第2讲 代数式、整式及因式分解（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第2讲　 代数式、整式及因式分解 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 代数式、整式及因式分解 列代数式 乘法 代数式求值 整式的相关概念 整式的运算 加减 公式 典型问题 多项式 单项式 整式 同类项 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 列代数式：有代数式的和、差、积、商、乘方等类型 代数式求值 (1)直接代入：先化简，再代入求值 (2)整体代入(可消元降次)：先因式分解，把已知代数式恒等变形后再代入求值 单项式 定义：数与①__________的积叫单项式 字母 注意 单独一个数或一个②________也是单项式，如－a，0都是单项式． 字母 次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 定义：几个单项式的和叫多项式 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋2ab2＋25是③______次 排列：书写多项式时，一般按某个字母降幂排列，如－xy＋x2－1按x的降幂排列是x2－xy－1 多项式 3 整式：单项式和多项式统称为整式 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变．去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c(口诀：负“－”变正“＋”不变) 乘法 单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多：等于单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加 多×多：(a＋b)(m＋n)＝④___________________ am＋an＋bm＋bn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑤__________，口诀：两数和、两数差，同方异方来作差 完全平方公式：(a±b)2＝⑥_____________，口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负 公式 a2－b2 a2±2ab＋b2 (如图2、图3) (如图1) 图形表示： 图1　　　 　图2　　　　　图3 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 整式型：已知x＋y＝3，x2＋y2＝5，则x－y＝⑦______ 典型问题 平方型 ±1 2(或6) 3(或7) 添项构成完全平方式：4x2＋1添一项构成完全平方式，则添的整式：⑩_____________ 添括号，运用简便运算：(a－2b＋3c)(a＋2b－3c)＝ ⑪______________ ±4x或4x4 a2－(2b－3c)2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 代数式、整式及因式分解 幂的运算 整式的运算 除法 口诀 因式分解 定义 方法 原则 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单：(am＋bm)÷m＝⑫__________ 除法 a＋b 同底数幂的乘法：am·an＝⑬______，底数不变，指数⑭_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑮______，底数不变，指数⑯______ 幂的乘方：(am)n＝⑰_____，底数不变，指数⑱______ 积的乘方：(3ab)n＝⑲________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方 幂的运算 am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 定义：把一个多项式化成几个⑳__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算 口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 方法 提公因式法 公因式确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝㉑____________ m(a＋b＋c) 公式法 平方差公式：a2－b2＝㉒____________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝㉓__________ (a＋b)(a－b) (a±b)2 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝㉔______________ 分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组 (x＋a)(x＋b) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 (1)分解到不能再分解为止，若字母的最高次数超过一次，检查是否还能继续分解； (2)首项为正； (3)无中括号； (4)无新的公因式 原则 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 2 素养积累 例 1 (2022·金牛区) 已知2a＋3b＝4，则代数式6a＋9b－4的值为 _________． [解析] ∵2a＋3b＝4，∴6a＋9b－4＝3(2a＋3b)－4＝3×4－4＝12－4＝8. 代数式的值 核心知识 1 8 变式 1.(2018·达州) 已知am＝3，an＝2，则a2m－n的值为_______． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2022·都江堰) 赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊 值，从而解决问题的一种方法，已知(2x－3)2＝ax2＋bx＋c.例如：给x赋 值使x＝0，则可求得c＝9；给x赋值使x＝1，则可求得a＋b＋c＝1；给 x赋值使x＝－1，则可求得代数式a－b的值为_________. [解析] (2x－3)2＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，(－2－3)2＝a－b＋c，即a－b＝25－c. ∵给x赋值使x＝0，则可求得c＝9， ∴a－b＝25－c＝25－9＝16. 16 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 求代数式的值可直接代入或构造整体再代入． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 单项式－的系数是_________，次数是_________． 变式 1.(2022·石室天府) 已知(m－2)a|m+1|b3是关于a，b的六次单项式， 则m＝_________. 2．(2022·成外) 关于a的多项式a|x|－(x－2)a－1是二次三项式，则x＝_________． 整式的相关概念 核心知识 2 － 3 －4 －2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 单项式的次数是各字母指数之和，多项式的次数是最高次项的次数，要注意区分这两种次数． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 1.(2023·达州) 下列计算正确的是(　　) A．a＋a2＝a3 B．a2·a3＝a6 C．(2a3b)3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2 整式的运算 核心知识 3 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2022·武侯区) 已知多项式x2＋ax－y＋b与bx2－3x＋6y－3差的值与字母x的取值无关，求代数式3(a2－2ab－b2)－4(a2＋ab＋b2)的值． [解答] 解：根据题意，得 　(x2＋ax－y＋b)－(bx2－3x＋6y－3) ＝x2＋ax－y＋b－bx2＋3x－6y＋3 ＝(1－b)x2＋(a＋3)x－7y＋b＋3. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 由差的值与字母x的取值无关，得 1－b＝0，a＋3＝0.解得a＝－3，b＝1. 则原式＝3a2－6ab－3b2－4a2－4ab－4b2 ＝－a2－10ab－7b2 ＝－9＋30－7 ＝14. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3．(2023·创编) 若(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是(　　) A．q＝3p B．p＝3q C．p＋3q＝0 D．q＋3p＝0 [解析] (x2＋px＋q)(x－3) ＝x3－3x2＋px2－3px＋qx－3q ＝x3＋(－3＋p)x2＋(－3p＋q)x－3q. ∵(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，∴－3p＋q＝0. ∴q＝3p.故选A. A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(2022·成都) 下列计算正确的是(　　) A．m＋m＝m2 B．2(m－n)＝2m－n C．(m＋2n)2＝m2＋4n2 D．(m＋3)(m－3)＝m2－9 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2023·温江区) 先化简，再求值：[(a＋b)(a－b)－(a－b)2－2b(b－a)]÷b，其中b－a＝－8. 解：原式＝(a2－b2－a2＋2ab－b2－2b2＋2ab)÷b＝(4ab－4b2)·＝12a－12b. 当b－a＝－8时， 原式＝－12(b－a)＝－12×(－8)＝96. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 整式的运算要分清计算类型，确定运算顺序，选择计算方法，化简求值一般要先化简再代入求值． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 分解因式：(1)a2b＋ab2； (2)25x2－36； (3)2x2y－8xy＋8y. [解答] 解：(1)原式＝ab(a＋b)． (2)原式＝(5x＋6)(5x－6)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2.　　 因式分解的方法 核心知识 4 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.分解因式：2y3－12y2＋18y＝_________． 2．甲、乙两人在对x2＋ax＋b进行因式分解时，甲看错了a，得到的结 果为(x＋4)2；乙看错了b，得到的结果为(x＋1)(x＋9)，则x2＋ax＋b因式 分解的正确结果为________________． 2y(y－3)2 (x＋2)(x＋8) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 因式分解要能根据多项式的特点灵活选用相应方法，第一步首先应考虑有无公因式可提，另注意分解到不能再分解为止． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 1.用简便方法计算：(1)1252－50×125＋252； (2)652×11－352×11. [解答] 解：(1)原式＝1252－2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝ 10 000. (2)原式＝(652－352)×11＝(65＋35)×(65－35)×11＝100×30×11＝ 33 000. 因式分解的应用 核心知识 5 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．若xy＝2，y－x＝1，则代数式2x2y－2xy2的值为_________． [解析] 原式＝2xy(x－y)＝－2xy(y－x)． ∵xy＝2，y－x＝1， ∴原式＝－2×2×1＝－4. －4 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3．已知a，b，c是△ABC的三边，b2＋2ab＝c2＋2ac，则△ABC的形状 是_____________． [解析] ∵b2＋2ab＝c2＋2ac， ∴a2＋b2＋2ab＝a2＋c2＋2ac. ∴(a＋b)2＝(a＋c)2. ∵a＋b＞0，a＋c＞0，∴a＋b＝a＋c，即b＝c.∴此三角形是等腰三角形. 等腰三角形 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(2022·石室中学) 248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则 这两个整数是(　　) A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b).把 余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个 等式，则这个等式是(　　) A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－ab＝a(a－b) C．a2－b2＝(a－b)2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 因式分解的应用主要有求值、整除讨论，以及数形结合的等积变形等方面的应用，都与因式分解的基本方法密切相关． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3 素养提升 例 6 (2023·树德中学) (1)已知a－b＝4，ab＝5，求a2＋b2和(a＋b)2 的值； [解答] 解：∵a－b＝4，ab＝5， ∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝16＋10＝26， (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝16＋20＝36. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 (2)若x满足(x－2 023)2＋(x－2 010)2＝189，求(x－2 023)(x－2 010)的值； [解答] 解：设m＝x－2 023，n＝x－2 010， 则m2＋n2＝189，m－n＝－13. ∴(x－2 023)(x－2 010)＝mn＝[(m2＋n2)－(m－n)2]＝×(189－169)＝ 10. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 (3)如图，在长方形ABCD中，AB＝11 cm，点E， F分别是边BC，CD上的点，EC＝6 cm，且BE＝ DF＝x cm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外 侧作正方形CFGH和正方形CBMN，若长方形CBQF 的面积为80 cm2，求图中阴影部分的面积和． [解答] 解：设CF＝p cm，BC＝q cm， 则p＋x＝11，q－x＝6，pq＝80. ∴p＋q＝17.∴图中阴影部分的面积和为p2＋q2＝(p＋q)2－2pq＝172－2×80＝129(cm2)． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 本题三问都以公式的恒等变形为基础，结合整体代入的思想，且层层深入，要注意体会一题多问之间的联系． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 4 素养发展 1．(2019·达州) 下列计算正确的是(　　) A．a2＋a3＝a5 B．a8÷a4＝a4 C．(－2ab)2＝－4a2b2 D．(a＋b)2＝a2＋b2 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2020·达州) 如图，正方体的每条棱上放置相同数目 的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正 方体上小球总数，则表达错误的是(　　) A．12(m－1) B．4m＋8(m－2) C．12(m－2)＋8 D．12m－16 A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2022·达州) 计算：2a＋3a＝_________． 5a 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2021·达州) 如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3， 则输出y值为_________． 2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．(2017·达州) 因式分解：2a3－8ab2＝______________________． 2a(a＋2b)(a－2b) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6. (2023·成都七中) (1)先化简，再求值：[(xy＋2)(xy－2)－2x2y2＋4]÷xy，其中x＝1，y＝－2； (2)先化简，再求值：(x＋4)(x－4)＋(x－3)2，其中x2－3x＋1＝0. 解：(1)原式＝(x2y2－4－2x2y2＋4)÷xy＝－x2y2÷xy＝－xy. 当x＝1，y＝－2时，原式＝－1×(－2)＝2. (2)原式＝x2－16＋x2－6x＋9＝2x2－6x－7. ∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1. ∴原式＝2(x2－3x)－7＝2×(－1)－7＝－2－7＝－9. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．分解因式：(1)3ax2－6ax＋3a； (2)9x2(a－b)＋4y2(b－a)． 解：(1)原式＝3a(x2－2x＋1)＝3a(x－1)2. (2)原式＝9x2(a－b)－4y2(a－b) ＝(a－b)(9x2－4y2) ＝(a－b)(3x＋2y)(3x－2y)． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P3～4第2讲 分式型：已知x＋＝2(或x－＝2)，则x2＋＝⑧________， ＝⑨_______ $$