小专题1 代数式恒等变形（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

小专题1　代数式恒等变形 2024达州数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．整式的运算，因式分解． 2．根与系数关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 总目录 2 必备素养 运算能力；整体思想，化归思想． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 总目录 3 素养积累 例 1 1.已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，求23m+10n-2(用含a，b的式子表示)． [解答] 解：∵2m＝a，32n＝25n＝b，m，n为正整数， ∴23m+10n-2＝23m×210n÷22＝(2m)3×(25n)2÷4＝a3b2. 整体代入 素养导向 1 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 2．已知2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9，则4x2＋4xy＋9y2的值为_______. [解析] ∵2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9， ∴4x2＋4xy＋9y2＝2(2x2－xy)＋3(3y2＋2xy)＝12－27＝－15. －15 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 3．已知代数式ax4＋bx3＋cx2＋dx＋3.当x＝2时，代数式的值为20；当x＝－2时，代数式的值为16.当x＝2时，代数式ax4＋cx2＋3的值为_________． [解析] 由已知，得 两式相加，得32a＋8c＝30. ∴16a＋4c＝15. 当x＝2时，ax4＋cx2＋3＝16a＋4c＋3＝15＋3＝18. 18 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 4．设m，n是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，则m2－3m＋n＝ (　　) A．－1 B．1 C．－17 D．17 [解析] ∵m，n是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴m＋n＝4，m2－4m＋3＝0. ∴m2－4m＝－3.则m2－3m＋n＝m2－4m＋(m＋n)＝－3＋4＝1.故选B. B 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 5．(2023·创编) 如果a，b，c是正数，且满足a＋b＋c＝9，＝，求的值． [解答] 解：∵＝， ∴＝10. ∵a＋b＋c＝9，∴a＝9－(b＋c)，b＝9－(a＋c)，c＝9－(a＋b)． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴ ＝ ＝－1＋－1＋－1 ＝10－3 ＝7. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 6．已知(x＋1)5＝ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f. 当x＝1时，(1＋1)5＝a×15＋b×14＋c×13＋d×12＋e×1＋f＝a＋b＋c＋d＋e＋f. ∴a＋b＋c＋d＋e＋f＝25＝32. 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题． (1)当x为多少时，可求出f？f为多少？ [解答] 解：令x＝0，则f＝(0＋1)5＝1. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)求－a＋b－c＋d－e＋f的值； (3)求b＋d＋f的值． [解答] 解：(2)令x＝－1，则－a＋b－c＋d－e＋f＝(－1＋1)5＝0. (3)当x＝1时，a＋b＋c＋d＋e＋f＝32. 联立上式与(2)中结果可得2(b＋d＋f)＝32. ∴b＋d＋f＝16. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 1.已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a3＋a＋6b的值是 (　　) A．14 B．－14 C．7 D．10 A 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 2．已知：＝5，求的值． 解：∵＝5，∴x＋y＝5xy. ∴原式＝＝＝＝1. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 3．已知实数x满足x＋＝4，求分式的值． 解：∵x＋＝4， ∴＝x＋3＋＝＋3＝4＋3＝7. ∴＝. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 整体代入的核心就是利用代数的恒等变形构造“沟通条件与结论的整体”． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 2 已知a＞0，b＜0且|a|＜|b|，试化简： (1)；(2). [解答] 解：∵a＞0，b＜0且|a|＜|b|， ∴－b＞0，ab＜0，a＋b＜0，a－b＞0. (1)＝＝1－1＝0. (2)＝＝－1＋1＋1＝1. 绝对值化简 素养导向 2 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2022·郫都区) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．   (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b－c_________0，a＋b_________0， c－a_________0； 解：[由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|. ∴b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0.] ＜ ＜ ＞ 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|. 解：|b－c|＋|a＋b|－|c－a| ＝(c－b)＋(－a－b)－(c－a) ＝c－b－a－b－c＋a ＝－2b. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 绝对值的化简关键在于确定绝对值“| |”内代数式的符号，然后运用绝对值的意义进行化简． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 3 已知a，b为正数，且满足a2＋b2＝5，ab＝2. (1)求a＋b的值； (2)求a2－b2的值． [解答] 解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝5＋2×2＝9，∴a＋b＝±3. ∵a，b是正数，∴a＋b＝3. (2)∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－2×4＝1，∴a－b＝±1. ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝±3. 完全平方式及运用 素养导向 3 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 1.(2014·达州) 已知实数a，b满足a＋b＝5，ab＝3，则a－b＝_________． ± 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 2．(2022·青羊区) 阅读材料： 若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值． 设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4) ＝5. ∴(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 请仿照上面的方法求解下面问题： 已知m满足(2m－5)2＋(4－2m)2＝5. (1)求(5－2m)(4－2m)的值； 解：设2m－5＝x，4－2m＝y， ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy， 4m－9＝(2m－5)－(4－2m)＝x－y， 2m－5＋4－2m＝x＋y＝－1. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)∵(2m－5)2＋(4－2m)2＝5， ∴x2＋y2＝5. ∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， ∴1＝5＋2xy.∴xy＝－2. ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy＝2. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)求4m－9的值． 解：∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝5－2×(－2)＝9，∴x－y＝±3. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 完全平方式含两个平方项与一个交叉项，在这三项中已知两项可确定第三项，但要注意知道两个平方项确定交叉项时会有两种情况，易忽略带负号的交叉项． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 4 如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4＝22－02，12＝42－22. (1)请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式：20＝_________； [解答] [设(2n＋2)2－(2n)2＝20(n为整数)，解得n＝2.∴2n＋2＝6，2n＝4.∴20＝62－42.] 整除问题 素养导向 4 62－42 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)试证明“神秘数”能被4整除． [解答]证明：设两个连续的偶数分别为2k，2k＋2.由题意，得(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)＝2(4k＋2)＝4(2k＋1)． ∴“神秘数”是4的倍数． ∴“神秘数”能被4整除． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” 【解决问题】 (1)计算：32－1＝_________；52－1＝_________；72－1＝_________. 以上计算结果均_________(填“是”或“不是”)8的倍数； 8 24 48 是 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)设奇数为2n＋1(n为整数)，请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； 解：任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数． 证明：设一个奇数为2n＋1，则有(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)． ∵n，n＋1是两个连续的整数， 则其中必有一个是2的倍数， ∴(2n＋1)2－1能被8整除． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是_________的倍数． 解：[设一个奇数为2n＋1，则有(2n＋1)2＋1＝4n2＋4n＋2＝2(2n2＋2n ＋1)． 所以任意奇数的平方加上1后一定是2的倍数.] 2 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 整除可“沟通”整式乘法和因式分解等式的运算与数的关系． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P8～9小专题1 $$