第11讲 一次函数的图象及性质（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第11讲　 一次函数的图象及性质 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 一次函数的图象及性质 图象与性质 用待定系数法确定函数解析式的步骤 直线平移 识图 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与方程(组)的关系(如图) 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与不等式(组)的关系 对称： 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数) k决定图象的倾斜方向和增减性 k＞0 k＜0 图象 (示意图) b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 增大 减小 图象与性质 从左向右看图象呈上升趋势 y随x的增大而①____ 从左向右看图象呈下 降趋势 y随x的增大而②____ 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 【提分点拨】 1．|k|越大⇔直线与x轴夹的锐角越大⇔直线越陡． 图象与性质 经过的象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 b决定图象与y轴的交点位置 b＞0⇔交点在y轴正半轴上； b＝0⇔交点在原点； b＜0⇔交点在y轴负半轴上 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 3．k表示增减性、变化率： 图象与性质 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 上、下平移：上加下减，如y＝2x－1向上平移6个单位→y＝③________ 左、右平移：左加右减，如y＝2x－1向左平移3个单位→y＝④________　 用待定系数法确定函数解析式的步骤 (1)设：设函数解析式为y＝kx＋b； (2)代：代入两个点的坐标； (3)解：解方程组； (4)答 直线平移 2x＋5 2x＋5 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 y＞0(或y＜0)：指函数图象在x轴上方(或下方)的部分 x＞0(或x＜0)：指函数图象在y轴右侧(或左侧)的部分 y1＞y2(或y1＜y2)：指过交点平行于x轴的直线上方(或下方)的部分　 识图 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 点在直线上⇔直线经过这个点⇔这个点的坐标使关系式成立(见点代入，体现形、数结合) 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与方程(组)的关系(如图) 一次函数的解析式就是一个二元一次方程 方程k2x＋b2＝0的解是点⑤______的横坐标 B 方程组 y1＝k1x＋b1， y2＝k2x＋b2 的解是点⑥_____的坐 标对应横、纵坐标的值 C 【提分点拨】 求两个函数交点坐标的方法： (1)联立成方程组；(2)画图． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 (1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x 的取值范围就是不等式⑦__________的解集； (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x 的取值范围就是不等式⑧__________的解集 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与不等式(组)的关系 kx＋b＞0 kx＋b＜0 对称：直线 y＝kx＋b (1)关于x轴对称可得－y＝kx＋b，即直线y＝－kx－b (2)关于y轴对称可得y＝k·(－x)＋b，即直线y＝－kx＋b (3)关于原点对称可得－y＝k·(－x)＋b，即直线y＝kx－b 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 2 素养积累 例 1 (2022·郫都区) 若函数y＝(m－1)x|m|＋2是一次函数，则m的值为 (　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 变式 下列函数中，是正比例函数的是(　　) A．y＝－8x B．y＝－ C．y＝5x2＋6 D．y＝－0.5x－1 一次函数的定义 核心知识 1 B A 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查一次函数和正比例函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k，b为常数，k≠0，自变量次数为1. 正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数，k≠0，自变量次数为1. 二者的关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数一定是一次函数． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 2 (2020·凉山州) 若一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3的图象不经过第 二象限，则m的取值范围是(　　) A．m＞－ B．m＜3 C．－＜m＜3 D．－＜m≤3 一次函数图象与性质 核心知识 2 [解析] 根据题意，得 解得－＜m≤3.故选D． D 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 (2021·成都) 在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增 大，则点P(3，k)在第_________象限． 一 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 一次函数图象、性质与k，b的关系：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)，当b＞0时与y轴交于正半轴，当b＝0时过原点，当b＜0时与y轴交于负半轴． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 3 (2022·北京) 在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(4，3)，(－2，0)，且与y轴交于点A. (1)求该函数的解析式及点A的坐标； [解答] 解：把点(4，3)，(－2，0)代入y＝kx＋b，得解得 用待定系数法求一次函数解析式 核心知识 3 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 当x＝0时，y＝x＋1＝1. ∴点A的坐标为(0，1)． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 (2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围． [解答] 解：当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，n的取值范围为n≥1. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 4 1.(2023·内蒙古) 在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的 图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该 一次函数的解析式为(　　) A．y＝－2x＋3 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－6 [解析] 正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到的一次函数的解析式为y＝－2(x－3)＝－2x＋6.故选B． 一次函数图象的几何变换 核心知识 4 B 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 一次函数图象的平移，熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 2．如图，与图中直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是_____________． [解析] ∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是－y＝－x＋1，即y＝x－1. y＝x－1 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查一次函数图象的对称变换，解决此类题型的突破口是将直线的对称转化成点的对称． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k(x－1)的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解答] 解：∵一次函数y＝k(x－1)的图象分别交x轴、y轴于A，B两点， ∴B(0，－k)，A(1，0)． ∵OB＝2OA，OA＝1，∴OB＝2.∴B(0，－2)． 过点A作AF⊥AB交BC于点F，过点F作FE⊥x轴于点E. ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形．∴AB＝AF. ∵∠OAB＋∠OBA＝∠OAB＋∠EAF＝90°， ∴∠OBA＝∠EAF.∴△ABO≌△FAE(AAS)． ∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1.∴F(3，－1)． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 设直线BC的函数表达式为y＝k′x＋b， 则解得 ∴直线BC的函数表达式为y＝x－2. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查一次函数图象的旋转，突破口是将直线的旋转问题转化为点的旋转问题． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 1.(2020·广安) 一次函数y＝2x＋b的图象过点(0，2)，将函数y＝ 2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为____________. 2．(2023·创编) 已知直线l1的表达式为y＝－2x＋b，若直线l1与直线l2关 于y轴对称，且l2经过点(1，6)，则b的值为(　　) A．8 B．4 C．－8 D．－4 y＝2x＋7 B 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 5 1.已知某一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，且与直 线y＝3x＋4交于y轴的同一点，则此一次函数的表达式为__________． 两直线平行或相交问题(平行、垂直、交点坐标) 核心知识 5 y＝2x＋4 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解析] 设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2. 在直线y＝3x＋4中，当x＝0，y＝4， ∴该图象与y轴交于点(0，4)． 将点(0，4)代入y＝2x＋b，得b＝4. ∴此一次函数的表达式为y＝2x＋4. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查两个或多个一次函数图象互相平行时k值相等，但b值不相等. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 2．(2023·创编) 如图，直线y＝2x＋4与两坐标轴分别交于A，B两点， 直线BC与直线AB垂直，垂足为B，则直线BC的函数表达式为 _________________． y＝－x－1 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解析] 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b.对于y＝2x＋4，令y＝0，得x＝－2. ∴OB＝2，B(－2，0)． ∵直线BC与直线AB垂直，∴k＝－. ∴－×(－2)＋b＝0.解得b＝－1. ∴直线BC的函数表达式为y＝－x－1. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查两个一次函数图象互相垂直时，两个k值互为负倒数，即k1·k2＝－1. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x－5与y2＝2x－4.求这两个函数图象的交点坐标． [解答] 解：由题意，令3x－5＝2x－4，解得x＝1.当x＝1时，y1＝y2＝－2. ∴这两个函数图象的交点坐标为(1，－2)． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查一次函数交点坐标的求法：联立两个一次函数表达式得一次方程(组)，求得x，y的值即为交点横、纵坐标． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，则当线段 AB最短时，点B的坐标为(　　) A．(0，0) B． C． D． C 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解析] 过点A作AD⊥OB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E. ∵垂线段最短， ∴当点B与点D重合时线段AB最短． ∵直线OB的解析式为y＝x，它与x轴的夹角为 45°，∴△AOD是等腰直角三角形． ∴OE＝DE＝OA＝.∴D. 故选C． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 考查一次函数与x轴夹角为特殊角时与k的关系：当与x轴的锐角夹角为30°时，|k|＝；当与x轴的锐角夹角为45°时，|k|＝1；当与x轴的锐角夹角为60°时，|k|＝.k的正负性可以根据函数图象的增减性判断． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 6 (2020·达州) 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 一次函数的实际应用 核心知识 6   原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380   餐椅 a－140 160 940 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 已知用600元购进的餐椅数量与用1 300元购进的餐桌数量相同． (1)求表中a的值； 解：根据题意，得＝. 解得a＝260. 经检验，a＝260是原分式方程的解，且符合题意. 答：表中a的值为260. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解：设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x＋20)张． 根据题意，得x＋5x＋20≤200. 解得x≤30. 设获得利润为y元，根据题意，得y＝[940－260－4×(260－140)]×x＋(380－260)×x＋[160－(260－140)]×＝280x＋800. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 ∵280＞0，∴y随x的增大而增大． ∴当x＝30时，y取最大值，最大值为280×30＋800＝9 200(元)，此时5x＋20＝170. 答：当购进餐桌30张和餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9 200元． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 一次函数的实际应用一般涉及的问题 1．求函数解析式，常用以下方法： (1)利用题干中的关系式； (2)利用待定系数法． 2．选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时，将x的值代入解析式，判断y值结果大小；给定y值选取方案时，将y的值代入解析式，判断x值结果大小；当x，y值均未给定时，若为两种方案的选取，将两个方案的函数关系式组成不等式，求解对应的x的取值范围． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3．利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用或最大利润． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3 素养提升 例 7 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P也在直线y＝2x＋4上，已知点C(0，－2)． (1)求BC的长； [解答] 解：∵直线y＝2x＋4与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝2×0＋4＝4. ∴B(0，4)． 又∵C(0，－2)，∴BC＝|4－(－2)|＝6. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 (2)若△PBC的面积与△POA的面积相等，求点P的坐标； [解答] 解：∵直线y＝2x＋4与x轴交于点A， ∴当y＝0时，0＝2x＋4，解得x＝－2. ∴A(－2，0)．设P(a，2a＋4)． ①当a≤－2时，此种情况不存在； ②当－2＜a＜0时，∵S△PBC＝S△POA， ∴×BC×|xP|＝×OA×|yP|， 即×6×(－a)＝×2×(2a＋4)． 解得a＝－.∴P； 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 ③当a＝0时，此种情况不存在； ④当a＞0时，∵S△PBC＝S△POA， ∴×BC×|xP|＝×OA×|yP|， 即×6×a＝×2×(2a＋4)． 解得a＝4.∴P(4，12)． 故点P的坐标为或(4，12)． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 (3)设直线y＝2x＋4与直线y＝－x＋b交点的横坐标为m，若3＜m＜5，直接写出b的取值范围． [解答] 解：b的取值范围为11＜b＜. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 4 素养发展 1．(2014·达州) 直线y＝kx＋b不过第四象限，则(　　) A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b≥0 D．k＜0，b≥0 C 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2017·达州) 甲、乙两动点分别从线段AB的两 端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙 从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为 90 cm，甲的速度为2.5 cm/s.设运动时间为x(s)， 甲、乙两点之间的距离为y(cm)，y与x的函数图象如图所示，则图中线 段DE所表示的函数关系式为_________________________．(并写出自变量取值范围) y＝4.5x－90(20≤x≤36) 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 3．如图，已知函数y＝ax＋b和y＝cx＋d的图象交于点M，则根据图象可 知，关于x，y的二元一次方程组的解为_____________. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2023·雅安) 李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/(元/kg) 4.8 4 零售价/(元/kg) 7.2 5.6 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40 kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？(列方程或方程组求解) 解：设批发甲种蔬菜x kg，批发乙种蔬菜y kg.根据题意，得 解得 答：批发甲种蔬菜25 kg，批发乙种蔬菜15 kg. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共80 kg花m元，设批发甲种蔬菜n kg，求m与n的函数关系式； 解：根据题意，得m＝4.8n＋(80－n)×4. 整理，得m＝0.8n＋320. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 (3)在(2)的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 解：设全部卖完蔬菜后利润为w元．根据题意，得w＝(7.2－4.8)n＋(5.6－4)(80－n)． 整理，得w＝0.8n＋128. 由w＝0.8n＋128≥176，解得n≥60. 答：至少批发甲种蔬菜60 kg. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P24～25第11讲 一、三 二、四 2．两直线l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2的位置关系：(1)l1∥l2⇔k1＝k2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(3)l1和l2交于y轴同一点⇔b1＝b2；(4)l1和l2交于x轴同一点⇔－＝－，即＝. (1)已知直线y＝kx＋b上的两点A(x1，y1)，(x2，y2)，速算k＝； (2)已知直线y＝kx＋b与x轴所夹的锐角为α，则k＝tan α.如直线y＝±x＋b与x轴所夹锐角为45°，直线y＝±x＋b与x轴所夹锐角为60°，直线y＝±x＋b与x轴所夹锐角为30°. $$