第1讲 实数的相关概念及运算（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第1讲　 实数的相关概念及运算 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 实数的相关概念及运算 分类 按性质分 【温馨提示】 数轴 相反数 绝对值 按定义分 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 按性质分：正实数，⑤_________，负实数(⑥_________既不是正数也不是负数) 按定义分 有理数 整数 正整数 ①_____ 负整数 分数 正分数 ②_______ 无理数 正无理数 负无理数 0 负分数 无限④_________小数 有限小数或③_________小数 无限循环 不循环 0 0 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 【温馨提示】 1．常见的几种无理数 (1)有规律但不循环的小数，如0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多一个0)等； (4)一些三角函数值(含有根式)，如tan 60°，cos 30°等． 2．判断一个实数是不是无理数应遵循：一化简，二辨析，三判断． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 数轴 作用 (1)比较两个数的大小：数轴上，右边的点比左边的点表示的数大 (2)表示A，B两点间的距离：AB＝|xA－xB| (3)解决数轴上的动点问题 向右移动a个单位，则加上a个单位 向左移动b个单位，则减去b个单位 口决：左减右加 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；a，b互为相反数⇔a＋ b＝⑦_________ 非零实数a的相反数是⑧_________；0的相反数是0 几何意义：在数轴上，位于原点两侧，到原点距离相等的两个点表示两个数互为相反数(除0外) 相反数 0 －a 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫这个数的绝对值 非负性：|a|≥0；双重性：如当|x|＝3，则x＝⑨_________ 规律：一个正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 负数的绝对值绝是它的相反数，　　　 ±3 即|a|＝ a(a＞0)， 0(a＝0)， －a(a＜0) 去绝对值符号 (1)有条件限制：如|a－3|＝⑩_________(a＜3)； (2)无条件限制：|a－b|＝ 3－a a－b(a≥b)， b－a(a＜b) |a|＝|b|⇔a＝b或⑪_________ a＝－b 绝对值 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 实数的相关概念及运算 倒数 科学记数法 运算 实数比较大小 ＋，－ ×，÷ 乘方 平方根、算术平方根、立方根 易错 熟记 常见运算 运算顺序 【提分点拨】 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 定义：乘积为1的两个数互为倒数．a，b互为倒数⇔ab＝⑫____ 规律：非零实数a的倒数是⑬_________；0没有倒数 倒数 1 科学记数法 形式：a×10n (1)确定a：1≤|a|＜10 (2)确定n |原数|≥10时：n为正整数，等于原数的整数位数减1； |原数|＜1时：n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前面0的个数(含整数位数的0) 如109.68亿＝⑭_____________；－0.000 30＝⑮___________ 1.096 8×1010 －3×10-4 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 ＋，－：减去一个数，等于加上这个数的相反数 ×，÷：除以一个数，等于乘这个数的倒数 乘方：an＝a·a·…·a n个a 平方根、算术平方根、立方根 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 112＝121，122＝144，…，252＝625；13＝1，23＝8，…，93＝729. 易错 熟记 常见运算 0次幂：a0＝1(a≠0)(任何非零数的0次幂都等于1) －1的n次幂：(－1)n＝ 1(n为偶数)， －1(n为奇数) 乘方：如－24＝⑱_____；(－2)4＝⑲_____；－(－2)4＝ ⑳_______(认准底数) －16 16 －16 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；若有括号，先算括号里面的 【提分点拨】关于“本身”的问题 0 0 0，1 0，±1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的㉕______ 类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而㉖_______ 差值比较法：a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b 实数比较大小 大 小 乘方比较法 (2)两个无理数 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 2 素养积累 例 1 1.(2023·达州) －2 023的倒数为(　　) A．2 023 B． C．－2 023 D．－ 实数相关概念 核心知识 1 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2014·达州) 向东行驶3 km，记作＋3 km，那么向西行驶2 km记作 (　　) A．＋2 km B．－2 km C．＋3 km D．－3 km 3．(2021·达州) －的相反数是(　　) A． B． C．－ D．－ B B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 4．(2019·达州) －2 019的绝对值为(　　) A．2 019 B．－2 019 C． D．－ 5．下列说法：①－3是整数；②是分数；③0是有理数；④－是无理 数，其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．③④ A B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(2023·凉山州)下列各数中，为有理数的是(　　) A． B．3.232 232 223… C． D． 2．下列四个实数中，是正数的是(　　) A．－|－2| B．－ C．－(－2) D．－2-2 A C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 实数相关概念较多，常用概念有无理数、相反数、倒数与绝对值，其中绝对值常结合数轴进行理解，体现了数形结合思想，化简时一定要先确定绝对值“| |”内整个代数式的符号． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 1.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正 确的是(　　) A．a＞－2 B．a＋3＞c C．－a＞b D．ab＜ac 实数与数轴 核心知识 2 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．把无理数，－表示在数轴上，在这四个无理数中， 被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是________． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列关系中， 正确的是(　　) A．－a＜b B．a＜－b C．a＜b D．b＜－a 2．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形， AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是_________． A 1－2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 实数与数轴上的点是一一对应的，开启了数与形结合的大门． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 (2023·成都) 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心 成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施， 深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日 定位量超3 000亿次．将数据3 000亿用科学记数法表示为(　　) A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011 科学记数法 核心知识 3 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·眉山) 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.000 002 1毫 米，数据0.000 002 1用科学记数法表示正确的是(　　) A．2.1×10-6 B．21×10-6 C．2.1×10-5 D．21×10-5 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的绝对值表示小数点移动的位数，其符号表示小数点移动的方向． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 比较大小：－1_________4.(填“＞”“＜”或“＝”) [解析] ∵，∴4＜＜5.∴3＜－1＜4. 变式 1.(2022·达州) 下列四个数中，最小的数是(　　) A．0 B．－2 C．1 D． 2．比较大小：2.5_________.(填“＞”“＜”或“＝”) 实数的大小比较 核心知识 4 ＜ B ＞ 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 1．基本方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．平方法对于含根号的正实数比较时较为常用，倒数法也可作尝试． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 1.(2023·达州) 计算： ＋|－4|－(2 003－π)0－2cos 30°. [解答] 解：原式＝2＋4－1－2× ＝2＋4－1－ ＝＋3. 实数的运算 核心知识 5 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．已知4a＋7的立方根是3，2a＋b＋2的算术平方根是4，则a＋b的平方 根是_________． [解析] 根据题意，得4a＋7＝33，2a＋b＋2＝42.解得a＝5，b＝4.∴a＋b＝5＋4＝9，∴a＋b的平方根是±＝±3. ±3 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3．已知5＋的小数部分为a，5－的小数部分为b，则(a＋b)2 023＝_________． [解析] ∵2＜＜3，∴7＜5＋＜8. ∴a＝5＋－7＝－2. ∵2＜＜3，∴－3＜－＜－2. ∴2＜5－＜3.∴b＝5－－2＝3－. ∴(a＋b)2 023＝(－2＋3－)2 023＝12 023＝1. 1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(1)25的平方根是_________； (2)＝_________； (3)＝_________； (4)()2＝_________． ±5 4 2 3 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．(2022·达州) 计算：(－1)2 022＋|－2|－－2tan 45°. 解：原式＝1＋2－1－2×1 ＝1＋2－1－2 ＝0. 3．设5－的整数部分为a，小数部分为b，则b＝______. 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 4．数学文化(2020·达州) 中国奇书《易经》中记 载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数， 即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依 次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自 出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是(　　) A．10 B．89 C．165 D．294 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 0指数幂与负整数指数幂要注意使用的条件，平方根、算术平方根与立方根要注意区分，特别是其符号表达形式要熟练． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3 素养提升 例 6 阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：(约率)和(密率)．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数)，则是x的更为精确的近似值． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为＝； 由于≈3.140 4＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 任务： (1)请判断：约率是_________； A．无限不循环小数 B．有限小数 C．整数 D．有理数 [解答] 解：[是正分数，是有理数．故选D.] D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． [解答] 解：∵，∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为＝. ∵＝且＞2，∴. ∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为＝. ∴使用两次“调日法”，的近似分数为. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 对材料的理解是迁移的前提． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 4 素养发展 1．(2023·达州) 某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济 发展取得新成效，全年生产总值实现2 502.7亿元．数据2 502.7亿用科学 记数法表示为(　　) A．2 502.7×108 B．2.502 7×1011 C．2.502 7×1010 D．2.502 7×103 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2021·达州) 实数＋1在数轴上的对应点可能是(　　)   A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2020·达州) 下列各数中，比3大比4小的无理数是(　　) A．3.14 B． C． D． C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2020·达州) 计算： －22＋＋(π－)0＋. 解：原式＝－4＋9＋1－5 ＝1. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P1～2第1讲 (2)特殊的无理数(π及化简后含π的数)，如，π＋1等； (3)开方开不尽的数，如，，等； 实数和数轴上的点是一一对应的．如在数轴上的画法： 名称 a(a＞0) 0 a(a＜0) (1)认符号定运算； (2)实质是一种运算，与乘方互为逆运算 平方根 算术平方根 立方根 ± 0 无 0 无 0 2－ －1 ＝4，±＝±4，－＝－4，的平方根为±＝±2. 负整数次幂：a－p＝＝ (a≠0，p为正整数)(倒底数，反指数) 去绝对值符号：如|－2|＝⑯________，|1－|＝⑰_______ 倒数等于本身的数是±1；相反数等于本身的数是㉑________；绝对值等于本身的数是非负数；平方等于本身的数是0，1；平方根等于本身的数是㉒________；算术平方根等于本身的数是㉓________；立方等于本身的数是0，±1；立方根等于本身的数是㉔________． 异次开方：如与→()6＜()6 作商比较法：a，b为正实数，则＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b (1)一个有理数和一个无理数：如2.1与→(2.1)3＞ ()3 同次开方：如2与3→(2)2＜(3)2 $$