第15讲 几何知识初步、命题与证明（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第15讲　 几何知识初步、命题与证明 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 几何知识初步、命题与证明 线段公理(基本事实) 时钟中时针与分针夹角公式 直线公理(基本事实) 角 度、分、秒 余角、补角 邻补角 三线八角 对顶角的性质 角平分线 相交线与平行线 命题 平行线 相交线 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 线段公理(基本事实)：两点之间，①________最短 直线公理(基本事实)：过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线) 线段 度、分、秒 换算(60进制)：1°＝②_______″，1′＝③________″.如 18.675″＝18°④________′⑤________″； 18°29′60″＝⑥_________°；24°16′28″－18°56′29″＝ ⑦_____________ 3 600 60 40 30 18.5 5°19′59″ 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 互余：两个角之和为⑧_______，那么这两个角互为余角 互补：两个角之和为⑨________，那么这两个角互为补角 性质：同角(等角)的余角⑩__________，同角(等角)的补角⑪__________ 余角、补角 90° 180° 相等 相等 方法：设一个角为x度，则它的余角为(90－x)度，补角为(180－x)度 邻补角：两个相邻的角和为180°，则称为邻补角 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 对顶角的性质：对顶角相等 三线八角 同位角：F型，如∠1和⑫______ 内错角：Z型，如∠3和⑬______ 同旁内角：U型，如∠2和⑭______ ∠2 ∠4 ∠3 角平分线 性质定理：⑮__________________________________ 逆定理：角的内部到角两边⑯__________的点在角的平分 线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 距离相等 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 (1)性质(基本事实)：同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直 (2)垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂 足之间的线段叫垂线段，垂线段最短，垂线 段的长度叫做点到直线的距离 相交线 斜交 垂直 (3)线段的垂 直平分线 性质定理：⑰_______________________ ____________________ 逆定理：到线段两端⑱__________的点在 线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等 距离相等 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 平行公理(基本事实)：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行线 判定 (1)平行同一直线的两条直线平行； (2)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同位角相等(或内错角相等或同旁内互补)，两直线平行 性质：两直线平行，同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补) 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 定义：判断一件事情的句子叫命题．命题由条件和结论组成 按正确与否分类：真命题、假命题 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和 条件，这样的两个命题是互逆命题 命题 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 2 素养积累 例 1 (2023·威海) 如图是一正方体的表面展开图． 将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是 (　　) A．A点 　 B．B点 　 C．C点 　 D．D点 [解析] 把图形围成立方体如图所示．所以与顶点K距离最 远的顶点是D.故选D． 立体图形与平面图形的关系 核心知识 1 D 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·长春) 如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了 数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是(　　) A．面① 　 B．面② 　 C．面⑤ 　 D．面⑥ C 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 解决立体图形和平面图形的关联问题，关键在于将平面图形还原为立体图形来解决． 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 已知A，B，C都是直线l上的点，且AB＝4 cm，BC＝2 cm，那么 点A与点C之间的距离是_____________． 变式 已知C为线段AB的中点，AB＝8，D为线段AB上一点，若CD＝ 1，则BD＝_________. 直线、射线、线段 核心知识 2 6 cm或2 cm 5或3 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 解决线段计算类问题，要特别注意无图的情况下往往需要分类讨论. 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 数学文化(2023·甘肃) 如图1，汉代 初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物 理、化学的重要文献，书中记载了我国古 代学者在科学领域做过的一些探索及成就． 其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其 下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理． 角度类问题 核心知识 3 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 如图，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB 与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射 后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与 地面的夹角∠EBC＝(　　) A．60° 　 B．70° 　 C．80° 　 D．85° B 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 [解析] 设太阳光线经反射后射入深井底部的光线为BM. ∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°. ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABE＋∠FBM＝180°－90°－50°＝40°. ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABE＝∠FBM＝20°. ∴∠EBC＝20°＋50°＝70°.故选B． 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 一个角的余角比它的补角的少40°，则这个角的度数是_______. 80° 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 解决角度计算类问题，关键在于理清形与数之间的关联，先由形的和差倍分，再转化为数的和差倍分进行解决． 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 (2023·徐州) 如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE ＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝_________． [解析] ∵DE∥BC，∠BDE＝120°， ∴∠B＝180°－120°＝60°. ∵FG∥AC，∠DFG＝115°， ∴∠A＝180°－115°＝65°. ∴∠C＝180°－∠B－∠A＝55°. 相交线与平行线 核心知识 4 55° 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·威海) 某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射 出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝_________. 60° 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 解决平行线的相关问题，关键要建立起平行线(两条直线的位置关系)与角的关系(相等或互补)之间的相互转化． 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 (2023·达州) 下列命题中，是真命题的是(　　) A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形 命题与证明 核心知识 5 C 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2022·达州) 下列命题是真命题的是(　　) A．相等的两个角是对顶角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是 D 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 熟悉命题的相关概念，正确区分命题的题设和结论，并且能判断命题是真命题还是假命题． 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3 素养提升 例 6 已知：如图1，点B在PQ上，∠ABQ＋∠CPQ＝∠PCD. (1)求证AB∥CD； [解答]证明：如图1，过点P作PK∥AB. ∴∠ABQ＝∠1. ∵∠ABQ＋∠CPQ＝∠PCD， ∴∠1＋∠CPQ＝∠PCD，即∠CPK＝∠PCD. ∴PK∥CD，∴AB∥CD. 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 (2)如图2，BQ平分∠ABE，过点C作CF⊥BE于点F. ①补全图形； [解答]解：CF如图2所示． 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 ②若∠PCF＝∠DCF，设∠ABQ＝x°，∠CPQ＝y°，求x，y之间的数量关系． [解答]解：如图2，过点F作FM∥AB， ∴∠ABE＝∠BFM. ∵BQ平分∠ABE，∠ABQ＝x°， ∴∠ABE＝2x°. ∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°. ∵∠BFM＝∠CFB＋∠2＝90°＋∠2， ∴90°＋∠2＝2x°.∴∠2＝2x°－90°. 　图2 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 由(1)知，AB∥CD.∵FM∥AB， ∴FM∥CD.∴∠2＋∠3＝180°. ∵∠PCF＝∠3， ∠PCF＋∠3＋∠4＝360°， ∴∠3＝180°－∠4. ∵∠1＋∠CPQ＝∠4，∠1＝x°， ∠CPQ＝y°， ∴∠3＝180°－(x°＋y°)． ∵∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝(x°＋y°)． ∵∠2＝2x°－90°，∴y＝3x－180. 　图2 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 总目录 4 素养发展 1．(2022·达州) 如图，AB∥CD，直线EF分别交 AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三 角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°， 则∠PNM等于(　　) A．15° B．25° C．35° D．45° C 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．(2021·达州) 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反 射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．80° B 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2018·达州) 如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝80°，则∠2的度 数为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° B 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2017·达州) 已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放 置．若∠1＝25°，则∠2等于(　　) B A．50° B．55° C．60° D．65° 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5.(2021·达州) 以下命题是假命题的是(　　) A．的算术平方根是2 B．有两边相等的三角形是等腰三角形 C．一组数据：3，－1，1，1，2，4的中位数是1.5 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2023·枣庄) 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边 形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为(　　) A．14° B．16° C．24° D．26° B 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2023·山西) 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其 折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝ 155°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　) A．45° B．50° C．55° D．60° C 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·乐山) 如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若 ∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为_________． 20° 返回首页 第15讲　几何知识初步、命题与证明 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P38～39第15讲 时钟中时针与分针夹角公式：x时y分的夹角＝|y－30x| $$