第3讲 分式（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第3讲　分式 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 分式 分式的相关概念 分式有意义 定义 分式无意义 分式值为0 分式值为正数⇔ 分式值为负数⇔ 分式值为整数 性质 运算 基本性质 性质运用 系数化为整数 符号法则 约分 通分 最简分式 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 分式有意义：分母≠0 分式无意义：分母＝0 分式值为0：分母≠0，且分子＝0 分式值为正数⇔ 分子＞0， 分母＞0 或 分子＜0， 分母＜0 分式值为负数⇔ 分子＞0， 分母＜0 或 分子＜0， 分母＞0 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 基本性质：分式的分子：分母同时乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 分式值为整数 ±3 ±6 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 定义：把分式分子、分母中的公因式约去，这种运算叫约分 步骤：(1)找(公因式)；(2)写(乘积式)；(3)约(约分) 约分 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 定义：把异分母分式根据分式的基本性质化成同分母分式的过程叫通分 通分 最简公分母找法 (1)系数：找各项系数最小公倍数； (2)相同字母：找最高次幂； (3)只在一个分母中的字母连同指数作为一个因式 最简分式：分式的分子、分母没有公因式，这样的分式叫最简分式 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 同分母：分母不变，把分子相加减 异分母：先④________，变为同分母的分式，再加减 运算 加减 通分 乘法：分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母 除法：除以一个分式，等于乘这个分式的倒数 乘除 乘方：分式的乘方等于分子、分母分别乘方 技巧：(1)按字母降幂排列；(2)首项为正；(3)除法转为乘法； (4)先因式分解后约分 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 2 素养积累 例 1 1.下列式子中是分式的是(　　) A． B．－ C． D． [解析] 选项A，C，D中分母不含有字母，不是分式，是整式，注意π是常数；选项B中分母含有字母x，属于分式．故选B. 分式的有关概念 核心知识 1 B 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≠1 [解析] ∵不论x取任何数，分式总有意义，∴x2－2x＋m≠0.∴方程x2－2x＋m＝0无实数解．∴Δ＝4－4m＜0.解得m＞1.故选B. B 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．若分式的值为0，则x的值为(　　) A．±2 B．0 C．－2 D．2 4．下列分式中，是最简分式的是(　　) A． B． C． D． D A 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.(2023·叙州区) 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围 是(　　) A.x≠1 B．x＝－1 C．全体实数 D．x≠－1 2．(2023·开江县) 若分式＝0，则x的值是(　　) A．1 　 B．－1 　 C．±1 　 D．0 D B 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 对分式中相关概念的理解是关键，重要概念有分式、分式有意义与分式值为0的条件及最简分式等． 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 1.根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是(　　) A．＝ B．＝－ C．＝ D．＝ 分式基本性质的运用 核心知识 2 D 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．如果把中的x与y都扩大到原来的3倍，那么这个代数式的值(　　) A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍 [解析] 若x与y都扩大为原来的3倍，则＝＝.∴这个代数式的值扩大为原来的3倍．故选B. B 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．化简：＝……① ＝.　 …… ② 其中步骤①②的运算依据分别属于(　　) A． ①是整式乘法，②是通分 B．①是因式分解，②是通分 C．①是因式分解，②是约分 D．①是整式乘法，②是约分 C 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 4．分式的最简公分母是(　　) A．x2－y2 B．x2＋xy C．(x＋y)(x－y) D．x(x＋y)(x－y) D 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 5．把通分的过程中，不正确的是(　　) A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2 B．＝ C．＝ D．＝ D 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 分式的最简公分母为(　　) A．12a2b2 B．a2b2c C．12abc D．12a2b2c D 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 分式的基本性质要类比分数的基本性质，其主要作用是通分与约分．约分要找分子与分母的公因式，通分要找最简公分母．最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，注意与公因式相区别． 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 1.若y＝，则的值为(　　) A．－ B．－1 C． D．－ [解析] ∵y＝，∴y－x＝3xy. ∴＝＝＝＝－. 分式的运算及求值 核心知识 3 A 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．计算：(1)÷(4x2－y2)·； (2)÷··. [解答] 解：(1)原式＝··＝. (2)原式＝···＝－··＝－. 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．(2013·达州) 如果实数x满足x2＋2x－3＝0，那么代数式÷ 的值为_________． 5 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 4．(2023·达州) 先化简，再求值：÷，其中a为满足0＜a＜4的整数． [解答] 解：原式＝÷ ＝· ＝· 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ＝－2(a＋3) ＝－2a－6. ∵a为满足0＜a＜4的整数， ∴a＝1或2或3. ∵a－2≠0，a－3≠0，∴a＝1. 当a＝1时，原式＝－2－6＝－8. 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.已知a，b为实数，a－2b＝3，b≠－1，则分式的值为(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 A 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2022·达州) 化简求值：÷，其中a＝－1. 解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝. 当a＝－1时， 原式＝＝＝. 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．(2021·达州) 化简求值：÷，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数． 解：原式＝÷ ＝· ＝－2(a－2) ＝－2a＋4. 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ∵a与2，3构成三角形的三边， ∴3－2＜a＜3＋2，即1＜a＜5. ∵a为整数，∴a＝2，3或4. 又∵a－2≠0，a－4≠0， ∴a≠2且a≠4.∴a＝3. 当a＝3时，原式＝－2×3＋4＝－2. 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用运算律会简化运算过程． 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 一辆货车送货上山，按原路返回．上山的速度为x千米/时，下山 的速度为y千米/时，货车上下山的平均速度为________千米/时． [解析] 设上山的路程为a千米，根据题意得出＝.故答案为. 分式的应用 核心知识 4 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a，b是正数，且a≠b)，请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． 解：∵a，b是正数，且a≠b， ∴＝＝＞0. ∴＞. 答：小丽所购买商品的平均价格高于小颖的． 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 根据实际问题列出分式，并利用作差法与配方法等对分式大小进行比较，从而解决相应的实际问题． 返回首页 第3讲　分式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养提升 例 5 阅读与思考 下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务. “真分式”与“假分式” 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，如＝1＋.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，…这样的分式是假分式；如，…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： ＝＝＝1－. 将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： 方法1：＝＝＝x＋1－. 方法2：由于分母为x＋3，可设x2＋4x－5＝(x＋3)(x＋a)＋b(a，b为常数). 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 ∵(x＋3)(x＋a)＋b＝x2＋ax＋3x＋3a＋b＝x2＋(a＋3)x＋(3a＋b)， ∴x2＋4x－5＝x2＋(a＋3)x＋(3a＋b)． ∴解得 ∴x2＋4x－5＝(x＋3)(x＋1)－8. ∴＝＝＝x＋1－. 这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式． 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 任务： (1)分式是_________分式(填“真”或“假”)；将假分式化为一 个整式与一个真分式的和的形式为___________； (2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式； [解答] 解：＝＝x＋5＋. 真 2＋ 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 (3)若分式的值为整数，请根据(2)的结果直接写出符合条件的2个x的值． [解答] 解：由(2)知，＝x＋5＋. ∵原分式的值为整数，∴x＋5＋为整数，则x－3＝±1. ∴x＝2或4. 返回首页 第3讲　分式 首页 总目录 4 素养发展 1．下列说法错误的是(　　) A．当x＝2时，分式无意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当分式＝0时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 C 返回首页 第3讲　分式 首页 1 2 3 总目录 2．下列结论中，正确的是(　　) A．x为任何实数时，分式总有意义 B．当x＝±2时，分式的值为0 C．和的最简公分母是6m(2x－y)(y－2x) D．将分式中的x，y的值都变为原来的10倍，分式的值不变 D 返回首页 第3讲　分式 首页 1 2 3 总目录 3．(2019·达州) 先化简：÷，再选取一个适当的x的值代入求值． 解：原式＝· ＝· ＝－. 取x＝1，原式＝－＝－.(答案不唯一，注：x不能取0，－2，4) 返回首页 第3讲　分式 首页 1 2 3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P5～6第3讲 定义：形如的式子叫分式(A，B表示两个整式，B≠0，B中含有字母) 分母为分子的正、负公约数，如＝＝2－为整数，则x＋3＝±1或x＋3＝±2或x＋3＝①______或x＋3＝②________ 系数化为整数：如＝＝③__________ 符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变．如＝－ $$