小专题3 一次函数与反比例函数的综合（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

小专题3　 一次函数与反比例函数的综合 2024达州数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式． 2．一次函数的性质及反比例函数的性质． 3．反比例函数中k的几何意义． 4．用割补法、铅锤法等求不规则图形的面积． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 总目录 2 必备素养 模型观念，应用意识，运算能力；分类讨论思想，数形结合思想． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 总目录 3 素养积累 例 1 (2023·日照) 已知反比例函数y＝(k＞1且k≠2)的图象与一次 函数y＝－7x＋b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1·x2＞0， 请写出一个满足条件的k值___________________． 一次函数与反比例函数图象的交点 素养导向 1 1.5(答案不唯一) 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解析] 令＝－7x＋b， 整理，得7x2－bx＋(6－3k)＝0. ∵这两个函数的图象两个交点的横坐标为x1，x2，∴x1·x2＝. ∵x1·x2＞0，∴＞0.∴k＜2. 又∵k＞1，∴1＜k＜2. ∴满足条件的k值为1.5(答案不唯一)． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2023·创编) 如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2. (1)求反比例函数的表达式； 解：将x＝2代入y＝x＋1，得y＝3，则其中一 个交点的坐标为(2，3)． 将点(2，3)代入y＝，得k＝2×3＝6. ∴反比例函数的表达式为y＝. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)将一次函数y＝x＋1的图象向下平移2个单位长度，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标； 解：一次函数y＝x＋1的图象向下平移2个单位长度得到y＝x－1. 联立解得或 ∴平移后的图象与反比例函数的交点坐标为(－2，－3)和(3，2)． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (3)直接写出一个一次函数，使其过点(0，5)，且与反比例函数y＝的图象没有公共点． 解：一次函数y＝－2x＋5(答案不唯一)． [设一次函数的表达式为y＝mx＋5. 联立整理，得mx2＋5x－6＝0. ∵两个函数图象没有公共点， ∴Δ＝25＋24m＜0.解得m＜－. ∴可以取m＝－2(答案不唯一)． 此时一次函数的表达式为y＝－2x＋5.] 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 联立一次函数和反比例函数的表达式求交点坐标，结合根的判别式和根与系数的关系综合运用． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 2 如图，一次函数y1＝ax＋b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B 两点，则使y1＞y2成立的取值范围是(　　) A．－2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜－2或0＜x＜4 C．x＜－2或x＞4 D．－2＜x＜0或x＞4 一次函数与反比例函数比较大小 素养导向 2 B 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2014·达州) 如图，直线l：y＝－x＋3与两坐标轴分别相交于点A，B. (1)当反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象在第一象限内与直线l至少有一个交点时，求m的取值范围； 解：由题意，得－x＋3＝， 即x2－3x＋m＝0有实数根． ∴Δ＝(－3)2－4m≥0，解得m≤. ∴m的取值范围为0＜m≤. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)若反比例函数y＝(m＞0，x＞0)在第一象限内与直线l相交于点C，D，当CD＝2时，求m的值； 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则方程x2－3x＋m＝0的两根是x1，x2. ∴x1＋x2＝3，x1·x2＝m. ∵CD＝＝2， ∴＝2， 即2(9－4m)＝8，解得m＝. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (3)在(2)的条件下，请你直接写出关于x的不等式－x＋3＜的解集． 解：当m＝时，x2－3x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 由图象可知，关于x的不等式－x＋3＜的解集为0＜x＜或x＞. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 根据一次函数与反比例函数的交点坐标，数形结合比较大小，特别注意反比例函数的自变量取值范围x≠0. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 3 (2022·攀枝花) 如图，一次函数y＝x－2的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，求△OAB的面积． 面积问题 素养导向 3 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解答] 解：联立 解得或 ∴A(3，1)，B(－1，－3)． 设一次函数y＝x－2的图象交y轴于点C， 则C(0，－2)．∴OC＝2. ∴S△OAB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×3＋×2×1＝4. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2022·乐山) 如图，已知直线l：y＝x＋4与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于点A(－1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x＝－1对称． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求反比例函数的解析式； 解：∵点A(－1，n)在直线l：y＝x＋4上， ∴n＝－1＋4＝3.∴A(－1，3)． ∵点A在反比例函数y＝(x＜0)的图象上， ∴k＝－3.∴反比例函数的解析式为y＝－. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)求图中阴影部分的面积． 解：易知直线l：y＝x＋4与x轴、y轴的交点分别为B(－4，0)，C(0，4). ∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝－1对称， ∴直线l′与x轴的交点为E(2，0)． 设直线l′的函数解析式为y＝ax＋b. 把A，E两点坐标代入y＝ax＋b，得 解得 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴直线l′的函数解析式为y＝－x＋2. ∴直线l′与y轴的交点为D(0，2)． ∴S阴影＝S△BOC－S△ACD ＝×4×4－×2×1 ＝7. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 不规则的封闭图形的面积，常常用割补法及铅锤法解决． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 4 (2021·达州) 如图，将一把矩形直尺ABCD和一 块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB 在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点 M，反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经过点F，M， 若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝_________． 与几何图形的综合运用 素养导向 4 －12 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解析] 过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1. 在Rt△FMN中，∠MFN＝45°， ∴FN＝MN＝1. 又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG－FN＝4－1＝3. 设OA＝a，则OB＝a＋1. ∴F(－a，4)，M(－a－1，3)． 又∵反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经过点F，M，∴k＝－4a＝3(－a－1)．解得a＝3.∴k＝－4a＝－12. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2022·巴中) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与x轴、y轴分别交于点A(－4，0)，B两点，与双曲线y＝(k＞0)交于C，D两点，AB∶BC＝2∶1. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求b，k的值； 解：∵点A在直线y＝x＋b上，A(－4，0)， ∴0＝×(－4)＋b.解得b＝2. 过点C作CF⊥x轴于点F，则CF∥OB. ∵AB∶BC＝2∶1，OA＝4， ∴＝＝.∴AF＝OA＝6.∴OF＝2. 在y＝x＋2中，令x＝2，得y＝3. ∴C(2，3)．∴3＝.∴k＝6. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)求D点坐标并直接写出不等式x＋b－≥0的解集； 解：∵点D是y＝x＋2和y＝的交点， ∴令x＋2＝，可得或 ∵点D在第三象限，∴D(－6，－1)． 由图象，得不等式x＋2－≥0的解集为－6≤x＜0或x≥2. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (3)连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD，DE，求△ODE的面积． 解：∵直线CO与双曲线交于点C，E， ∴OE＝OC.∴S△ODE＝S△OCD. ∵S△OCD＝S△COA＋S△ADO， ∴S△ODE＝S△OCD＝×4×3＋×4×1＝8. 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，运用平行线分线段成比例、相似三角形的性质，还考查不等式的解集、交点坐标、三角形面积的转换． 返回首页 小专题3　一次函数与反比例函数的综合 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P28～29小专题3 $$