x2－2x－3. 又∵抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝kx－3相切， ∴x2－2x－3＝kx－3，即x2－(2＋k)x＝0只有一个解． ∴Δ＝(2＋k)2－4×0＝0.∴k＝－2. ∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝－2x－3.故选A． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 3．(2023·创编) 在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，AB，CD是⊙O的弦，如果AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB，CD是⊙O“等垂弦”． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA，OD⊥OB，分别交⊙O于点C，D，连接CD，求证：AB，CD是⊙O的“等垂弦”； [解答]证明：图②中，连接BC. ∵OC⊥OA，OD⊥OB， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°. ∴∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD. ∵∠ABC＝∠AOC＝45°，∠BCD＝∠BOD＝45°， ∴∠AEC＝∠ABC＋∠BCD＝90°， 即AB⊥CD. ∴AB，CD是⊙O的“等垂弦”． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)在图①中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB，CD的分割点，＝，求AB的长度． [解答]解：图①中，连接OA，OD，过点O作OH⊥AB，垂足为H，OG⊥CD，垂足为G，则四边形OHEG为矩形． ∵AB，CD是⊙O的“等垂弦”， ∴AB＝CD，AB⊥CD. ∴AH＝DG＝AB. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 又∵OA＝OD，∠AHO＝∠DGO＝90°， ∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL)． ∴OH＝OG. ∴矩形OHEG为正方形．∴OH＝HE. ∵＝，AH＝BH， ∴AH＝2BE＝2OH， 在 Rt△AOH中，AO2＝AH2＋OH2. 即(2OH)2＋OH2＝AO2＝25. 解得OH＝，则AB＝4OH＝4. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 圆新定义综合性较强，对于灵活运用所学知识分析问题与解决问题与类比转化的能力都能得到体现． 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P133～134专题21 $$