第14讲 二次函数的实际应用与综合（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第14讲　 二次函数的实际应用与综合 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 二次函数的实际应用与综合 模型 (2)最大面积 类型 (1)最大利润 (3)拱桥问题(隧洞问题) (4)线段最值问题 (5)动点问题 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值； 模型 顶点 x1 ③_____对应的函数值 x2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)最大利润 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 (2)最大面积 方法：相似三角形对应高之比等于相似比 方法：相似三角形 关键：用一个量表示另一个量 (3)拱桥问题 (隧洞问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值，再与车高作比较) 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 周长最小(三角形，四边形) (5)动点问题 构成△≌△，△∽△，Rt△，等腰△ 构成四 边形 已知A，B 两点 AB为边 (如图1) AB为对角线 (如图2) 图1 图2 已知A，B，C三点(如图3) 图3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 2 素养积累 例 1 (2022·自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买 回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面 积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形 这三种方案，最佳方案是(　　) A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 [解析] 分别计算三个方案的菜园面积或最大面积进行比较即可． 面积问题 核心知识 1 方案1 　 方案2 　 方案3 C 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°.直角边AC＝ 3 m，BC＝4 m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形 DEFG面积最大时，EF的长为_________． 2.5 m 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 结合面积公式、相似等知识，将几何问题代数化，用二次函数表示几何图形的面积，根据二次函数求(最)值． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 (2022·广安) 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 拱形桥及隧道问题 核心知识 2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点．进而求出抛物线的解析式，当x＝4时求出y，即可得出答案． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8 m，宽AB为2 m，以AD所在直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5 m． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (1)求这条抛物线的解析式； 解：设这条抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由对称轴是y轴，得b＝0. ∵EO＝5，∴c＝5. ∵矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m， ∴B(4，2)．∵抛物线经过点B(4，2)， ∴16a＋4b＋5＝2.解得a＝－. ∴这条抛物线的解析式为y＝－x2＋5. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6 m， 宽2.4 m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算 进行说明． 解：当x＝±2.4时，y＝－x2＋5＝－×(±2.4)2＋5＝3.92＞3.6. ∴这辆货车能通过该隧道． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 拱形桥及隧道转化为二次函数模型，运用二次函数的知识解决拱形桥或隧道的实际问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·长春) 2023年5月28日，C919商业 首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式 起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆 重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民 航中高级别的礼仪)．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分． 抛物线形问题 核心知识 3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 如图②，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面_________米． 19 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 由题意可知A(－40，4)，B(40，4)，H(0，20)．设抛物线解析式为y＝ax2＋20.将 A(－40，4)代入y＝ax2＋20可得a＝－.∴y＝－＋20.消防车同时后退10米，即抛物线 y＝－＋20向左平移后的抛物线解析式为y＝－＋20.令x＝0，得y＝19.故答案为19. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2022·成都) 距离地面有一定高度的某发射装 置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物 体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝＋mt ＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20 米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的 “极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w的 取值范围是___________；当2≤t≤3时，w的取值范围是____________. 0≤w≤5 5≤w≤20 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 实际生活中的抛物线形问题转化为二次函数模型，运用二次函数的最值、增减性等知识解决实际问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 (2022·巴中) 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽 进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元. (1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价； [解答] 解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元． 由题意，得解得 答：每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元． 销售问题 核心知识 4 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100 盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元， 销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润. [解答] 解：由题意，得w＝(a－40)[100－2(a－50)]＝－2(a－70)2＋1 800. ∵－2＜0，∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1 800. ∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2017·达州) 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝ (1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？ 解：根据题意，得 若7.5x＝70，解得x＝＞4，不合题意； ∴5x＋10＝70，解得x＝12. 答：工人甲第12天生产的产品数量为70件． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数 图象如图所示．工人甲第x天创造的利润为W元， 求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最 大，最大利润是多少？ 解：由函数图象可知，当0≤x≤4时，P＝40. 当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，将点(4，40)，(14，50)代入P＝kx＋b，得 解得 ∴P＝x＋36. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ①当0≤x≤4时， W＝(60－40)·7.5x＝150x. ∵W随x的增大而增大， ∴当x＝4时，W最大＝600； ②当4＜x≤14时， W＝(60－x－36)(5x＋10) ＝－5x2＋110x＋240 ＝－5(x－11)2＋845. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ∴当x＝11时，W最大＝845. ∵845＞600，∴当x＝11时，W取得最大值845. 综上所述，W与x的函数关系式为 W＝ 第11天时，利润最大，最大利润是845元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 借助二次函数的关系式、增减性、最值等相关知识，同时结合一次函数、分段函数解决生活中的销售问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养提升 例 5 (2023·达州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； [解答] 解：由题意设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3) ＝a(x2－2x－3)， 则－3a＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； [解答] 解：由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝－x＋3. 过点P作y轴的平行线交CB于点H. 设P(m，－m2＋2m＋3)，则H(m，－m＋3)． ∴S△PBC＝S△PHC＋S△PHB＝PH·OB＝(－m2＋2m＋ 3＋m－3)＝－＋. ∴△PBC的最大面积为，此时P. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (3)若M是抛物线对称轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． [解答] 解：存在．点N的坐标为(4，－)或(4，)或(－2，＋3)或(－2，－＋3)． [∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴设M(1，t)，N(x，y)． 已知B(3，0)，C(0，3)． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 ①若BC为菱形BCMN的边长， 则BC2＝CM2，即32＋32＝12＋(t－3)2. 解得t1＝＋3，t2＝－＋3. ∵∴ ∴N1(4，)，N2(4，－)； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 ②若BC为菱形BCNM的边长， 则BC2＝BM2，即32＋32＝(3－1)2＋t2. 解得t3＝，t4＝－. ∵∴ ∴N3(－2，＋3)，N4(－2，－＋3)．] 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 4 素养发展 1．(2023·宜昌) 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与 水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的 距离OA＝_________m. 10 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2021·达州) 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/kg，根据市场调查发现，批发价定为48元/kg时，每天可销售500 kg.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50 kg. (1)写出工厂每天的利润W元与每千克降价x元之间的函数关系．当每千克降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ 解：由题意，得W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000. 当x＝2时，W＝(48－30－2)×(500＋50×2)＝9 600(元)． 答：工厂每天的利润W元与每千克降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x＋9 000.当每千克降价2元时，工厂每天的利润为9 600元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ 解：由(1)，得W＝－50x2＋400x＋9 000＝＋9 800. ∵－50＜0， ∴当x＝4时，W的最大值为9 800. 答：当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则每千克定价应为多少元？ 解：令－50x2＋400x＋9 000＝9 750， 解得x1＝3，x2＝5. ∵让利于民，∴x＝5.∴48－5＝43(元)． 答：每千克定价应为43元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2022·达州) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求该二次函数的表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(3，0)， ∴解得 ∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在． 如图1，当点P在BC上方时， ∵∠PCB＝∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴． ∴点P与点C关于该二次函数图象的对称轴对称． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 ∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋， ∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1. ∵C(0，2)，∴P(2，2)； 当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D(m，0)， 则OD＝m，DB＝3－m. ∵∠PCB＝∠ABC，∴CD＝BD＝3－m. 在Rt△COD中，OC2＋OD2＝CD2， ∴22＋m2＝(3－m)2.解得m＝.∴D. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 设直线CD的函数表达式为y＝kx＋d，则解得 ∴直线CD的函数表达式为y＝－x＋2. 联立 解得 ∴P. 综上所述，点P的坐标为(2，2)或. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM＋EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 解：EM＋EN的值是定值． 由(2)知，二次函数y＝－x2＋x＋2图象的对称轴为直线x＝1.∴E(1，0). 设Q，且－1＜t＜3. 设直线AQ的函数表达式为y＝ex＋f， 则解得 ∴直线AQ的函数表达式为y＝x－t＋2. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 当x＝1时，y＝－t＋4，∴M. 同理，直线BQ的函数表达式为y＝x＋2t＋2， 当x＝1时，y＝t＋，∴N. ∴EM＝－t＋4，EN＝t＋. ∴EM＋EN＝－t＋4＋t＋＝. 故EM＋EN的值为定值. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2019·达州) 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(1，0)， B(－3，0)． (1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标； 解：由A(1，0)，B(－3，0)，得 y＝－(x－1)(x＋3)． ∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，顶点C的坐标为(－1，4)． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (2)设点D是x轴上一点，当tan (∠CAO＋∠CDO)＝4时，求点D的坐标； 解：∵抛物线顶点C的坐标为(－1，4)， ∴抛物线对称轴为直线x＝－1. 设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(－1，0)． 在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1， ∴tan ∠COH＝＝4. ∵∠COH＝∠CAO＋∠ACO， ∴当∠ACO＝∠CDO时， tan (∠CAO＋∠CDO)＝tan ∠COH＝4. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 如图①，当点D在对称轴左侧时． ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠DAC， ∴△AOC∽△ACD.∴＝. ∵AC＝＝2，AO＝1， ∴＝.∴AD＝20. ∴OD＝19.∴D(－19，0)； 当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝－1的对称点D′的坐标为(17，0). ∴点D的坐标为(－19，0)或(17，0)． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (3)如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m，n，求m－n的最大值． 解：设P(a，－a2－2a＋3)，－3＜a＜0，直线PA的解析式为y＝kx＋d.将P(a，－a2－2a＋3)，A(1，0)代入y＝kx＋d，得 解得 ∴直线PA的解析式为y＝(－a－3)x＋a＋3. 当x＝0时，y＝a＋3.∴N(0，a＋3)． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 ∵S△BMP＝S△BPA－S四边形BMNO－S△AON， S△EMN＝S△EBO－S四边形BMNO， ∴S△BMP－S△EMN＝S△BPA－S△EBO－S△AON＝ ×4×(－a2－2a＋3)－×3×3－×1×(a＋3)＝ －2a2－a＝－2＋. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 由二次函数的性质知，当a＝－时， S△BMP－S△EMN有最大值，最大值为. ∵△BMP和△EMN的面积分别为m，n， ∴m－n的最大值为. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P36～37第14讲 (2)x1≤x≤x2：当－在x1，x2之间时，函数最值在①_____处取得； 当－不在x1，x2之间时，函数最值为②_____或 $$