第13讲 二次函数的图象及性质（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第13讲　 二次函数的图象及性质 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 二次函数的图象及性质 定义 形式 图象与性质 解析式求法 待定系数法 对称变换 平移变换 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 与方程、不等式的关系 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 图象：二次函数图象都是抛物线，关于某条直线对称，这条直线叫对称轴，对称轴与抛物线的交点叫顶点(最高点或最低点) 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴交点坐标 对称 变换 对于抛物线y＝2x2－4x＋1，顶点式：y＝2(x－1)2－1， (1)关于x轴对称：－y＝2x2－4x＋1，即y＝－2x2＋4x－1 (2)关于y轴对称：y＝①__________________，即y＝②__________ (3)关于原点对称：－y＝2(－x)2－4(－x)＋1，即y＝－2x2－4x－1 (4)关于顶点对称：y＝－2(x－1)2－1，即y＝－2x2＋4x－3 2(－x)2－4(－x)＋1 2x2＋4x＋1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位，向上平移1个单位，得y ＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位，向下平移2个单 位，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反． 平移变换 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 二次函数的图象与 a，b，c的符号关系 (1)a⇔确定开口方向 (2)c⇔确定与y轴交点位置 (3)a，b⇔确定对称轴位置(左同右异) (4)Δ⇔确定抛物线与x轴交点个数 (5) a＋b＋c的符号由x＝1时决定 a－b＋c的符号由x＝－1时决定 (6) 4a＋2b＋c符号由x＝2时决定 4a－2b＋c符号由x＝－2时决定 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (10)特殊值法：取三个特殊点，代入一般式，求出a，b，c，再判断以上各式的符号 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 (7) a为负数时， 注意变号 (9)两根异号⇔ Δ＞0， x1x2＜0； 两根中一根大于2， 另一根小于2⇔ Δ＞0， (x1－2)(x2－2)＜0 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 与x轴有③____个交点⇔对应方程有两个不相等实数根⇔Δ＞0 与x轴有④____个交点⇔对应方程有两个相等实数根⇔Δ⑤____0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑥______0 与方程、不等式的关系 与方程 2 1 ＝ ＜ 与不等式 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围解集 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围解集 【提分点拨】 几个公式 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 2 素养积累 例 1 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝_________． [解析] 由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0.解得m＝3. 变式 下列函数中，是二次函数的是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝ C．y＝3－x2 D．y＝(x－1)2－x2 二次函数的定义 核心知识 1 3 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 考查二次函数的定义，注意二次函数的二次项系数不为0这个关键条件． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 1.(2023·宁波) 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点A(1，－2)和B(0，－5). 用待定系数法求二次函数的解析式 核心知识 2 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； [解答] 解：把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－6)． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围． [解答] 解：－3≤x≤1.　[如图，∵点A(1，－2)关于对称轴直线x＝－1的对称点C(－3，－2)，∴当y≤－2时，x的范围是－3≤x≤1.] 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 考查用待定系数法求二次函数解析式． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)用配方法将解析式化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出顶点坐标和对称轴； (2)将解析式化为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式，并写出函数图象与x轴的交点坐标． [解答] 解：(1)y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，顶点(1，－4)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2023·五市区) 将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的 形式为________________． y＝2(x－2)2＋5 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 熟练运用二次函数三种解析式的转换． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·大连) 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的 最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 二次函数的图象与性质 核心知识 3 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] ∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴对称轴为直线x＝1. ∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上． ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小． 当x＝0时，y最大＝－1； 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大． 当x＝3时，y最大＝9－6－1＝2. ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.故选D． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.(2021·雅安) 定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋ 1，－x2＋2x＋3}，则该函数的最大值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 2．(2020·广安) 已知二次函数y＝a(x－3)2＋c(a，c为常数，a＜0)，当 自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1， y2，y3的大小关系为_____________ (用“＜”连接)． C y2＜y3＜y1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 考查二次函数的对称性、增减性、最值以及各点距离对称轴的远近与函数值的关系． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 1.(2022·泸州) 抛物线y＝－x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛 物线是(　　) A．y＝－x2＋x B．y＝－x2－4 C．y＝－x2＋2 021x－2 022 D．y＝－x2＋x＋1 [解析] 抛物线的平移不改变开口大小和开口方向，即a值不变．故选D. 二次函数的几何变换(平移、对称与旋转) 核心知识 4 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝ x＋b与此新图象的交点个数的情况有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 [解析] 直线y＝x＋b与此新图象的交点个数如图所示， 有0或1或2或3或4个交点，共有5种情况．故选B． B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．(2021·眉山) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于 点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(　　) A．y＝－x2－4x＋5 B．y＝x2＋4x＋5 C．y＝－x2＋4x－5 D．y＝－x2－4x－5 [解析] 由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线顶点坐标是(2，1)．由抛物线y＝x2－4x＋5知，C(0，5)．∴该抛物线的顶点关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9).∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.故选A． A 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.(2023·徐州) 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对 应的函数表达式为(　　) A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值 与最小值之差不大于5，则m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°， 再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是_________. (1，－3) 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 二次函数图象的平移熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀，对称和旋转几何图象分析． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养提升 例 5 (2019·达州) 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1 (m为常数)交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间， 顶点为B.下列四种说法： ①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有 一个交点； ②若点M(－2，y1)、点N、点P(2，y3)在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 所得抛物线解析式为y＝－(x＋1)2＋m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D，E分别在x轴和 y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 . 其中正确判断的序号是_________． ①③④ 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 [解析] ①把y＝m＋2代入y＝－x2＋2x＋m＋1，判断所 得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的变化规律求出平移后的解析式即可； ④由于BC＝，只要其他三边和最小即可，作点B关 于y轴的对称点B′，作点C关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于点D，E，求出B′C′的长便是其他三边和的最小值． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 4 素养发展 1．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错 误的是(　　) A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2．(2020·达州) 如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两 点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是(　　) A B C D B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3．(2017·达州) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如 图所示，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一 平面直角坐标系中的图象大致是(　　) C A B C D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4．(2023·达州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数)关于直线x＝1对称．下列五个结论：①abc＞0； ②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＞0；④am2＋bm＞a＋b； ⑤3a＋c＞0.其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5．(2021·达州) 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数， a≠0)经过点(2，0)，且对称轴为直线x＝，有下列结论：①abc＞0； ②a＋b＞0；③4a＋2b＋3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经 过；⑤4am2＋4bm－b≥0.其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6．(2016·达州) 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴 交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两 点)，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0； ③4ac－b2＜8a；④＜a＜；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是(　　) A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P30～31第13讲 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x增大而减小；右侧，y随x增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x增大而增大；右侧，y随x增大而减小 |a|越大⇔抛物线开口越小，越靠近对称轴，y变化越快 |a|相同⇔抛物线形状相同⇔开口大小相同 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最大(小)值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 具体 函数 y＝3x2 y＝2x2＋1 y＝4(x－1)2 y＝2(x＋3)2－2 y＝x2＋2x－3 图象 2a＋b符号⇔对称轴x＝－与1比大小确定 2a－b符号⇔对称轴x＝－与－1比大小确定 只含ac的关系与对称轴x＝－＝±1时有关 (1)与x轴两个交点A，B点间距离公式：AB＝|x1－x2|＝. (2)中点公式：x中点＝，y中点＝. $$