第12讲 反比例函数的图象及性质（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第12讲　 反比例函数的图象及性质 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 反比例函数的图象及性质 图象与性质 k的几何意义 题型归类 技巧归类 实际应用 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 减小 增大 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 k的几何意义 P与P′关于原点对称， ＝|xy| ＝2|k| S矩形 ＝|x|·|y|　 ＝|k| 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 1.函数值大小比较 (1)一次函数与反比例函数大小比较：如图1，交点 的横坐标与0，将x轴从左到右分成①②③④段 当y2＞y1时，取①③段：如x＜－1或0＜x＜2 当y2＜y1时，取②④段：如－1＜x＜0或x＞2　 题型归类 图1 (2)两个反比例函数k的比较：如图2，k1＜k2 (3)同一个反比例函数上三点纵坐标值大小比较：主要 画图，如(－1，y1)，(1，y2)，(2，y3) 2．反比例函数与面积问题 3．反比例函数与三角形问题 4．反比例函数与四边形问题 图2 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (3)夹心三角形面积：如图3，S△AOB＝S梯形ABCD (4)如图4，AB＝DC (5)如图5，DE∥AB　 技巧归类 图3 图4 图5 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (1)一般步骤：①审题，确定自变量，因变量；②明确变量之间的数量关系；③根据数量关系确定反比例函数解析式；④根据题意确定自变量的取值范围；⑤根据反比例函数的性质解决相应问题；⑥对答案进行检验，符合题意后作答 实际应用 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 2 素养积累 例 1 下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝＋2 变式 若y＝(m＋1)x|m|-2是关于x的反比例函数，则m的值为_________． 反比例函数的定义 核心知识 1 B 1 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 考查反比例函数的定义，反比例函数定义中，k≠0，且x的次数为－1. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 1.(2023·天津) 若点A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，2)都在反比例 函数y＝－的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 [解析] 将A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，2)代入y＝－，得x1＝1，x2＝ －2，x3＝－1.∴x2＜x3＜x1.故选D． 反比例函数的图象与性质(对称性、增减性) 核心知识 2 D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．在平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝2x－4 D．y＝－x(x＞0) [解析] A．y＝x2的图象关于y轴对称；B．y＝的图象两个分支在第一、三象限，关于原点对称；C．y＝2x－4的图象经过第一、三、四象限；D．y＝－x(x＞0)的图象是第四象限的角平分线．故选B． B 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减 小，且整式x2－kx＋4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 __________． y＝ 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．关于反比例函数y＝－的图象——双曲线，下列说法不正确的是 (　　) A．过双曲线上任意一点M作y轴的垂线，垂足为点N，则△OMN的面积为6 B．此双曲线分布在第二、四象限，y随x的增大而增大 C．双曲线关于直线y＝x成轴对称 D．此双曲线上的点到原点的最短距离为2 B 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 1．考查反比例函数的图象分布及增减性：当k＞0时，图象分布于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分布于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大． 2．考查反比例函数图象的对称性，反比例函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 (2022·内江) 如图，在平面直角坐标系中，点M 为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分 别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若 S△POQ＝15，则k的值为(　　) A．38 B．22 C．－7 D．－22 反比例函数中k的几何意义 核心知识 3 D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 [解析] ∵直线l∥y轴，∴∠OMP＝∠OMQ＝90°.∴S△OMP＝×8＝4，S△OMQ＝－k.又∵S△POQ＝15，∴4－k＝15，∴k＝－22.故选D． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2020·达州) 如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，A，B 的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，则△OAB的面积是_________． 9 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 考查反比例函数系数k的几何意义，熟记与之相关的基本图形． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 (2023·南充) 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分 别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可 以节省_________N的力．(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) [解析] 根据“杠杆原理”有FL＝1 000×0.6＝600.∴函数的表达式为F＝.当L＝1.5时，F＝＝400；当L＝2时，F＝＝300.因此，撬动这块石头可以节省的力为400－300＝100(N)． 反比例函数的实际应用 核心知识 4 100 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物 燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(分钟)成正 比例；燃烧后，y与x成反比例(如图所示)．现测得药物10分钟燃烧完， 此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.根据以上信息，解答下列问题： (1)求药物燃烧后y与x之间的函数关系式； 解：设药物燃烧后y与x之间的函数关系式为y＝. ∵函数图象经过点(10，8)， ∴8＝.解得k＝80. ∴药物燃烧后y与x之间的函数关系式为y＝. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (2)当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？ 解：当y＜1.6时，＜1.6. ∵x＞0，∴1.6x＞80.∴x＞50. ∴从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 考查反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的思想． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 (2022·达州) 如图，一次函数y＝x＋1与反比例函数y＝的图象相交于A(m，2)，B两点，分别连接OA，OB. (1)求这个反比例函数的表达式； 解：∵一次函数y＝x＋1经过点A(m，2)， ∴m＋1＝2.∴m＝1.∴A(1，2)． ∵反比例函数y＝经过点A(1，2)，∴k＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝. 反比例函数的综合应用 核心知识 5 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (2)求△AOB的面积； 解：联立解得或 ∴B(－2，－1)． ∵C(0，1)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×1×2＋×1×1＝1.5. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在．有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为(－3，－3)或(－1，1)或(3，3)． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·广安) 如图，一次函数y＝kx＋(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(－3，0)． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：将A(1，n)，B(－3，0)代入y＝kx＋，得解得∴A(1，3)． 将其代入反比例函数y＝，得m＝3. ∴一次函数的解析式为y＝x＋，反比例函数的解析式为y＝. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的 坐标． 解：点P的坐标为(5，0)或(－8，0)或(2，0)．[由(1)知，A(1，3)，B(－3，0)，则AB＝＝5.设P(a，0)． 当AB＝AP时，5＝. 解得a＝5或a＝－3(舍去)．∴P(5，0)； 当AB＝PB时，5＝|－3－a|. 解得a＝－8或a＝2.∴P(－8，0)或P(2，0)．] 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3 素养提升 例 6 (2015·达州) 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点B在x轴负半轴上，AO＝，tan ∠AOB＝，一次函数y＝k1x＋b的图象过A，B两点，反比例函数y＝的图象过OA的中点D. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 解：连接AC交BO于点E，过点D作DF⊥OB于点F. ∵四边形ABCO是菱形， ∴AE⊥BO，且BO＝2EO. ∵tan ∠AOB＝，∴＝. 设AE＝x，则EO＝2x. ∵AE2＋EO2＝AO2，AO＝，∴x2＋(2x)2＝()2. 解得x1＝1，x2＝－1(舍去)． ∴AE＝1，EO＝2.∴A(－2，1)，B(－4，0)． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 将A(－2，1)，B(－4，0)代入y＝k1x＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. ∵DF⊥BO，AE⊥BO， ∴DF∥AE.∴△DFO∽△AEO. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 ∵D为AO的中点， ∴＝＝.∴D. 将D代入y＝，得k2＝－. ∴反比例函数的表达式为y＝－. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (2)平移一次函数y＝k1x＋b的图象得y＝k1x＋b1，当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，求b1的取值范围． 解：令x＋b1＝－，整理，得x2＋2b1x＋1＝0. 当(2b1)2－4×1×1＜0时，直线y＝x＋b1与双曲线y＝－没有交点，此时－1＜b1＜1. ∴当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时， －1＜b1＜1. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 4 素养发展 1. 已知反比例函数y＝－，下列说法中正确的是(　　) A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点(2，3)在该函数图象上 C．y随x的增大而增大 D．该图象关于原点成中心对称 D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2．(2021·达州) 在反比例函数y＝(k为常数)上有三点A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 (　　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 C 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3．(2016·达州) 下列说法中不正确的是(　　) A．函数y＝2x的图象经过原点 B．函数y＝的图象位于第一、三象限 C．函数y＝3x－1的图象不经过第二象限 D．函数y＝－的值随x的值的增大而增大 D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4．(2013·达州) 点(x1，y1)，(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的取值可以是___________________．(只填一个符合条件的k的值) －1(小于0的数均可) 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5．(2023·达州) 如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于 A，B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过 点C，则k的值为_________． －6 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6．(2019·达州) 如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D 两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F， AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2－k1＝_________． 4 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P26～27第12讲 表达式 y＝(k≠0)，y＝kx-1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象 (双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而①_______ 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而②________ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，也关于原点成中心对称 面积不变 图象上任一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成矩形面积不变，恒为|k|，S△＝|k| 画法(五点法) 在一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 S△APP′＝×2|yP|×2|xP| S△＝|k| (1)大胆设坐标，字母用得越少越好，如 (2)根系关系：|x1－x2|＝ (2)常见应用公式：①行程问题：速度＝；②工程问题：工作效率＝；③压强问题：压强＝；④电学问题：电阻＝ $$