第22讲 锐角三角函数（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第22讲　锐角三角函数 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 锐角三角函数 定义 弦与弦的关系 弦与切的关系 特殊角三角函数值 锐角三角函数值的变化规律 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 正弦：sin A＝①________ 余弦：cos A＝②________ 正切：tan A＝③________ 定义 弦与弦的关系 互余关系：sin A＝cos (90°－A) 平方关系：sin2A＋sin2B＝1， cos2A＋cos2B＝1 (同角异名，同名异角) 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 【提分点拨】口诀记忆：正弦1，2，3，余弦：3，2，1，分母是2别忘记，正弦余弦相除是正切． 特殊角三角函数值 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 锐角三角函数值的变化规律 当锐角α 增大时 sin α的值随之增大，且0＜sin α＜1 cos α的值随之减小，且0＜cos α＜1 tan α的值随之增大，且tan α＞0 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 2 素养积累 例 1 1.(2023·创编) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，则sin B等于(　　) A． B． C． D． 锐角三角函数的概念 核心知识 1 C 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2023·宿迁) 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小 正方形的顶点称为格点．点A，B，C三点都在格点上，则sin ∠ABC＝ ________． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函 数表示正确的是(　　) A．sin A＝　　 B．tan A＝ C．cos A＝　　 D．tan B＝ C 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2023·创编) 如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都 在格点上，则∠A的余弦值是(　　) A． 　 B． 　 C． 　 D． C 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 1．锐角三角函数的定义，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 2．在方格纸背景下求角的三角函数值，关键是利用方格纸构造直角三角形，利用全等知识、勾股定理及逆定理，根据勾股定理的逆定理得到某一内角为90°是解题的关键． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 (2023·成都) 计算：＋2sin 45°－(π－3)0＋|－2|. [解答] 解：原式＝2＋2×－1＋2－＝2＋－1＋2－＝3. 特殊锐角的三角函数值 核心知识 2 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 考查实数的运算，正确化简各数是解题关键． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 (2023·新都区) Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则tan B＝_______． 变式 (2022·武侯区) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 cos A＝，则sin A的值为_______． 锐角三角函数间的关系 核心知识 3 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 锐角三角函数关系，分为余角三角函数关系和同角三角函数关系．掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提，利用勾股定理求出需求的边长是解决问题关键． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 1.(2023·创编) 已知α为锐角，且sin (α－10°)＝，则α的度数为 _________． 2．(2023·创编) 已知β为锐角，且2cos β－＝0，则∠β＝(　　) A．30° 　 B．60° 　 C．45° 　 D．37.5° 特殊锐角三角函数的相关计算 核心知识 4 70° C 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则tan A＝(　　) A． 　 B． 　 C．2 　 D．1 B 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 如果0°＜∠A＜60°，那么sin A与cos A的差(　　) A．大于0 　 B．小于0 C．等于0 　 D．不能确定 锐角三角函数值的变化规律 核心知识 5 D 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 [解析] 当0°＜∠A＜45°时，45°＜90°－∠A＜90°，∴sin A＜sin(90°－A)．∴sin A＜cos A．∴sin A－cos A＜0； 当∠A＝45°时，sin A＝cos A. ∴sin A－cos A＝0； 当45°＜∠A＜60°时，30°＜90°－∠A＜45°. ∴sin A＞sin(90°－A)．∴sin A＞cos A. ∴sin A－cos A＞0.∴当0°＜∠A＜60°时，sin A与cos A的差不能确定．故选D． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 若∠A为锐角，cos A＜，则∠A的取值范围是_______________. 30°＜∠A＜90° 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 准确掌握锐角三角函数的变化规律，理解定义是解题的关键． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3 素养提升 例 6 (2023·杭州) 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE. 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方 形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2β，则n＝ (　　) A．5 B．4 C．3 D．2 C 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 [解析]设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b. ∵tan α＝，tan β＝，tan α＝tan2β， ∴＝.∴(b－a)2＝ab. ∴a2＋b2＝3ab. ∵a2＋b2＝AD2＝S正方形ABCD，(b－a)2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝ab∶3ab＝1∶3. ∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝1∶n，∴n＝3. 故选C． 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 总目录 4 素养发展 1．(2018·达州) 平面直角坐标系中，点P的坐标为(m，n)，则向量可以用点P的坐标表示为＝(m，n)；已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1x2＋y1y2＝0，则与互相垂直．下列四组向量： ①＝(3，－9)，＝； ②＝(2，π0)，＝(2-1，－1)； ③＝(cos30°，tan 45°)， ＝(sin 30°，tan 45°)； ④＝(＋2，)，＝. 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 1 2 3 总目录 其中互相垂直的组有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 A 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 1 2 3 总目录 2．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° D 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 1 2 3 总目录 3．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两锐角的余弦，求m的值． 解：设直角三角形的两锐角分别为α，β.根据题意，得方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两根为cos α与cos β(sin α＝cos β)． ∴cos α＋cos β＝cos α＋sin α＝， cos α·cos β＝cos α·sin α＝＞0. 根据题意，得α＋β＝90°，则sin2α＋cos2α＝1. ∴(cosα＋sin α)2－2sin α·cos α＝＝1. ∴m2＝3.解得m＝或m＝－(舍去)． ∴m的值为. 返回首页 第22讲　锐角三角函数 首页 1 2 3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P54～55第22讲 弦与切的关系：tanA＝ sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1 $$